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专题06 利用导数研究函数的最值
专项突破一 函数最值与极值关系
一、单选题
1． 是定义在 的函数，导函数 在 内的图象如图所示，则下列说法有误的是（ ）
A．函数 在 一定存在最小值 B．函数 在 只有一个极小值点
C．函数 在 有两个极大值点 D．函数 在 可能没有零点
【解析】
由导函数的图像可知原函数的图像如图所示，
对于A：不确定端点及极小值的大小，同时端点值取不到，故不一定有最小值，A错误；
对于B：由图像可知只有一个极小值，B正确；
对于C：由图像可知有两个极大值，C正确；
对于D：函数图像极值大小不确定且可以上下平移，故在 可能没有零点，D正确.
故选：A.
2．已知函数 的导函数图像，如图所示，那么函数 （ ）A．在 上单调递增 B．在 处取得极小值
C．在 处切线斜率取得最大值 D．在 处取得最大值
【解析】结合图像易知，当 时，函数 是减函数，
当 时，函数 取极小值，当 时，函数 是增函数，
当 时，函数 取极大值，不一定是最大值，
当 时，函数 是减函数，结合上述易知，A、B、D错误，
因为函数在某点处的导函数值即函数在这点处的切线斜率，
所以由图像易知，在 处切线斜率取得最大值，C正确，故选：C.
二、多选题
3．下列关于极值点的说法正确的是（ ）
A．若函数 既有极大值又有极小值，则该极大值一定大于极小值
B． 在任意给定区间 上必存在最小值
C． 的最大值就是该函数的极大值
D．定义在 上的函数可能没有极值点，也可能存在无数个极值点
【解析】A选项，例如 ，在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 ，而
，故极大值不一定大于极小值，A错误，
C选项， ，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
根据极值的定义可知： 在 处取得极大值，也是最大值，C正确；
对于D， 无极值点， 有无数个极值点，D正确；
在R上为连续函数，因为连续函数在闭区间上必定存在最值，所以B正确；
故选：BCD．4．下列说法正确的是（ ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数 的定义域为 ，且 在 上递减，在 上递增，则 的最小值为
【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如 是 的极值点，但 在 处不可导，A错
误；
对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；
对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间
端点处，C正确；
对于D，由单调性可知，函数 在区间 内有唯一的极小值点 ，且根据单调性可知其为最小值
点，即最小值为 ，D正确.
故选：CD.
5．（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数 在区间 上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区间 上的极大值
B．若函数 在区间 上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区间 上的极小值
C．若函数 在区间 上有最值，则最值一定在 或 处取得
D．若函数 在区间 内连续，则 在区间 内必有最大值与最小值
【解析】若函数 在区间 上有最值，则最值可能在极值点或区间端点处取得，故A，B，C都不正
确；函数在闭区间上一定有最值，故D正确.故选：ABC.
专项突破二 求具体函数最值
一、单选题
1． 在区间 上的最大值是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 ，当 时， ，当 时， ，∴ 在
上单调递增，在 上单调递减；∴ 在区间 上的最大值为 ．故选：B．
二、多选题
2．已知函数 ，则（ ）
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． D． 的极小值大于0
【解析】因为 ， 故
，即 ，
故 关于 对称.故可设 ，即
，为偶函数，则 ，画出 与 ，考虑 时的情况，
易得两图象交点为 与 ，当 时， 在 上方，故 ，
当 时， 在 下，故 .故当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减.又 ，故 为 的图象往左平移 个单位，故当 时， 单调递增，当
时， 单调递减.又 关于 对称，故当 时， 单调递增，当
时， 单调递减.故A正确，B错误；
又 最大值 ，故C正确；
又极小值 ，故D正确
故选：ACD
三、填空题
3．函数 的最大值为________．
【解析】 ，
所以 在 递增，在 递减，
所以当 时， 取得最大值为 .
4．函数 在区间 上的最小值为__________.
【解析】由 ，
得 ，当且仅当 时取等号，即 取等号，
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增，所以当 时，函数取得最小值0
5． ， 的最小值为___________．
【解析】令 ，则 ，
当 时， 单调增， ，
当 时，令 ， ，
时 ， 递减， 时 ， 递增，∴ ，
综上：
6．已知 是奇函数，当 时， ，则当 时， 的最小值为________．
【解析】 ， ，所以 ，
又因为 是奇函数，所以 ，
所以当 ， ， ，令 ，所以 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
所以当 时， 的最小值为1.
