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专题03 函数的最值(值域)求法
专项突破一 单调性法
1．函数 在 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是单调递增函数，所以函数 也是单调递增函数，
所以 .故选：C
2．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 在 单调递增， 在 单调递增，
所以 在 单调递增.所以 .
因为 对任意 恒成立，所以 .故选：D
3．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域为 ，故选：B．
4．已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，使得 ，等价于 ， ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递减，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：A.
5．函数 ，若 的最大值和最小值是____．
【解析】令t＝sinx+cosx＝ sin（x+ ），当x∈[0， ]时，则t∈[1， ]，
所以2sinxcosx＝t2﹣1，则y＝t2+t+1＝（t+ ）2+ ，在t∈[1， ]上单调递增，
此时y的最大值是 ，而最小值是3．
6．函数 的值域为___________.
【解析】依题意， 在 上单调递减，则当 时， ，
在 上单调递增，则当 时， ，
所以函数 的值域为 .
7．已知函数 ．
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明；(2)求函数 在区间 上的值域.
【解析】(1)函数 在 上的为增函数，理由如下：
任取 ，且 ，有
，
∵ ，∴ ，
∴ 即 ，∴函数 在区间 上单调递增，
(2)由（1）可知函数 在区间 上单调递增，
∴ ，又∵ 时， ，∴
∴ ，∴函数 的值域为 .
8．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大
（小）值点．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】(1)因为 ，所以函数 在 上单调递增，区间 为开区间，
所以该函数没有最大值和最小值；
(2)因为 ，所以一次函数 在 上单调递减，
所以 ，因此该函数单调递减，当 时，函数有最小值 ，当 时，函数有最大值 ；
(3)因为 的对称轴为： ，
所以当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，
所以当 时，函数有最小值 ，因为 ，
所以当 时，函数有最大值 ；
(4) ，
因为 ，所以当 时，函数单调递增，
故当 时，函数有最小值 ，当 时，函数有最大值 .
9．已知 ．
(1)求 的定义域；
(2)讨论 的单调性；
(3)求 在区间 上的值域．
【解析】(1)由 ，得 ，解得 .
所以定义域为 ；
(2)设01，那么 的最小值为________.
【解析】因 ，则 ，当且仅当 ，
即 时取“=”，所以 的最小值为3.10．函数 在 上的值域为________．
【解析】 ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则函数 在 上的值域为
11．函数 的值域是____________．
【解析】函数 定义域为 ，
，当且仅当 ，
即 时取“=”，因此，当 时， ，
所以函数 的值域是 .
12．已知 ，则 的最小值为___________.
【解析】因为对数有意义，所以x>0,y>0.
由 ，可得： ，即 ，
当 等号成立，解得： （ 舍去）.所以 的最小值为4.
13．已知 、 均为正实数，且 ，则 的最小值为___________.
【解析】因为 、 均为正实数，由基本不等式可得 ，
整理可得 ，
， ，则 ，解得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .14．若正实数 满足 ，则 的最大值为________.
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 且 ，所以 ，解得 ，
= ，结合 知， 有最大值4.
15．已知关于 的一元二次不等式 在实数集上恒成立，且 ，则 的最小值为
________
【解析】 一元二次不等式 对一切实数 都成立，
当 时，不能保证恒成立，不符合题意；
当 时， 要满足， ，由此 ，
， ， 得： ，
则 ，
即 时，取等号，
故答案为：3．
16．若 ，则函数 的值域为__________.
【解析】当 时， ，当 时，令 ，
则
因为 ，所以 ，所以所以 在R是奇函数
当 时， ，
其中 时，取得等号，所以 ，
当 ，根据奇函数性质 ，当 时， ，
所以 的值域为 ；
综上， 的值域为
17．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是____.
【解析】由题意 ，
当 ，即 时，函数 在 单调递增，
故 ，值域为 恒成立；
当 ，即 时， ，
当且仅当 ，即 时取等，
又 在 单调递增，且 ，
若值域为 ，则有 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为
专项突破六 指、对数复合型1．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，作出函数 的图像(图略)，如图所示，函数在 上单调递减，
在 上单调递增，所以函数的最小值为 ，所以函数 的值域为 .
故选：C.
2．函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【解析】设 ，则 ，因为 ，
所以 ，所以 的最小值为1，故选：B
3．函数 ， 的值域是( )
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，则 ，
故选：A.
4．已知函数 的图象过定点 ，则 在 上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的图象过定点 ，所以 ，
，由于 ，所以 ，所以 .
故选：B5．函数 的值域为______．
【解析】由于 ， 在 上单调递减，所以 ，
所以函数 的值域为 .
6．若函数f (x)＝ 有最大值3，则a＝________.
【解析】令 ，则 .
因为 有最大值 ，所以 应有最小值 .由此 ，解得
7．函数 的值域是________．
【解析】 ，而 在定义域上递减， ，无最小值，
函数的值域为 ．
8．求下列函数的值域:
(1) ；(2) .
【解析】(1)设 ，
所以 ，又 在 上是增函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的值域为 .
(2)因为 ，所以 能取到所有正实数. 对于 ，在 时值域为 ，
所以函数 的值域为 .
9．定义在 上的奇函数 ，已知当 时 （ ）．
(1)求 在 上的解析式；
(2)若存在 时，使不等式 成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)根据题意， 是定义在 上的奇函数，
则 ，得 ．经检验满足题意：故 ；
当 时， ，
当 时， ， ．
又 是奇函数，则 ．
综上，当 时， ．
(2)根据题意，若存在 ，使得 成立，
即 在 有解，即 在 有解．
又由 ，则 在 有解．
设 ，解析可得 在 上单调递减，
又由 时， ，故 ．
即实数m的取值范围是 ．10．已知函数 （ 且 ）在 上的最大值为3.
(1)求实数a的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
【解析】(1)当 时， 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以
综上， 或 .
(2)若 ，求函数 的值域，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以函数 的值域与函数 的值域相同，
所以 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以在 时 ，所以函数 的值域为 .
11．已知：变量 满足不等式 .
(1)求变量 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数 的最大值和最小值.【解析】(1) ，解得 ，
∴ 的取值范围为 .
(2)令 ， ，则 ， .
∴当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
12．已知 ．
(1)设 ，求t的最大值与最小值；
(2)求 的值域．
【解析】(1)因为函数 在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当 时， ，
当 时， ．
(2)令 ，则 ，
由（1）得 ，因为函数 在 上是单调增函数，
所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
故 的值域为 .
13．（1）已知x满足 时，求函数 的值域（2）已知 ，求函数 的值域
【解析】（1）由不等式 ，则 ，解得 ，
设 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，
又由 在定义域上单调递增，所以 ，
即函数 的值域为 .
（2）由 ，可得 ，
又由
，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ；
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域 .
