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专题03 函数的最值(值域)求法
专项突破一 单调性法
1．函数 在 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 是单调递增函数，所以函数 也是单调递增函数，
所以 .故选：C
2．已知函数 ，若 对任意 恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 在 单调递增， 在 单调递增，
所以 在 单调递增.所以 .
因为 对任意 恒成立，所以 .故选：D
3．若函数 的值域是 ，则函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，则 ．
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
又当 时， ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 的值域为 ，故选：B．
4．已知函数 ， ，若 ， ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，使得 ，等价于 ， ，
由对勾函数的单调性知 在 上单调递减，所以 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 .故选：A.
5．函数 ，若 的最大值和最小值是____．
【解析】令t＝sinx+cosx＝ sin（x+ ），当x∈[0， ]时，则t∈[1， ]，
所以2sinxcosx＝t2﹣1，则y＝t2+t+1＝（t+ ）2+ ，在t∈[1， ]上单调递增，
此时y的最大值是 ，而最小值是3．
6．函数 的值域为___________.
【解析】依题意， 在 上单调递减，则当 时， ，
在 上单调递增，则当 时， ，
所以函数 的值域为 .
7．已知函数 ．
(1)试判断函数 在区间 上的单调性，并证明；(2)求函数 在区间 上的值域.
【解析】(1)函数 在 上的为增函数，理由如下：
任取 ，且 ，有
，
∵ ，∴ ，
∴ 即 ，∴函数 在区间 上单调递增，
(2)由（1）可知函数 在区间 上单调递增，
∴ ，又∵ 时， ，∴
∴ ，∴函数 的值域为 .
8．检验下列函数的增减性，并说明是否有最大（小）值．如果有，指出最大（小）值和对应的最大
（小）值点．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．
【解析】(1)因为 ，所以函数 在 上单调递增，区间 为开区间，
所以该函数没有最大值和最小值；
(2)因为 ，所以一次函数 在 上单调递减，
所以 ，因此该函数单调递减，当 时，函数有最小值 ，当 时，函数有最大值 ；
(3)因为 的对称轴为： ，
所以当 时，函数单调递减，当 时，函数单调递增，
所以当 时，函数有最小值 ，因为 ，
所以当 时，函数有最大值 ；
(4) ，
因为 ，所以当 时，函数单调递增，
故当 时，函数有最小值 ，当 时，函数有最大值 .
9．已知 ．
(1)求 的定义域；
(2)讨论 的单调性；
(3)求 在区间 上的值域．
【解析】(1)由 ，得 ，解得 .
所以定义域为 ；
(2)设0<x<x，则 ，
1 2
∴ ，∴ ，
故 在(0，＋∞)上为增函数．
(3)∵ 在(0，＋∞)上为增函数，
又 ，∴ 在区间 上的值域为 .
10．已知函数 为幂函数，且为奇函数.
(1)求 的值，并确定 的解析式；
(2)令 ，求 在 的值域.
【解析】(1)因为函数 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时，函数 是奇函数，符合题意，
当 时，函数 是偶函数，不符合题意，
综上所述， 的值为 ，函数 的解析式为 .
(2)由（1）知， ，所以 ，
令 ，则 ， ，
所以 ， ，
根据二次函数的性质知， 的对称轴为 ，开口向上，
所以 在 上单调递增；所以 ，
所以函数 在 的值域为 .11．已知函数 ．
(1)用定义法证明函数 在 上为增函数；
(2)若 ，且当 时 恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，
对任意的 ， 有
．
因 ， ，∴ ．
∴函数 在 上为增函数．
(2)当 时 恒成立即 ， 恒成立，
， 恒成立．
由（1）得 在 上为减函数， ．
∴ ．
专项突破二 判别式法
1．函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则有 ，
当 时，代入原式，解得 ．
当 时， ，
由 ，解得 ，于是 的最大值为 ，最小值为 ，所以函数 的最大值与最小值的和为 ．故选：B.