四、解答题
7．已知函数 ．
(1)求函数 在 处的切线方程；
(2)求函数 在 上的最大值与最小值．
【解析】(1)由 得 , 又 ,
所以函数 在 处的切线方程为: ,即(2)由 ,令 解得
令 解得 ,所以 在 上单调递增,在 上单调递减.
所以当 时, 最小,且最小值为 , , ,
故最大值为
8．已知 的一个极值点为2.
（1）求函数 的单调区间；
（2）求函数 在区间 上的最值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
因为 的一个极值点为2，
所以 ，解得 ，
此时 ， ，
令 ，得 或 ，
令 ，得 ；令 ，得 或 ，
故函数 在区间 上单调递减，在区间 ， 上单调递增.
（2）由（1）知， 在 上为增函数，在 上为减函数，
所以 是函数 的极大值点，又 ， ， ，
所以函数 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
9．已知函数 ．(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最值．
【解析】(1)由题意知： ．令 ，解得 ．
把 定义域划分成两个区间， 在各区间上的正负，
以及 的单调性如下表所示.
0
单调递减 单调递增
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ．
(2)结合（1）的结论，列表如下：
0
单调递减 单调递增
所以 在区间 上的最小值是 ，最大值是 ．
10．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为
(1)求a，b的值；
(2)求 在 上的最大值和最小值.
【解析】(1)依题意可知点 为切点，代入切线方程 可得
∴ ，即 ，
又由 得， ，而由切线 的斜率可知 ，∴ ，即 ，
由 ，解得
(2)由（1）知 ，
令 ，得 或 ，
当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x 2
0 0 ＋
单调递
13 单调递增 13
减
∴ 最大值为13，最小值为
11．已知 为自然对数的底.
(1)求 在 处的切线方程；
(2)求 在 上的最小值和最大值.
【解析】(1)因为 ，
所以 ，则 ， ，
故 在 处的切线方程为 .
(2)由（1）知， ，由 ， ，
故 在区间 上为增函数，在区间 上为减函数，且 ， ， ，
故 在 上的最小值为 ，最大值为 .
12．已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当 时， 有极大值．
(1)求函数 ；
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【解析】(1)∵ ，
由 ，得 且 ，解得 ， ，
又 ，∴ ，经检验 ， 时， 满足题意,
∴ ；
(2)存在 ，使得 ，等价于 ，
∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，又 ， ，
∴ 在 上的最小值为 ，∴ ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
13．已知函数 .
(1)求 的最小值；
(2)证明： .【解析】(1)由题意可得 .由 ，得 ；由 ，得 .
在 上单调递减，在 上单调递增，故 .
(2)证明：要证 ，即证 ，
即证 .设 ，则 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
设 ，则 .
由（1）可知当 时， .由 ，得 ，由 ，得 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立.
因为 与 等号成立的条件不同，
所以 ，即 .
专项突破三 求含参函数最值
一、单选题
1．函数 在 上的最大值为4，则 的值为（ ）
A．7 B． C．3 D．4
【解析】∵ ，∴
∴ 导数 在 时， ， 单调递减；导数 在 时， ， 单调递增；
∵ ， ，∴ 在 处取得最大值为 ，即 ，故选：D.
2．函数 的最大值为（ ）
A．a B． C． D．
【解析】 ,则 ,所以当 时, ,当 时, ,
所以 在 上单调递增,在 上单调递减,
所以 ,故选:D.
二、多选题
3．已知函数 ， 的图像分别与直线 交于A，B两点，则 的值可为
（ ）
A． B．
C． D．2
【解析】由题意得 ， ， ，易知 ，
所以 ， .令 ， ，则 ，
令 ，得 .所以当 时， ；当 ， ，
所以 ， 在 上单调递减，在 上单调递增.所以 ，故选：AB
三、填空题
4．已知 ， 为正实数，函数 在 上的最大值为 ，则 在 上的最小值
为_________________________．
【解析】∵ ， 为正实数，∴ ，， 即 .则 在 上的最小值为 .
