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专题 07 函数与方程
一、单选题
1．（2024届广东省茂名市化州市林尘中学高三上学期第一次统测）函数 的一个零点所在
的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，当 时， ，当 时， ，故 在 上为减函数，在
上为增函数，又 ， ， ，根据零点存在性定理及函数
的单调性可得函数 在 内有零点，故选B.
2．（2023届新疆乌鲁木齐市高三三模）定义符号函数 ，则方程 的解是
（ ）
A．2或 B．3或 C．2或3 D．2或3或
【答案】D
【解析】依题意，当 时，方程 为： ，解得 或 ，因此 或 ，
当 时，方程 为： ，解得 ，于是无解，
当 时，方程 为： ，解得 或 ，因此 ，
所以方程 的解是 或 或 .故选D
3．（2024届河南省郑州高三上学期8月月考）已知函数 ，若关于x的方程
有且只有一个实根，则实数a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令 ，
则可转化为 与 只有1个交点，
当 时， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，
当 时， ，故 恒成立，
故 在 上单调递增，又 ，
画出 的图象如下：
要想 与 只有1个交点，只需 ，故实数a的取值范围是 .故选A
4．（2024届北京市第三十五中学高三上学期开学考）若关于x的方程 有实数根 ，且
，给出下列4个结论：
①当 时， ；② ；③当 时， ；④当 时， .其中
正确的结论个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C【解析】对于①， 时，方程为 ，解得 ， ，∴①正确；
对于②，方程整理可得 ，则 ，可得 ，∴②正确；
作出函数 的图象，
当 时， ，∴③不正确，④正确．
故正确的有①②④，共3个.故选C
5．（2024届内蒙古呼和浩特市高三第一次质量监测）若函数 存在1个零点位于 内，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若函数 存在1个零点位于 内，
单调递增,又因为零点存在定理，
.故选A.
6．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）已知函数 在区间 上
有三个不同的零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令 ，得 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，则 或 ．
由题意得方程 在区间 内有两个不同的实数根，
设两根分别为 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，即 的取值范围是 ．故选B
7．（2024届四川省成都市石室中学高三上学期开学考）已知函数 ，若方程
有三个不同的根 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意，因为 ，所以 为奇函数，
由函数 向右平移一个单位长度，再向上平移4个单位长度而得到的，
所以 的图象关于点 对称.而 所表示的直线也关于点 对称，
所以方程 的三个实根 中必有一个为1，另外两个关于 对称，所以
.
故选D.
8．（2024届宁夏石嘴山市平罗中学高三上学期月考）定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时， ，若关于x的方程 恰有5个实数解，则实数m的取值
范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，可得函数 的图象关于 对称，且 ，
又因为函数 为定义在 上的偶函数，可得 ，
则 ，即 ，所以 是以 为周期的周期函数，
因为当 时， ，作出函数 的图象，如图所示，
由关于x的方程 恰有5个实数解，
即函数 与直线 的图象有5个交点，
结合图象，及其图象的对称性，则满足 或 ，
解得 或 ，
即实数 的取值范围是 .故选A.
9．（2024届辽宁省沈阳市第二中学高三上学期阶段验收）已知函数，且满足对任意的 ，总有 ，
的图象上关于 轴对称的点恰好有3对，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为当 时， ，故 在 上的图象具有局部周期性，
则 在 上的图象如图所示：
设 ，若要使函数 的图象上关于 轴对称的点恰好有3对，
则函数 与 的图象恰有3个交点，
在同一直角坐标系中画出 与 的图象，如图，由图象可得，若使两函数的图象恰有3个交点，则 且满足 ， ，
即 ， ，所以，解得 ，故选C
10．（2023届山西省吕梁市高三二模）已知 ， 分别是方程 ， 的根，则
的值为（ ）
A． B． C．10 D．5
【答案】D
【解析】在同一平面直角坐标系绘制函数 ， ， 的图象，
由题意可知 ， 的值分别为图中点 ， 的横坐标，
则 ， 的值分别为图中点 ， 的纵坐标，
因为函数 和 互为反函数，
互为反函数的图象关于直线 对称，设直线 与 的交点为 ，
易知 ，结合对称性可知 ．故选D11．（2024届天津市第二南开学校高三开学考试）函数 ，关于x的方程
有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，即关于x的方程 始终有一个根为 ，
当 时，由 ，得 ，
由题意可知当 时，直线 与函数 仅有一个交点，
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以当 时， 取到最大值 ，
当 时， ，
作出函数 的图象如下图所示，由图象可知，要使直线 与函数 仅有一个交点，则
，或 ，或 故选A
12．（2024届江西省宜春市宜丰中学高三上学期开学考试）已知函数 ，若方程
有四个不同的实根 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于 ，可知其对称轴为 ，
令 ，解得 或 ；
令 ，解得 或 ；
作出函数 的图象，如图所示，
若方程 有四个不同的实根 ，即 与 有四个不同的交点，交点横坐标依次为 ，
对于 ，则 ，
可得 ，所以 ；
对于 ，则 ，可得 ；
所以 ，
由对勾函数可知 在 上单调递增，
可得 ，所以 的取值范围是 .故选B.
二、多选题
13．（2024届辽宁省沈阳市实验中学高三上学期9月月考）已知函数 ，其中 ， 为
某确定常数，运用二分法研究函数 的零点时，若第一次经计算 且 ，则（ ）
A．可以确定 的一个零点 ，满足
B．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
C．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
D．第二次应计算 ，若 ，第三次应计算
【答案】AB
【解析】对于A选项：由题意第一次经计算 且 ，因此由零点存在定理可知存在满足 ，故A选项符合题意.