2．求函数 的值域______________．
【解析】由解析式知：函数的定义域为 ，且 ，
∴整理可得： ，即该方程在 上有解，
∴当 时， ，显然成立；
当 时，有 ，整理得 ，即 ，
∴综上，有函数值域为 .
3．求函数 的最小值.
【解析】解法一： 函数 的定义域为一切实数.
.①
又 ，即 ，
对①式两边平方，得 .
整理，得 .②
对②式两边平方，得 ，
再整理，得 .③
，x为实数， ，
化简并整理，得 ，即 ，
又 ， ， ，
当 时，方程③为 ，即 ，
解得 ，故函数的最小值为 .
解法二：
令 ， ， ，则
点A关于x轴的对称点为 .则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当 、P、B三点共线时取“等号”）.
4．求下列函数的值域：
（1） ；
（2）
【解析】（1）由题，得 ，
整理，得 ，
当 时， ；
当 时， 方程有实根， ，
即 ，解得， 或 ，
综上 ，所以值域为： .
（2）易知 ，且 .
又 ，当 时， 有最大值 ，
当 或 时， 有最小值0，
所以当 时，易得 ，故 的值域为 .
5．已知函数 的值域为 ，求 的值.
【解析】 ，
令 ，即 有实根
，即
由 是方程 的两根
由韦达定理可知 ， ，解得
6．求下列函数的值域：
（1） ；（2） ；（3） ；
（4） ；（5） ；（6） .
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 或 ，
所以函数 的值域为 .
（2）因为 ，
所以函数 的值域为 .（3）因为 ，
所以当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
当 时， ，当且仅当 时，等号成立，
所以函数 的值域为 .
（4） ，当 时，函数为递减函数，
所以 时， 取得最大值，最大值为 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以函数 的值域为 .
（5）由 得 ，
当 时，方程的根为 ，
当 时，根据关于 的一元二次方程有解，得 ，
即 ，解得 或 ，
综上可得函数 的值域为 .
（6）由 得 ，
当 时，方程的根为 ，
当 时，根据一元二次方程有解得 ，
即 ，解得 或 ，综上可得函数 的值域为 .
专项突破三 分离常数法
1．函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 ，从而可知函数 的值域为 .
故选：C
2．函数 ，x∈[3，+∞）的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得， ，
显然函数 在 上为减函数，
所以，当 时，函数 取得最大值，且最大值为 ，当 接近 时， 接近 ，
所以 的值域为 .故选：D.
3．函数y 的值域是（ ）
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
C．（﹣∞， ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞， ）∪（ ，+∞）
【解析】 ，∴y ，
∴该函数的值域为 ．故选：D．4．函数 在区间 的最大值是______．
【解析】∵函数 ，
∴函数 在区间 上为单调增函数，∴当 时，函数 取得最大值，为 .
5．函数 在 上的值域为___________.
【解析】 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以函数的值域为
6．函数 的值域为_______．
【解析】 ，因为 ，所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，即 ，
所以函数的值域为
7．函数 的值域是______．
【解析】由题知 ，
因为 ，所以 ，所以 ，则
因此
8．函数 的值域是________________.【解析】由题意 ，因为 ，
所以 ，所以 ，所以函数 的值域为 ，
9．已知函数 为奇函数
(1)求实数 的值及函数 的值域；
(2)若不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范围.
【解析】(1)函数 为奇函数，定义域为 ，
则 ，所以 ，经检验知符合题意；
，
因为 ，则 ，所以函数 的值域为 .
(2)由题知：当 恒成立；
则 ；令 ，所以 ；
又 ，当且仅当 时等号成立，
而 ，所以 ，则 .
专项突破四 二次函数分类讨论
1．已知函数 .