四、解答题
5．已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在区间 上的最小值．
【解析】(1) 则 ，令 ，则 或
∴ 在 ， 上递增，在 递减
(2)由（1）可知： 在 上递增，在 递减，当 时， 在 递减
∴函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时， 在 上递增，在 递减
∴函数 在区间 上的最小值为 ．
综上所述：当 时，函数 在区间 上的最小值为 ；
当 时，函数 在区间 上的最小值为 ．
6．已知函数 ， .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，记 在区间 的最大值为M，最小值为N，求 的取值范围.
【解析】(1)因为 ，故可得 ，
令 ，可得 或 ；当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
当 时，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减；
当 时， 在 和 单调递增，在 单调递减.
(2)由（1）可知：当 时， 在 单调递减，在 单调递增
又 ， ，故 在 单调递减，在 单调递增.
则 的最小值 ；
又 ，
当 时， 的最大值 ，
此时 ；
当 时， 的最大值 ，
此时 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，所以 ；所以 的取值范围为 .
7．已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，求 在区间 上的最大值．
【解析】（1）由题意得： 定义域为 ， ，
①当 时， ， 在 上单调递增；
②当 时，令 得： ，列表如下：
＋ －
递增 极大值 递减
在 上单调递增，在 上单调递减；
综上所述：当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减.
（2）当 时，由（1）知：
①当 ，即 时， 在 上单调递减，则 ；②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
；
③当 ，即 时， 在 上单调递增，则 ；
综上所述： .
8．已知函数 ，其中 ．
（1）求 的单调区间；
（2）求 在 上的最大值
【解析】（1）因为 定义域为 ，
所以 ，
令 ， 且 ， ，解得 ，
令 ， ，解得 或 ，
在 和 上单调递减，在 上单调递增．
即 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
（2）①当 ，即 时， 在 内是减函数． 在 上 ；
②当 ，即 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．在 上 ；
③当 ，即 时， 在 上单调递增， 在 上 ．
综上所述，当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ；
当 时， 在 上的最大值为 ．
9．已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)求函数 的单调区间；
(3)当 时，求函数 在区间 上的最小值．
【解析】(1)当 时， ，
， ，故切线方程为： ，
(2) ， ，
① 当 时， ， 仅有单调递增区间，其为：
② 当 时， ， 当 时， ；当 时，
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
③ 当 时， ， 当 时 ；当 时
的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
综上所述：当 时， 仅有单调递增区间，单调递增区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
当 时， 的单调递增区间为： ，单调递减区间为：
(3)当 时，由（2）中③知 在 上单调单调递减，在 上单调递增，∴①当 ，即 时， 在 上单调递增， ，
②当 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，∴
，
③当 ，即 时， 在 上单调递减，∴ .．
10．已知函数
(1)当 时，求过点 的切线方程；
(2)求函数 在区间 的最小值．
【解析】(1)当 时，函数 ，可得 ，
设切点坐标为 ，则切线的斜率为 ，
所以切线方程为 ，
将点 代入切线方程，可得 ，即 ，解得 ，则 ，
所以切线方程为 .
(2)由 ，可得 ，
令 ，解得 ，且
①若 时，即 时，此时 ， 单调递增，所以 ；②若 时，即 时，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以 ；
③若 时，即 时，此时 ， 单调递减，
所以 ，
综上可得，当 时，最小值为 ；当 时，最小值为 ；当 时，最小值为
.
专项突破四 根据函数最值求参
一、单选题
1．函数 在区间 上的最大值是 ，则 的值为( )
A．3 B．1
C．2 D．－1
【解析】由题意可知， ，令 ，解得 或 （舍）.
当 时， ；当 时， ；
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 , , ，则 最大，
所以当 时，函数 取得最大值为 .
由题意可知， ，解得 ,所以 的值为 .故选：B.
2．若函数 在区间 内既存在最大值也存在最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得 或 ，可以判断 在 处取得极小值 ，在 处取得极大值 .
令 ，得 或 ，令 ，得 或 ，
由题意知函数 在开区间 内的最大、最小值只能在 和 处取得，
结合函数 的图象可得： ，解得 ， 故 的取值范围是 .故选：A
3．函数 ，若 在 上有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
若 时，当 时，可得 ， 在 上单调递减，
此时函数 在 没有最小值，不符合题意；
当 时，令 ，即 ，即 与 的交点，
画出函数 与 的图象，如图所示，
结合图象，可得存在 ，使得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
此时函数 在 上有最小值，符合题意，综上可得，实数a的取值范围是 .故选：A.