对于B选项：第二次应计算 ，若 ，又 ，所以有 ，满足零点存在定
理，
所以第三次应计算 ，故B选项符合题意.
对于C选项：第二次应计算 ，若 ，又 ，所以有 ，满足零点存在定
理，
所以第三次应计算 ，故C选项不符题意.
对于D选项：第二次应计算 ，而不是计算 ，故D选项不符题意.故选AB.
14．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期学业质量监测）下列区间上，函数 有零
点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】 时， ，
， ,
∴ 在 有零点，C正确.
，所以 ，在 连续则 在 有零点，D正确.
时 ， 时 ，
由于当 时，
所以 在 单调递减，故 ，
而当 时， ，
所以 无实数根，故 在 无零点.B错误，
， ，
∴ ，∴ 在 有零点， A正确，故选ACD.
15．（2024届辽宁省朝阳市高三上学期9月联考）设符号函数 ，已知函数
，则（ ）
A． 的最小正周期为
B． 在 上的值域为
C． 在 上单调递减
D．函数 在 上有5个零点
【答案】CD
【解析】当 时， ， ， ，当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
即 ，作出 的部分图象，如图所示：
由图可知， 不是周期函数，故A错误；
由图可知， 在 上的值域为 ，故B错误；
由图可知， 在 上单调递减，故C正确；
令 ，得 ，由图可知，在 上， 的图象与直线 只有5个交点，
所以 在 上有5个零点，故D正确.故选CD.
16．（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个零点
B．直线 与 的图象有两个交点
C．直线 与 的图象有四个交点D．存在两点 ， 同时在 的图象上
【答案】ABD
【解析】画出 的图象，如下：
A选项， 有两个零点，即 和0，A正确；
B选项，当 时， ，则 ，令 ，
解得 ，又 ，
故 在 的切线方程为 ，
令 ， ，则 ，
故 在 上单调递增，
故 ，即 在 上恒成立，
故 在 上与 只有一个交点，
当 时， ，联立 ，可得 ，解得 或0（舍去），
结合函数图象，可知直线 与 的图象有两个交点，B正确；
C选项，在同一坐标系内画出 与直线 的图象，可知直线 与 的图象有2个交点，C错误；
D选项，点 ， 是关于 对称的两点，
因为 ，故 是位于第一象限的点， 位于第二象限，
在 上，要想满足 同时在 的图象上，
只需 与 在第一象限内有交点，
因为 ，故 ，
又 ，故 ，
两函数均在 单调递增，故一定存在 ，使得 ，D正确.
故选ABD
17．（2024届重庆市第八中学高三上学期入学测试）已知函数
，则（ ）
A． ，使得 有2个零点 B． ，使得 有3个零点
C．若 有3个零点，则 D．若 有4个零点，则
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，则 的图像如下所示，当 时， 有两个交点，当 时， 有3个交点，
当 时， 有1个交点，当 时， 有0个交点.
由于直线 的斜率为1，故当 ，
设 斜率为1的切线的切点为 ，则 ，
故切点为 ，切线方程为 ，
当 ，设 斜率为1的切线的切点为 ，
则 ，故切点为 ，切线方程为 ，
在图中做出 在 和 的切线方程，如下图， 的零点即为函数 与 的
交点，
由图可知：当 时， 与 有一个交点，且交点横坐标满足 ，
当 时， 与 有2个交点，目交点横坐标满足 ，和 ，
当 时， 与 有一个交点，且交点横坐标满足 ，
当 时， 与 有一个交点，且交点横坐标满足 ，当 时， 与 有一个交点，且交点横坐标满足 ，
综上可知：当 或 时， 有3个交点，当 时， 有4个交点
当 时， 有2个交点.故选ABD
三、填空题
18．（2024届广东省惠州市惠东县高三上学期第一次教学质量检测）已知 是定义在 ，且满足
，当 时， ，若函数 在区间 上有10个不同
零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由 得 ，
所以函数 的周期为4，
先作出 在区间 上图像：
又 ， ，
则实数 的取值范围为 .
19．（2024届】河南省TOP二十名校高三上学期9月调研）已知函数 若
，函数 恰有三个不同的零点，则实数 的取值范围为 ．
【答案】【解析】依题意， ，可得 ，
函数 恰有三个不同的零点，即 恰有三个解，
转化为函数 与 图象有三个交点，
函数 的图象如图所示．结合图象， ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
20．（2023届河北省石家庄市部分学校高三下学期期中）已知 为整数，若关于 的方程
有正数解 ，则 ．
【答案】
【解析】由 得 ，所以 ．设 ，则 ，
，因为 为整数，所以 ，即 ，解得 ，
即 ，解得 ．
21．已知函数 且 有且仅有2个零点，则 的取值范围为 ．
【答案】【解析】当 时，当 时， ，此时没有零点，
因此 在 上有且仅有2个零点，
由 ，得 ，于是 ，解得 ，
当 时，当 时， ， 在 上恰有一个零点，
因此 在 上有且仅有1个零点，于是 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
22．（2024届江苏省常州市前黄高级中学高三上学期期初考试）已知函数 ，关于
的方程 恰有 个不同实数解，则 的取值范围为 ．
【答案】 或
【解析】对于函数 ，
，所以当 时， ；
当 时， .所以 ，
令 ，则方程 可化为 ①，
作出函数 的图象如下图所示，
则方程①有两个相等的实根或者两个小于2的不等实根，
即 ， （符合），或 .
所以 的取值范围是 或 .
