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专题03 函数的最值(值域)求法
考点一 单调性法
一、单选题
1．已知函数 ，则 在 上的最大值为（ ）
A．9 B．8 C．3 D．
【解析】函数 的对称轴为 ，
所以函数 在 上单调递减， .故选：A.
2．当 时，函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为指数函数 在区间 上是增函数，所以 ，
于是 ，即 ，所以函数 的值域是 .故选：C.
3．若存在负实数使得方程 成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意可得： ，
令 ，因为 ， 在 上均为增函数，
所以 在 为增函数，且 ， ， ，
所以 ，所以实数a的取值范围是 .故选：C.
4．已知函数 ,若 ，且 ，则 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【解析】作出 的图象，如图所示：
由 ，可得 ，则 ，
令 ，则 ，故 ．故选：D．
5．若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由对数函数的定义可知， 且 ，
当 时， 单调递增， ，故
因为 ，则 ，所以 ，解得 ，
与 求交集，得到 ，
当 时， 单调递减， ，故 ，
由于当 时， ，故此时无解，综上：实数 的取值范围是 .故选：B
二、填空题
6．已知函数 的值域是 ，则 _________．
【解析】 ，故 ，解得 ．
7．已知函数 ，对 都有 成立，则实数 的取值范围是________.【解析】 在 上单调递减，所以 ，
因为对 都有 成立，所以 ，故答案为：
8．函数 的值域为________.
【解析】由题意得： .因 ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上的最大值为 ，最小值为 .
即 .则 .
9．已知 ，设 ，则函数 的值域为___________．
【解析】由题意得 ，则 ，即 的定义域为 ，
故 ，
令 ，则 ，
函数 在 上单调递增，故 ，故函数 的值域为 ，
三、解答题
10．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)求 在 上的值域.
【解析】（1）函数 ，则 ，
当 时， ，当 ， ，故函数 在 上单调递增，在 上单调递减；
（2）由（1）可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ， ，
则 在 上的最大值 ，最小值 ，
故 在 上的值域为 .
考点二 判别式法
一、单选题
1．已知正实数 满足 则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则 ，因为 ，
所以 ，即： ，
所以 ，解得： ，又因为 ， 为正实数，
所以 ，所以 的最大值为 .故选：C.
2．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【解析】设题中函数为 ，则 ，当 时， ；
当 时，视其为关于x的二次方程，
判别式 ，综上，故值域为 ．故选：C.
3．若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 （ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解析】设 ， ， ，
时， ，
时，因为 ，所以 ，解得 ，即 且 ，
综上 ，最大值是 ，最小值是 ，和为6．故选：B．
二、多选题
4．下列求函数值域正确的是（ ）
A．函数 ， ， 的值域是
B．函数 的值域是 或
C．函数 的值域是 或
D．函数 的值域是
【解析】对于 ，函数 ，
因为 ，所以 ，故 ，所以 ，
则函数的值域为 ，故选项 错误；
对于 ，当 时， ；
当 时，则有 ，所以△ ，解得 或 ；
综上所述，函数的值域为 或 ，故选项 正确；
对于 ，因为 在 ， 上恒成立，故函数 在 和 ， 上单调递减，且 是函数的渐近线，
故函数 的值域为是 或 ，故选项 正确；
对于 ，函数 ，设 ， ， ，所以 ，
因为 ， ，所以 ，故 ，
所以函数的值域为 ，故选项 正确．
故选：BCD．
三、填空题
5．已知实数a，b满足 ，则 的最小值是__________.
【解析】因为实数a，b满足 ，所以 ，且 .
令 ，则 ，所以 ，代入 ，则有 ，
所以关于b的一元二次方程 有正根，
只需 ，解得： .
此时，关于b的一元二次方程 的两根 ，
所以两根同号，只需 ，解得 .
综上所述： .
即 的最小值是 （此时 ，解得： ）.
6．若函数 的值域为 ，则 的值为__________.
【解析】设 ，可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 上有解，若 ，可得 ，则 ；
若 ，则 ，即 ，
由题意可知，关于 的二次方程 的两根为 、 ，
由韦达定理可得 ，解得 .
综上所述， .
7．已知 ，且 ，则 的取值范围是___________.
【解析】因为 ，所以 .又因为 ，
所以 ，解得 .故答案为： .