(1)若 ，求函数 的最小值和最大值；
(2)当 时，求函数 的最小值．
【解析】(1)因为 ，对称轴为 ，开口向上，因为 ，所以函数在上单调递减，在 上单调递增，所以 ，又 ， ，
所以 ，即函数 的最小值为 ，最大值为 ；
(2) ，抛物线开口向上，对称轴为 ，最小值为 ，过点 ，
结合二次函数的图象可知：
当 ，即 时， ， ，函数在 上单调递减，
所以在 处取最小值 ，
当 ，即 时， ， 在 处取最小值 ，
当 时， ， ，函数在 上单调递增，函数在 处取最小值 ，
由以上解析可得，函数 的最小值 ．
2．已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最大值和最小值．
(2)当 时，求函数 在区间 上的最小值．
【解析】(1)当 时， ，又 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ， ．
(2)由题意得： ，
∴函数 图像开口向上，对称轴方程为 ，①若 ，即 ，则 在 上单调递增，
∴ ；
②若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， ；
③若 ，即 ，则 在 上单调递减，
∴ ．
3．已知 是定义在R上的偶函数 ，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)求 在区间 上的值域．
【解析】(1)（1）当 时 ，所以 ；
因为 为R上的偶函数，所以 ；
又 ，所以
(2)作出 的大致图象如下所示：
当 时， 在区间 上单调递减，
则 在区间 上的值域为 ，即 ；当 时， 在区间 上的最大值为 ，最小值为
所以 在 上的值域为 ，即 ；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，且 ，则 在区间 上的值域为 ，即 ．
4．二次函数 在区间 上有最大值4，最小值0.
(1)求函数 的解析式；
(2)设 ，且 在 的最小值为 ，求 的值.
【解析】(1)依题意，二次函数 ，开口向上，对称轴 ，
所以 ，所以 .
(2) ，开口向上，对称轴 ，
当 时， .
当 时， （舍去）.
当 时， .
综上所述， 的值为 或 .
5．已知一次函数 满足 .
(1)求函数f（x）的解析式；
(2)设函数 ，求 在区间 上的最大值．
【解析】(1)∵ 是一次函数，设 ，又因为 ，∴ ，整理得 ，故 ，解得 ，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x﹣2；
(2)g（x）＝a（x﹣2）+x（x﹣2）＝x2+（a﹣2）x﹣2a，其对称轴为 ，
①当 ，即a≥4时，函数g（x）在区间[﹣1，2]上单调递增，
则g（x）max＝g（2）＝0；
②当 ，即1<a<4时，函数g（x）在区间 上单调递减，在 上单调递增，
且2离对称轴更远，则g（x） ＝g（2）＝0；
max
综上，当a＞1时，g（x） ＝0．
max
6．已知函数
(1)若函数 在 上单调递减，求a的取值范围：
(2)是否存在实数a，使得函数 在区间 上的最小值为 ?若存在，求出a的值；若不存在，请说明
理由.
【解析】(1)因为函数 的对称轴为 且开口向上，
所以若函数 在 上单调递减，则 ，
所以a的取值范围是 .
(2)因为 ，
假设存在实数a，使得函数 在区间 上的最小值为 ，则 ，得 ，
解得 或 .
当 时， 在 上递增， ，所以 ，得 ；
当 时， 在 上递减， ，所以 ，得 ，综上所述：存在实数 或 使得函数 在区间 上的最小值为 .
7．已知函数 ， ．
(1)当 ，且 时，求函数 的值域；
(2)若函数 在 的最小值为 ，求实数 的值；
【解析】(1)当 时， ；
令 ，则当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
， ， 的值域为 .
(2)令 ，则当 时， ，
，对称轴为 ；
当 ，即 时， 在 上单调递增， ，解得： （舍）；
当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，解得： （舍）或 ；
当 ，即 时， 在 上单调递减， ，
解得： （舍）；
综上所述： .
