专题19二次求导函数处理问题(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题19 二次求导函数处理问题 构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法 建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了， 属于难题． 二次求导的原因是导函数无法用初等方程的求解，尤其是超越方程，使用二次求导可以化解很多一次 求导函数零点“求之不得”的问题。 方法 二次求导 使用情景 对函数 一次求导得到 之后，解不等式 难度较大甚至根本 解不出. 设 ，再求 ，求出 的解，即得到 函数 的单调 解题步骤 性，得到函数 的最值，即可得到 的正负情况，即可得到函数 的单调性. 一、单选题 1．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间 上 恒成立，则称函数 在区间 上为“凸函数”；已知 在 上为“凸函数”，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解析】因为 ， ， 由题意 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 分离参数 ，而 在 上的最大值为2， 所以实数 的取值范围是 .故选：D. 2．已知二次函数 的图象过点 ，且当 时， ，则 的最小值为 （ ）A． B． C． D． 【解析】由 知 ，∴ ， ∴ ，令 ，则 ， ，令 ，令 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 如图，若 图象在 图象上方，则 ， 要使 图象在 图象上方，则 表示x轴截距的相反数， 的最小值即为截距的最大值，而当截距最大时，直线 与 相切， 记切点为 ，则 ，又 ， 所以 ， 有 ，设 ， 则 ， 故当 时，函数 ，当 时， ， 故当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 此时 ，综上， 的最小值为 .故选：D.3．设实数 ，那么 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】 ，令 ， 令 ， ， 在 上是减函数， ， 在 上是减函数， 又 ， ，即 ，故选：C. 4．若关于x的不等式 恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】依题意， ， 设函数 ，则 ， 令 ，故 ， 所以函数 在 上单调递减，而 ， 故当 时， ，当 时， ， 故函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，则 .故选：B． 5．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 【解析】由 ，得 ，又关于 的不等式 在 上有解， 所以 在 上有解，即 ， 令 ， ，则 ， 设 ， ，则 ， 即 在 上单调递增，则 ， 于是有 ，从而得 在 上单调递增， 因此， ，则 ， 所以 的取值范围是 .故选：D 6．已知函数 ，若函数 与 有相同的最小值，则 的最 大值为（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据题意，求导可得， ， ∵ （ ），∴ 在 上单调递增， 又∵当 时， ， ∴当 时， ，即函数 在 上单调递减， 当 时， ，即函数 在 上单调递增，故有 ，即得 ， 所以根据题意，若使 ，需使 的值域中包含 ， 即得 ，故 的最大值为2.故选：B. 7．在关于 的不等式 （其中 为自然对数的底数）的解集中， 有且仅有两个大于2的整数，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】由 ，化简得： ， 设 ， ，则原不等式即为 . 若 ，则当 时， ， ， 原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴ . ∵ ， ，∴ . 当 ，即 时，设 ， 则 . 设 ，则 在 单调递减，所以 ，所以 在 单调递减，∴ ， ∴当 时， ，∴ 在 上为减函数，即 ， ∴当 时，不等式 恒成立， 原不等式的解集中没有大于2的整数. 要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数， 则 ，即 ，解得 .则实数 的取值范围为 .故选：D 二、多选题 8．