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专题19 二次求导函数处理问题
构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法
建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，
属于难题．
二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次
求导函数零点“求之不得”的问题。
方法 二次求导
使用情景 对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本
解不出.
设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调
解题步骤
性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性.
一、单选题
1．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间
上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”；已知 在
上为“凸函数”，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知二次函数 的图象过点 ，且当 时， ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
3．设实数 ，那么 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ）A． B． C． D．
5．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，若函数 与 有相同的最小值，则 的最
大值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集中，
有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
8．已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ）
A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点
C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值
10．已知函数 ，则（ ）
A．当 ， 时，
B．当 时， 有最值
C．当 时， 为减函数D．当 仅有一个整数解时，
三、填空题
11．已知 是 上的偶函数，当 时， ，且 对 恒
成立，则实数 的取值范围是___________.
12．已知函数 .若 是 的极大值点，则正实数a的取值范围为
_________________.
13．已知 ，若方程 在 上有唯一实根，则实数a的取值范围为
______．
14．若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________．
四、解答题
15．已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
16．已知函数 ， .
(1)若函数 在区间 上的最大值为20，求实数a的值；
(2)若 恒成立，求实数a的取值范围.17．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)若不等式 在 上恒成立，求实数k的取值范围．
18．已知函数 ．
(1)判断函数 的单调性．
(2)证明： ．
19．已知函数 .
(1)当 时，证明： ；
(2)若 ，求实数 的取值范围.20．已知函数 .
（1）若函数 在 上单调递减，求 的取值范围；
（2）若 恒成立，求实数 的取值范围.
21．已知 ，函数 ， ．
（1）讨论函数 的极值；
（2）若 ，当 时，求证： ．
22．已知函数 .
（1）若 ，讨论函数 的单调性；
（2）已知 ，若 在 内有两个零点，求 的取值范围.23．已知函数 满足 ，且曲线 在 处的切线方程为 ．
（1）求 ， ， 的值；
（2）设函数 ，若 在 上恒成立，求 的最大值．
24．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 有两个极值点，求实数 的取值范围．
25．已知函数 .
(1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围；
(2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： .26．已知函数 ，且0是 的一个极值点．
(1)求 的单调区间；
(2)若 ，求 的取值范围．