8．已知函数 ．
(1)当 时，判断并证明函数 的奇偶性；(2)求函数 在 上的最小值．
【解析】(1)当 时， ， ，
此时 为奇函数，证明如下：
， ，
故函数 为奇函数．
(2) ，
设 ， ，
则它们的对称轴都为 ，临界点都为 ，
当 时，此时有 ，则 的图象大致为：
，故进行如下第二种讨论：
当 ，即 时，由图象可知， 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，因为 ， ，
又 ，所以 ．
当 ，即 时，由图象可知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．当 时，由图象可知， 在 上单调递增，
所以 ．
当 时，此时有 ，则 的图象大致为：
在 上单调递增，所以 ．
综上所述， ．
专项突破五 基本不等式法
1．下列函数中最小值为8的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，取 ，则 ，最小值不为8；
对于B，因为 ，但 无解，从而此函数的最小值不为8，
对于C，取 ，则 ，此函数的最小值不为8，
对于D， ，当且仅当 时等号成立，故此函数的最小值为8，
故选：D.2．已知圆 关于直线 为大于0的常数 对称，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】因为圆 的圆心为 ，且圆 关于直线 为大于
0的常数 对称，所以直线 过圆心 ，所以 ，又 ，
所以 即当 取最大值为 ，故选：A.
3．已知 ，则 的最小值是（ ）
A．14 B． C．8 D．
【解析】因为 ，则 ，
于是得 ，
当且仅当 ，即 时取“=”，
所以当 时， 取最小值14.故选：A
4．若 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】令 ，则原问题转化为 在 恒成立，
即 在 恒成立，又 当且仅当 时取等号 ，
故实数 的取值范围是 ，故选：C．5．下列函数中，最小值为9的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A， ，错误；
对于B，
，
当且仅当 ，即 时取等，正确；
对于C，当 时， ，错误；
对于D，当 时， ，错误.
故选：B.
6．已知正实数a，b满足 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2
【解析】因为 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，因为 ，
所以 ，即 ，所以 ，即 ，因为 为正实数，所以 ，
因此 ，故 的最大值为 ，此时 ，故选：B.
7．已知函数 则函数 的值域为（ ）
A．R B． C． D．
【解析】当 时， ，
由基本不等式可得： （当且仅当 ，即 时等号成立）
所以 ，即函数 的取值范围为 ；
当 时， ，因为当 时， 取得最大值1，
所以函数 的取值范围为 .
综上，函数 的值域为 。故选：B.
8．函数 的值域是______．
【解析】因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以
9．已知x>1，那么 的最小值为________.
【解析】因 ，则 ，当且仅当 ，
即 时取“=”，所以 的最小值为3.10．函数 在 上的值域为________．
【解析】 ，因为 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
则函数 在 上的值域为
11．函数 的值域是____________．
【解析】函数 定义域为 ，
，当且仅当 ，
即 时取“=”，因此，当 时， ，
所以函数 的值域是 .
12．已知 ，则 的最小值为___________.
【解析】因为对数有意义，所以x>0,y>0.
由 ，可得： ，即 ，
当 等号成立，解得： （ 舍去）.所以 的最小值为4.
13．已知 、 均为正实数，且 ，则 的最小值为___________.
【解析】因为 、 均为正实数，由基本不等式可得 ，
整理可得 ，
， ，则 ，解得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为 .14．若正实数 满足 ，则 的最大值为________.
【解析】因为 ， ，所以 ，
又 且 ，所以 ，解得 ，
= ，结合 知， 有最大值4.
15．已知关于 的一元二次不等式 在实数集上恒成立，且 ，则 的最小值为
________
【解析】 一元二次不等式 对一切实数 都成立，
当 时，不能保证恒成立，不符合题意；
当 时， 要满足， ，由此 ，
， ， 得： ，
则 ，
即 时，取等号，
故答案为：3．
16．若 ，则函数 的值域为__________.