已知函数 有两个极值点 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意知，函数 的定义域为 ， ，则 的两根为 ， 由 ，得 ，设 ，则 ， 令 ，令 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 ，作出函数 与函数 的图像，如图， 由图可知 ，解得 ，故A错误； 又 ，令 ，令 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 由 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ， 故函数 在 和 上单调递减，在 上单调递增， 有 ，故C错误； ，故D正确； 设 ， 则 ，即函数 关于点 对称， ，令 ， 则 ， 当 时， ， ， 所以在 上， ，函数 单调递减，且 ， 则在 上 ，即 ，函数 单调递增， 又 关于点 对称，所以函数 在 单调递增， 所以 ，有 ， 又 ，所以 ，由 ， 得 ，又函数 在 单调递增， 所以 ，即 ，故B正确. 故选：BD 9．已知函数 ，则下列说法正确的有（ ） A．f（x）无最大值 B．f（x）有唯一零点 C．f（x）在（0，＋∞）单调递增 D．f（0）为f（x）的一个极小值【解析】 ，记 因为 ，且 ， 在区间 上显然递增， 所以记 为 的零点，则有 所以当 时， ， 在 上单调递增， 又因为 ，所以当 时， ，当 时， ， 所以当 时， 有极小值，D正确； 由上可知， 在 上单调递增，且当x趋近于正无穷时， 也趋于正无穷，故AC正确； 易知 ，故B错误 故选：ACD 10．已知函数 ，则（ ） A．当 ， 时， B．当 时， 有最值 C．当 时， 为减函数 D．当 仅有一个整数解时， 【解析】对于A，当 时， ，令 因为 在 上单调递增，所以当 时， 所以 ，即 ，故A正确； 对于B，当 时， ， 令 ，则 所以当 时， ， 单调递增当 时， ， 单调递减 所以 ，即 ， 所以 在 上单调递减，没有最值，故B错误； 对于C， ， 令 ，则 因为 ，所以由 可得 ，由 可得 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 令 ，则 所以 在 上单调递增， 所以 ，即 ，所以 为减函数，故C正确 对于D，由 可得 ，令 ，则 ， 所以当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减 的图象如下：表示的是过点 的直线，所以当 仅有一个整数解时， ，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 11．已知 是 上的偶函数，当 时， ，且 对 恒 成立，则实数 的取值范围是___________. 【解析】 ， 故 为增函数，当 时， ，可得 为增函数. 又 为偶函数，故 ， 恒成立. 因为 ， ， 所以有 ，故答案为： 12．已知函数 .若 是 的极大值点，则正实数a的取值范围为 _________________. 【解析】由题知 ，且 ， 令 ，则 ， ①若 ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，所以 ，所以 在 上单调递增； 所以 .因此 不可能是 的极大值点.②若 ，令 ， 当 时， ， 所以 即 在 上单调递增. 又因为 ， ， 因此存在 满足： ，所以当 时， ， 所以 在 上单调递减， ， 所以当 时， ；当 时， ； 所以 在 上单调递增；在 上单调递减； 综上，当 是 的极大值点时， . 故答案为： 13．已知 ，若方程 在 上有唯一实根，则实数a的取值范围为 ______． 【解析】当 时，方程 可化为 ， ， 设 ，则 ， 设 ，则 ，设 ，则 ， 因为 ，所以 ，所以 在 上单调递增， 又 ， ，所以存在 ，使得 ， 当 时， ， ，函数 单调递减， 当 时， ， ，函数 单调递增， 又 ， ，所以存在 ，使得 ， 当 时， ， ，函数 单调递增， 当 时， ， ，函数 单调递减， 作函数 的图象如下， 又 ，因为方程 在 上有唯一实根， 所以函数 与函数 的图象有且只有一个交点， 所以 ，所以 ，所以实数a的取值范围为 ， 14．若对任意正实数 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________． 【解析】由 ， ，得 ， 设 ，即 恒成立， ，， 所以 在 上单调递减，且 ， 所以当 时， ；当 时， ； 即函数 在 上单调递增，在 单调递减， 故当 时， 取最大值为 ，即 ，所以 ，故答案为： . 四、解答题 15．已知函数 ， . (1)若函数 在区间 上的最小值为3，求实数 的值； (2)若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】(1)因为 ， ， ， 所以当 时，则 在 上单调递增， 的最小值为 不符合，舍去； 当 时，则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 的最小值为 ， 则 不符合，舍去； 当 时， 在 上单调递减， 的最小值为 ，则 ． (2) 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 设 ， ， ，设 ， 在 上恒为正，则 在 上单调递增， ，则 在 上单调递增， .所以 ，即实数 的取值范围为 . 16．