4．若函数 在区间 上存在最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由函数 ，可得 ，
且 在区间 上存在最小值，即 在区间 上存在 ，
使得 且 ， ，
设 ，即满足 ，且 ，
可得 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .故选：D.
5．若对任意的实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ， ，则 ，令 ，
若 时， ，若 时， ，
所以可知函数 在 递减，在 递增，所以 ，
由对任意的实数 恒成立，所以 ，故选：A6．若函数 在区间 内有最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 ，若函数 在区间 内有最小值.此时函数 必定存在极
值点，由 ，设 ， 为一元二次方程 的两根，有 不妨设 ，
故只需要 即可，令 ，有 ，解得 .故选：C.
7．已知函数 在 上有最小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ， ，
若函数 在 上有最小值，即 在 先递减再递增，
即 在 先小于0，再大于0，令 ，得 ，令 ， ，
只需 的斜率 大于过 的 的切线的斜率即可，设切点是 ， ，
则切线方程是： ，将 代入切线方程得： ，
故切点是 ，切线的斜率是1，只需 即可，解得 ，即 ，故选：D．
8．已知函数 在 上有最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ， ，所以 ，令 ， ，对称轴为 ，
当 时 恒成立，此时 在 上单调递增，不存在最小值，故舍去；
所以 ，依题意 使得 ，且当 时 ，当 时 ，
使得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取得极小值即最小值，
所以 ，所以 ，解得 ，即 ；故选：A
9．设 ，若函数 的最小值为 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】若 ，当 时， 为增函数，且 ，不符合题意.
若 ，最小值为 .
若 ，当 时， 的最小值为 .
当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ， 在 在，在 上
递增，故 的最小值为 .由 ，
， ，设 ，它在 上是增函数，且 ，
所以 的解是 ．可得 综上，常数 的取值范围为 .故选：B．
10．已知函数 ， ，若函数 在 上的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，又 ，
在 上单调递增，
在 上存在最小值 ， ，使得 ，
则当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
…①，
由 得： …②，
② ①得： ，
， ， ；
① ②得： ；
又 ， .故选：B.
11．已知函数 无最大值，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【解析】令 ，则 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，g(－1)＝2，g(1)＝－2，据此，作出 和y＝－2x的图像，
由图可知，当x＝a＜－1时，函数f(x)无最大值.故选：D.
二、多选题
12．若函数 在 上有最小值，则实数a的值可能是（ ）.
A． B． C．0 D．1
【解析】令 ，解得 ，所以当 时 ，
当 时 ，所以 为函数的极小值点， 为函数的极大值点.
因为函数 在区间 上有最小值，
所以函数 的极小值点必在区间 内，
即实数a满足 ，且 .
由 ，解得 .不等 ，即 ，
有 ， ，所以 ，即 .
故实数a的取值范围是 .故选：ABC.
三、填空题
13．已知函数 在 上的最大值为2，则 _________．
【解析】 在 上 ， 在 上单调递增，且当 取得最大值，
，可知 ，14．若函数 在区间 上有最大值，则实数 的取值范围是__________.
【解析】 ， ，
令 解得 ；令 ，解得 或 ，
由此可得 在 上时增函数，在 上是减函数，在 上是增函数，
故函数在 处有极大值，在 处有极小值， ，解得
15．已知函数 ，若 恒成立，则 的取值范围是________．
【解析】由 ，得 ，
又函数 的定义域为 ，令 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
故 是函数 的极小值点，也是最小值点，且 ，
要使 恒成立，需 ，则 .故答案为： ．
16．已知函数 在 上的最大值为1，则函数 在 处的切线方程为
______．
【解析】因为 ，当 时 ，所以 在 上单调递增，所以
，又 ，所以切线方程为 ．
17．已知函数 ，若函数 的最大值为11，则实数a的值为_____
【解析】 时， ，即 在 上单调递增，
时， ，
，有 在 上都递增，在 上递减，，有 在 上递增，在 上递减，
，有 在 上递增，
综上得： 时， 在 上单调递增，
时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
时， 在 上递增，在 上递减，在 上递增，
因 ， 时， ，解得 或 ，无解，
时， 的最大值只可能是 或 ，而 ，于是有 ，则
，
时， 的最大值只可能是 或 ，而 ，于是有 ，则 ，
所以实数a的值为为1或3.