【解析】当 时， ，当 时，令 ，
则
因为 ，所以 ，所以所以 在R是奇函数
当 时， ，
其中 时，取得等号，所以 ，
当 ，根据奇函数性质 ，当 时， ，
所以 的值域为 ；
综上， 的值域为
17．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是____.
【解析】由题意 ，
当 ，即 时，函数 在 单调递增，
故 ，值域为 恒成立；
当 ，即 时， ，
当且仅当 ，即 时取等，
又 在 单调递增，且 ，
若值域为 ，则有 ，解得 ，
综上所述， 的取值范围为
专项突破六 指、对数复合型1．函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，作出函数 的图像(图略)，如图所示，函数在 上单调递减，
在 上单调递增，所以函数的最小值为 ，所以函数 的值域为 .
故选：C.
2．函数 的最小值是（ ）．
A．10 B．1 C．11 D．
【解析】设 ，则 ，因为 ，
所以 ，所以 的最小值为1，故选：B
3．函数 ， 的值域是( )
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，则 ，
故选：A.
4．已知函数 的图象过定点 ，则 在 上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的图象过定点 ，所以 ，
，由于 ，所以 ，所以 .
故选：B5．函数 的值域为______．
【解析】由于 ， 在 上单调递减，所以 ，
所以函数 的值域为 .
6．若函数f (x)＝ 有最大值3，则a＝________.
【解析】令 ，则 .
因为 有最大值 ，所以 应有最小值 .由此 ，解得
7．函数 的值域是________．
【解析】 ，而 在定义域上递减， ，无最小值，
函数的值域为 ．
8．求下列函数的值域:
(1) ；(2) .
【解析】(1)设 ，
所以 ，又 在 上是增函数，
所以 ，即 ，
所以函数 的值域为 .
(2)因为 ，所以 能取到所有正实数. 对于 ，在 时值域为 ，
所以函数 的值域为 .
9．定义在 上的奇函数 ，已知当 时 （ ）．
(1)求 在 上的解析式；
(2)若存在 时，使不等式 成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)根据题意， 是定义在 上的奇函数，
则 ，得 ．经检验满足题意：故 ；
当 时， ，
当 时， ， ．
又 是奇函数，则 ．
综上，当 时， ．
(2)根据题意，若存在 ，使得 成立，
即 在 有解，即 在 有解．
又由 ，则 在 有解．
设 ，解析可得 在 上单调递减，
又由 时， ，故 ．
即实数m的取值范围是 ．10．已知函数 （ 且 ）在 上的最大值为3.
(1)求实数a的值；
(2)若 ，求函数 的值域.
【解析】(1)当 时， 在 上单调递减，
所以 ，所以 ，所以 ，
当 时， 在 上单调递增，
所以 ，所以 ，所以
综上， 或 .
(2)若 ，求函数 的值域，因为 ，所以 ，
所以 ，
令 ，所以函数 的值域与函数 的值域相同，
所以 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以在 时 ，所以函数 的值域为 .
11．已知：变量 满足不等式 .
(1)求变量 的取值范围；
(2)在(1)的条件下，求函数 的最大值和最小值.【解析】(1) ，解得 ，
∴ 的取值范围为 .
(2)令 ， ，则 ， .
∴当 ，即 ， 时， ，
当 ，即 ， 时， .
12．已知 ．
(1)设 ，求t的最大值与最小值；
(2)求 的值域．
【解析】(1)因为函数 在区间[2，4]上是单调递增的，
所以当 时， ，
当 时， ．
(2)令 ，则 ，
由（1）得 ，因为函数 在 上是单调增函数，
所以当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
故 的值域为 .
13．（1）已知x满足 时，求函数 的值域（2）已知 ，求函数 的值域
【解析】（1）由不等式 ，则 ，解得 ，
设 ，
当 时，可得 ；当 时，可得 ，
又由 在定义域上单调递增，所以 ，
即函数 的值域为 .
（2）由 ，可得 ，
又由
，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ；
当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域 .