已知函数 ， . (1)若函数 在区间 上的最大值为20，求实数a的值； (2)若 恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)函数 的定义域为R， ， ①当 时， ，故函数 单调递增， 有 ，解得 ； ②当 时，令 ，解得 或 ， 令 ，解得 ， 所以函数 的增区间为 ， ，减区间为 . 当 即 时，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 得 或 . 解得 （舍去）或 舍去）； 当 即 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 得 ，解得 （舍去）；当 即 时，函数 在 上单调递减， 得 ，解得 . 综上知 或 ； (2) 可化为 ，整理，得 ， 即 在 上恒成立，令 ， 则 ， 令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，且 ， 所以当 时 ；当 时 ，故函数 的增区间为 ，减区间为 ， 所以 ，得 ，即实数a的取值范围为 . 17．已知函数 ． (1)求函数 的单调区间； (2)若不等式 在 上恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】(1)因为 ，所以 ， 所以 ，因为 所以函数 为增函数，又 ， 所以当 时 ，当 时， ， 所以函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． (2)将 化为 ，设 ， 则 ，由（1）可知， 是 上的增函数，且 ， ①当 时， ，函数 在区间 上单调递增，故 ，符合题意； ②当 时， ，故存在 ，使得 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上为减函数，在 上为增函数， 故 ，不等式不恒成立． 综上，实数k的取值范围为 ． 18．已知函数 ． (1)判断函数 的单调性． (2)证明： ． 【解析】(1)因为 ，所以 ． 令 ，则 ，可得 在 上单调递减，所以 ． 因为当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． (2)证明：令 ， 则 ． 令 ，则 ，所以 在 上单调递增．因为 ， ，所以存在 ，使得 ， 所以当 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减，所以 ． 因为 ，且 ，所以 ，所以 ． 令 ， ，则 ，所以 在 上单调递减， 所以 ，所以 ，所以 ． 19．已知函数 . (1)当 时，证明： ； (2)若 ，求实数 的取值范围. 【解析】(1)当 时， ，则 ， 易知函数 ， 都是R上的减函数，所以 是R上的减函数， 又 ，所以当 时， ；当 时， . 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 . (2)由 ，得 ， 设 ，则 ， 设 ，则 ， 当 时，易知 ，所以 在R上是减函数，即 在R上是减函数.又 ， ，所以存在 ，使得 ， 当 时， ， 单调递增，则 ，不符合题意； 当 时，由（1）可知 ，满足题意； 当 时，易知 在 上单调递减，又 ，则 在 上单调递减，即 在 上单调递减. 又 ， ，则存在 ，使得 ， 所以当 时， ， 单调递减，则 ，不符合题意； 当 时，因为 ，所以不符合题意. 综上可知，实数 的取值范围为 . 20．已知函数 . （1）若函数 在 上单调递减，求 的取值范围； （2）若 恒成立，求实数 的取值范围. 【解析】（1）因为函数 在 上单调递减， 所以 在 上恒成立，则 在 上恒成立； 令 ，则 ， 令 ，得 ， 单调递减；令 ，得 ， 单调递增； 则 的最小值为 ，所以 . （2）令 ，当 时， .令 ， 令 ， ，所以 在 上单调递增. 因为 ，所以 时， ， 单调递减； 时， ， 单调递增.故 ，满足条件； 综上： . 21．已知 ，函数 ， ． （1）讨论函数 的极值； （2）若 ，当 时，求证： ． 【解析】（1）因为 ，则 ， 当 时，对 ， ，则 在 是增函数，此时函数不存在极值； 当 时， ，令 ，解得 ， 若 ，则 ，若 ，则 ，当 时， 取得极小值 ， 所以当 时， 没有极值点，当 时， 有一个极小值 ； （2） 时，设 ， ， 求导得 ，设 ， ， 则 ，当且仅当 时取“=”， 于是得 在 单调递增， ，即 ，从而得 在 上单调递增， 因此有 ，即 ，所以 在 上恒成立. 22．已知函数 . （1）若 ，讨论函数 的单调性； （2）已知 ，若 在 内有两个零点，求 的取值范围. 【解析】（1） 的定义域为(0,+∞)， . ① 当 时，令 ，得到 ；令 ，得到 ， 此时 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当 时，令 ，得到 ；令 ，得到 或 ，此时 在(a,1)上为 减函数，在(0,a)和 上为增函数； ③当a=1时,显然 恒成立，此时 在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时,令 ，得到 ；令 ，得到 或 .