18．已知函数 在区间 （ ）上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为
____
【解析】 函数在 递增，在 递减，在 递增，
① 时，函数在 递减，函数的最大值是 ，函数的最小值是 ，
，故 符合题意；
② 时， ， ，
函数在 递减，在 递增，函数的最小值是 ，
，令 解得 ，
当 时， ，
，解得： 或 都舍去.
当 时， ，
解得： , 舍去,符合题意.③ 时， 在 递增，
，解得： ，舍去.综上： 或0.
四、解答题
19．已知函数 ．
(1)若 在 上不单调，求a的取值范围；
(2)若 的最小值为 ，求a．
【解析】(1) ．若 在 上单调，则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，即 ．
因为 在 上不单调，所以a的取值范围是 ．
(2) ．
①若 ，则 ， 在 上单调递增，此时 无最值．
②若 ，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 的最小值是 ，则 ．
令 ，则 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减．
因为 ，所以方程 只有一个根 ．由 ，得 ，即a的值为 ．20．已知函数 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 的最小值为 ，求a的值．
【解析】(1)∵ ，∴ ,
∴当 时， ， ,∴ ,∴所求切线方程为 ．
(2)由（1）知， ， ．
当 时， ， 在 上单调递增，此时无最小值；
当 时，令 ，得 ，
当 时， ；当 时， ,
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的最小值为 ，则 ．
令 ，则 ，
∴当 时， ；当 时， ．
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∵ ，∴ 有一个根 ，∴ ，即 ．
21．已知函数 .
(1)若 在 上不单调，求a的取值范围；
(2)若 的最小值为 ，求a的值.【解析】(1) .
若 在 上单调，则 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，所以 ，即 .
因为 在 上不单调，所以a的取值范围是 .
(2) .
①当 时， ， 在 上单调递增，此时 无最值.
②当 时，令 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
所以 的最小值是 ，则 .
令 则 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 ，所以方程 只有一个根 ，所以
故a的值为 .
22．已知函数 ， .
(1)当 时，讨论 的单调性；
(2)当 时，函数 的最小值为 （其中 为 的导函数），求 的值.
【解析】(1)因为 ，则 ，
当 时， ，由 ，得 或 ，当 或 时， ，当 时， ，
所以函数 的增区间为 、 ，减区间为 .
(2)设 ，且 ，
，设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以，函数 在 上单调递减，在 上单调递增
且当 时， ，
当 时， ，
所以， 在 上必存在唯一零点 ，使得 ，即 ，
又当 时， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以，函数 在 处取得最小值，
则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，此时 ，
当 时， ， 单调递减，故 ，又 ，故 ，故 .
23．已知函数 .（1）讨论函数 的单调性；
（2）若函数 在 上的最小值为1，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由于 ，则 的定义域为 ，
，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
综上所述， 时 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
（2）由（1）知，当 时， 在 上单调递减，
所以 在 上没有最小值，不符合条件；
当 时，
若 ，即 ， 在 单调递增， ，满足条件，
若 ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 ，令 ，
当 时， ，所以 在 单调递减，
，即方程 在 上无解，
即此时不存在满足条件的实数 ，
综上可知，实数 的取值范围是 .24．已知函数 .
(1)求 的单调性；
(2)是否存在a，b，使得 在区间[0，2]上的最小值为 ，最大值为6？若存在，求出的值；若不存在，
说明理由.
【解析】(1)由 ，得 .
令 ，即 ，解得 或 .
若 ，则当 时， ；
当 时， .
所以 )在 上单调递增，在 上单调递减.
若 ，则 在 上恒成立，所以 在 单调递增.
若 ，则当 时， ；
当 时， .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上， 时， 在R上单调递增； 时， )在 上单调递增，在 上单调递
减；当 时， )在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)满足题设条件的 存在.
当 时，由（1）知， 在 单调递增，
所以 在区间 的最小值为 ，最大值为 .
此时 满足题设条件当且仅当 ， ，即 .当 时，(i)当 即 时，由（1）知， 在 单调递减，
所以 在区间 的最大值为 ，最小值为 .
此时 满足题设条件当且仅当 ， ，即 .
(ii)当 即 时，由（1）知，
)在 上单调递减，在 上单调递增.
当 时， 取得极小值即为 的最小值，
的最大值为 或 .
若 ， ，则 ，与 矛盾.
若 ， 则 或 或 ，与 矛盾
综上，当 或 时， 在区间 的最小值为 且最大值为 .