8．设非零实数a，b满足 ，若函数 存在最大值M和最小值m，则 _________.
【解析】 ，则 ，则 ，
即 ， ，故 ，
，即 ，即 ， .
考点三 分离常数法
一、单选题
1．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，从而可知函数 的值域为 .
故选：C
2．函数 （ ）的值域为（ ）A． B． C． D．
【解析】 ，由于 ，∴ ， ， ，
于是 ，故函数 的值域为 .故选：A.
3．已知幂函数 的图象过点(9,3)，则函数 在区间［1,9]上的值域为（ ）
A．［－1,0] B． C．［0,2] D．
【解析】解法一：因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，可得 ，所以 ，
．因为 ，所以 ，
故 ．因此，函数 在区间[1,9]上的值域为 ．故选：B．
解法二：因为幂函数 的图象过点 ，所以 ，可得 ，
所以 ．因为 ，所以 ．因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，即函数 在区间[1,9]上的值域为 ．
故选：B．
4．点 在函数 的图象上，当 时， 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，则 ，所以， ，
所以， .故选：C.5．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，
可得 ， ，
，故 .故选：B.
二、多选题
6．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数 B． 为减函数 C． 有且只有一个零点 D． 的值域为
【解析】 ， ，故 为奇函数，
又 ， 在 上单调递增， ， ， ，
， ，即函数值域为
令 ，即 ，解得 ，故函数有且只有一个零点0．
综上可知，ACD正确，B错误．
故选：ACD
三、填空题
7．函数 的值域是___________.
【解析】函数 的定义域为 ， ，
由于 ，所以 ，且 ，所以 且 ，
所以函数 的值域为 .四、解答题
8．求下列函数的最值.
(1) 的最大值.(2) 的最大值.
【解析】（1）
，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值是 .
（2）设 ，则 ， ，
当且仅当 ，即 ，即 时，等号成立.
故 的最大值为 .
考点四 二次函数分类讨论
一、单选题
1．已知函数 的最大值为4，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【解析】
所以当 时， 有最大值，
所以 ，解得 或 （舍）.故选:C.
2．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是A． B． C． D．
【解析】函数 的图象是开口向上，且以直线 为对称轴的抛物线，如图所示，
所以 ，因为函数 的定义域为 ，值域为 ，
所以 的取值范围是 ，故选C.
3．已知函数 R)．当 时，设 的最大值为 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，故 在 上递增，在 上递减，
当 ，则 上递减，故最大值 ，
当 ，则最大值 ，
当 ，则 上递增，故最大值 ，
综上， 的最小值为 .故选：C
4．已知 在区间[0，1]上的最大值为g(a)，则g(a)的最小值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解析】因为 的开口向上，对称轴 ，
① 即 时，此时函数取得最大值 ，②当 即 时，此时函数取得最大值 ，故 ，
故当 时， 取得最小值 ．故选： ．
二、多选题
5．已知函数 ，关于 的最值有如下结论，其中正确的是（ ）
A． 在区间 上的最小值为1
B． 在区间 上既有最小值，又有最大值
C． 在区间 上的最小值为2，最大值为5
D． 在区间 上的最大值为
【解析】函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ．
在选项A中，因为 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上的最小值为 ，A错误．
在选项B中，因为 在区间 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在区间 上的最小值为 ．
又因为 ，
所以 在区间 上的最大值为 ，B正确．
在选项C中，因为 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 ，C正确．
在选项D中，当 时， 在区间 上的最大值为2，当 时，由图象知 在区间 上的最大值为 ，D错误．
故选:BC.
6．已知 在区间 上的最小值为 ，则 可能的取值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【解析】因为函数 ，函数的对称轴为 ，开口向上，
又 在区间 上的最小值为 ，
所以当 时， ，解得 （舍去）或 ；
当 ，即 时， ，解得 （舍去）或 ；
当 ，即 时， ．
综上， 的取值集合为 ．故选：BC．
7．已知二次函数 （ 为常数），当 时， 的最大值是 ，则 的值是
（ ）
A． B． C． D．
【解析】二次函数 图象的对称轴为直线 .