此时 在(1,a)上为减函数, 在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. 综上：①当 时， 在(0,1)上为减函数，在(1,+∞)上为增函数； ②当 时， 在(a,1)上为减函数，在(0,a)和 上为增函数； ③当a=1时， 在0,+∞)上为增函数； ④当a>1时， 在(1,a)上为减函数,在(0,1)和(a,+∞)上为增函数. （2） 在 内有两个零点，即关于x方程在 上有两个不相等的实数根. 令 则 ， 令 ，则 ， 显然 在 上恒成立,故 在 上单调递增. 因为p(1)=0，所以当 ，有 ，即 所以 单调递减； 当 ，有 ，即 所以 单调递增； 因为 ，所以a的取值范围 23．已知函数 满足 ，且曲线 在 处的切线方程为 ． （1）求 ， ， 的值； （2）设函数 ，若 在 上恒成立，求 的最大值． 【解析】（1）由已知得 ，且函数 的图象过点 ， ， 则 解得 ， ， ． （2）由（1）得 ．若 在 上恒成立， 则 在 上恒成立， 即 在 上恒成立， 因为 ，所以 ，从而可得 在 上恒成立．令 ，则 ， 令 ，则 恒成立， 在 上为增函数． 又 ， ， 所以存在 ，使得 ，得 ，且当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增．则 ． 又 ，所以 ，代入上式，得 ． 又 ，所以 ．因为 ，且 ，所以 ，故 的最大值为3． 24．已知函数 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）若函数 有两个极值点，求实数 的取值范围． 【解析】（1）由题意得， 的定义域为 ， ， 当 时， ，函数 在 上单调递增． 当 时，令 ，解得 ， 时， ，函数 在 上单调递减； 时， ，函数 在 上单调递增． 综上所述，当 时，函数 在 上单调递增； 当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）由题意得 ，求导得 ， 设 ，求导可得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递增，函数 至多有一个极值点，不合题意．当 时，令 ，解得 ， 时， ，函数 在 上单调递增， 时， ，函数 在 上单调递减， 所以函数 在 处取得极大值，也是最大值，为 ． 因为函数 有两个极值点等价于函数 有两个不同的零点， 所以 ，即 ，解得 ． 当 时， ， ， ， ， 令 ，则 ，故 在 上单调递增， ，即 ，所以 ， 又 在 上单调递增，在 上单调递减，所以函数 有两个极值点， 所以实数 的取值范围是 ． 25．已知函数 . (1)若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围； (2)若 ， 是 的两个极值点，且 ，证明： . 【解析】(1)因为 恒成立，所以 ， 即 . 令函数 ，则 恒成立.令函数 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， ， 因为 ，所以 在 上单调递增， 所以 等价于 ，即 恒成立， 令函数 ，则 ，当 时， ；当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，所以 ， 故 的取值范围是 ； (2)因为 是 的两个极值点，所以 是方程 的两个根， 令 ，则 ，有（1）的讨论可知， 若 存在两个零点， ，且 ， 由 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 即需证 恒成立，由 可得 ，令 ，则 ， ， 所以 等价于 ，即 ， 令函数 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，所以 ，即 ， 故 ； 26．已知函数 ，且0是 的一个极值点． (1)求 的单调区间； (2)若 ，求 的取值范围． 【解析】(1)函数 的定义域为 ， 因为0是 的一个极值点，所以 ， 所以 ，解得 ，所以 ， 且 ， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 单调递减，又 当 时， ， ，函数 单调递减， 当 时， ， ，函数 单调递增， 所以 为函数的极大值点， 所以 ，且函数 的递增区间有 ，递减区间有 ；(2)由(1) ， 所以 可化为 ， 当 时，不等式 可化为 ，可得 , 当 时，不等式 可化为 ， 设 或 ，则 ， 设 ，则 所以 单调递增，又 ， 所以当 时， ， ， 当 ， ， ， 所以函数 在 和 上都为增函数， 取 ， ， 设 ，则 当 时， ， 所以 单调递增，而 ， 所以当 时， ， 所以当 时， ， 所以 或 的最小值为h(-1),即 ， 所以当 时， 没有最小值， 但其取值能无限趋近 ，又 恒成立，所以 ，所以 ， 综上 .