①当 时，即当 时，当 时， 随着 的增大而减小，
当 时， 取得最大值，即 ，解得 ，合乎题意；
②当 时，即当 时，当 时， 取得最大值，
即 ，即 ，解得 或 （舍）；
③当 时，即当 时，当 时， 随着 的增大而增大，当 时， 取得最大值，即 ，解得 （舍）.
综上所述， 或 .故选：AC.
三、填空题
8．设 的定义域为 ，对于任意实数t，则 的最小值 __________．
【解析】 可化为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 ，即 时，函数 在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，
所以
9．若函数 在区间 上的最小值为4，则 的取值集合为______.
【解析】函数 ，对称轴为 ，
当 ，即 时， ，即 ，解得 或 （舍去），
当 ，即 时， ，不符合题意，舍去，
当 时， ，即 ，解得 或 （舍去），
故 的取值集合为 .
四、解答题10．（1）已知 是偶函数， 时， ，求 时 的解析式．
（2）已知函数 若 的最小值为 ，写出 的表达式．
【解析】（1）当 时， ，又由于 是偶函数，则 ，
所以，当 时， ，
所以当 时， ；
（2） ，所以对称轴为 固定，而区间[t，t+1]是变动的，
因此有
①当 ，即 时， ；
②当 时， ；
③当 ，即 时， ．
综上可知 .
11．已知函数 .
(1)若 ，求 在 上的最大值；
(2)若函数在区间 上的最大值为9，最小值为1，求实数a，b的值.
【解析】（1）当 时，函数化为 ，其图像的对称轴为直线 ，
而 ，所以，①当 ，即 时，函数在 时取得最大值 ；
②当 ，即 时，函数在 时取得最大值 ，
综上，当 时，最大值为 ；当 时，最大值为 .
（2）因为函数的图像开口向上，且对称轴方程为 ，所以函数在 上单调递增，
所以当 时，y取得最小值 ；当 时，y取得最大值 .
由题意，可得 解得 .
12．已知二次函数 的图像过点 和原点，对于任意 ，都有 ．
(1)求函数 的表达式；
(2)设 ，求函数 在区间 上的最小值．
【解析】（1）由题意得 ，所以 ，
因为对于任意 ，都有 ，即 恒成立，
故 ，解得 ， .所以 ；
（2） ，则 的对称轴为 ，
当 ，即 , 函数在 上单调递增，故 在 上的最小值为 ；
当 ，即 时，函数在 上单调递减，故 在 的最小值为 ；
当 ，即 时, 函数在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上的最小值为 .综上, .
考点五 基本不等式法
一、单选题
1．函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B．4 C．3 D．
【解析】∵ ， ，∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以函数 在区间 上的最小值为3．故选：C.
2．已知 ，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ， ，
当 时， ， ，
当且仅当 时取等号；
当 时， ， ，
当且仅当 时取等号，则 的取值范围为 ，故选：A.
3．已知 ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】由 知 ,结合 ，以及换底公式可知，
，
当且仅当， ，即 时等号成立，即 时等号成立，
故 的最小值为 ，故选：B.
4．若函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 （ ）
A．3 B．2 C．1 D．0.5
【解析】由题意， ，
①当 时， ；
②当 时， ，
因为 ，当且仅当 时，即 时，不等式取等号，
所以 ，则 在 的值域为 ，
③当 时， ，由基本不等式可知， ，即 ，
当且仅当 时，即 时，不等式取等号，故 ，
则 在 的值域为 ，综上所述， 在 上的值域为 ，从而 .故选：C.
二、多选题
5．已知函数 ，则（ ）
A． 最小值为 B． 在 上是增函数
C． 的最大值为1 D． 无最大值
【解析】 ，
当 时， ；
当 时， ，此时 在 是减函数，在 上是增函数，
所以 ，故A正确，B错误；
当 时， ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 ，此时 ，又 时， ，所以 的值域为
，故C正确，D错误.故选：AC．
6．下列函数求值域正确的是（ ）
A． 的值域为
B． 的值域为
C． 的值域为
D． 的值域为【解析】对于选项A：原函数化为 ，
其图象如图，原函数值域为 ，故选项A不正确，
对于选项B： ，定义域为 ，
当 时， ，此时 ，
所以 ，当且仅当 即 时等号成立，
当 时， ，此时 ，当且仅当 即 时等号成立，
所以函数 值域为 ，故选项B不正确；
对于选项C： 的定义域为 ，
，
因为 与 均在 上是增函数，所以 在 上是增函数，
又 在 上恒不等于 ，
则 在 上是减函数，则 的最大值为 ，
又因为 ，所以 的值域为 ，故选项C正确；对于选项D： 的定义域为 ，
，
设 ，则 ， ， ，
则 ， 的值域为 ，故选项D正确，
故选：CD
三、填空题
7．已知函数 ，则函数的值域是______.
【解析】因为 ，
因为 ，所以 ，则有 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
因为 ，所以 ，则函数的值域为
8．已知函数 ，则 的值域为___________．
【解析】 ，
即 ；
， ；当且仅当 ，即 时， 取最小值2；
又最大值应在两个区间端点的某一处取到，
； ； ．
所以 ．所以 值域为 ．
9．若实数x、y满足 ，则 的最大值是______．
【解析】 ，解得 ，
当 时，取得最大值.
10．若不等式 对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是________．
【解析】 ，当 ，即 时等号成立.
故 ，解得 .故答案为： .
四、解答题
11．已知函数 ， ．
(1)当 时，求 的最小值；
(2)对任意 ， 恒成立，求a的取值范围．
【解析】（1） ，
当 ，即 时等号成立. 的最小值为 .（2） ，即 ，设 ， ，故 ，
，当 ，即 时等号成立，故 .
12．设函数 满足 .
（1）求 的解析式；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
【解析】（1）令 ，所以 ，即 ，所以 的解析式为 .
（2） 可化为 .要使 恒成立，只需 .
因为 ，当且仅当 ，即 时取等号.
所以 ，解得： .即实数 的取值范围为 .
考点六 指、对数复合型
一、单选题
1．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】依题意，令 ，则 ，
因为 单调递减，且 ，所以 ，所以 .故选：A.
2．若函数 的定义域为 ，则该函数的值域是（ ）
A． B． C． D．【解析】令 ，因为 ，则 ，
又因为 为单调递增函数，所以 .故选：C
3．函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 知：当 时， ；当 时， ；
∴综上有：值域是 .故选：D
4．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，又 在 上单调递增，
所以 ，故函数 的值域为 ．故选：B．
5．函数 的值域是（ ）
A． B．R C． D．
【解析】由 ，得 ，令 ，则 ，
因为 ， ，所以 ，
因为函数 在 上单调递减，所以 ，
所以函数的值域为 ，故选：A
6．函数 ， 的值域为（ ）
A． B． C． D．【解析】令 ， ，则 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，又 在 上单调递增，
所以 ，即 .故选：A
7．函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【解析】设 ，则 ，
因为 ，
所以 ，所以 的最小值为1，故选：B
8．函数 的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】由题意得 ，
当 时， 的最小值为 .故选：D
9．设a为实数，若关于x的方程 有实数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，所以 ，
令 （ ），则 （ ），
要想方程 有实数解只需 与 有交点即可；
设 ，当 时， 单调递增，所以 ，
即 时，解得： ，故a的取值范围是为： .故选：C.10．当 时，函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，因为 ，所以 ，则 ，且对称轴为 ，开口向上，
所以 时单调递减， 时，单调递增，
时， ， 时， ，故函数 的值域为 ，
故选：A
二、填空题
11．已知不等式 对于 恒成立，则实数 的取值范围是__．
【解析】设 ，因为 ，则 ，不等式 对于 恒成立，
等价于 ，即 在 恒成立，设 ， ，令 ， （负舍），
则根据对勾函数的性质可知： 在 上为单调减函数，则 ，
所以 ，故实数 的取值范围是
12．已知函数 的值域为 ，则 的取值范围是______.
【解析】因为函数 的值域为 ，
所以， 是函数 的值域的子集，
所以，当 时， 的值域为 ，满足题意；
当 时，要使 是函数 的值域的子集，
则需满足 ，解得 ，
综上， 的取值范围是13．若函数 的最大值为0，则实数a的值为___________.
【解析】因为 的最大值为0，所以 应有最小值1，因此应有 解得 .
14．若x满足不等式 ，则函数 的最大值为________.
【解析】不等式 ， ，解得 ，
，
设 ，则 ， ，其对称轴为 ，
在 ， 上单调递减， ，所以函数的最大值为2.
