专题07函数单调性、极值、最值综合运用(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题07 函数单调性、极值、最值综合运用 一、单选题 1．设函数 ，若函数 无最小值，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】由 得 ， 令 ,得 ，令 ，得 或 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减， 所以当 时， 取得极小值，为 ， 因为 无最小值，所以 ，解得 .故选：A 2．已知函数 ，则（ ） A．函数 在 上单调递增 B．函数 在 上有两个零点 C．函数 有极大值16 D．函数 有最小值 【解析】 ，由 ，得 或 ，由 ，得 ， 所以 在 上递增，在 上递减，在 上递增， 所以极大值为 ，极小值为 ，所以 有3个零点，且 无最小值. 故选：C 3．如图是函数 的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ）A． 在 上是增函数 B．当 时， 取得最小值 C．当 时， 取得极大值 D． 在 上是增函数，在 上是减函数 【解析】根据图象知： 当 ， 时， 函数 单调递减； 当 ， 时， 函数 单调递增. 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 故选项A不正确，选项D正确； 故当 时， 取得极小值，选项C不正确；当 时， 不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 4．已知函数 ，若函数 在 上存在最小值，则a的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【解析】 ， ， 当 时， 单调递减；当 或 时， 单调递增， 在 、 处取得极值. ， ，∴函数 在 处取得最小值， ∵函数 在 上存在最小值，∴ ，解得 .故选：A.5．函数 有极小值，且极小值为0，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【解析】由 ，可得 ， 因为 有极小值，记为 ，则 ，即 ， 又由 ，所以 ， 即 ，所以 .设 ， 当 时， ，所以 在 上单调递增， 当 时，可得 ，所以 的最小值为 .故选：B. 6．函数 在 上的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【解析】由题意， ， ∴当 ，x在 和 上 ，即 单调增； 当 ，x在 上 ，即 单调减； ∴ 有极大值 ，有极小值 ，而端点值 ， ，则 ，∴ 在 上的最大值为 .故选：D. 7．已知函数 在 内存在最小值，则（ ） A． B． C． D． 【解析】因为 ，所以 ，因为 在 上存在最小值，所以 ，解得 .故选：C. 8．若关于 的不等式 有且只有两个整数解，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【解析】首先 时，不等式为 ，恒成立，即整数2是不等式的一个解，则由题意1或 3是不等式的另一个整数解． 若1不是不等式的解，则 ， ，此时不等式化为： ，易知函数 在 上是增函数，则大于2的所有整数都是原不等 式的解，不合题意． 所以1是原不等式的解，大于3的所有整数不是原不等式的解， ， 所以 时，不等式 恒成立，即 在 上恒成立， 设 ， 则 ， 时， ， ， 单调递增， 所以 ，所以 ．综上 的取值范围是 ．故选：C． 9．已知函数 ，若 是 在 上唯一的极值点，则实数 的取值范围为 （ ） A． B． C． D． 【解析】函数 ，定义域 ， 所以 ，因为 是 在 上唯一的极值点，所以 是 的唯一变号零点， 令 ，则 在 无变号零点， ， ① 时， 恒成立， 在 上单调递增，所以 ， 所以 无零点，满足题意； ② 时， 的解为 ，所以当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增，所以 的最小值为 ， 要是 在 无变号零点，所以 ，解得 ，所以 ， 综上所述满足题目要求的 的范围为 .故选：D. 10．已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【解析】令 ，则 ，问题转化为 恒成立. 令 ，则 ， 因为 ，所以 .令 ，则 ， 所以 在 上单调递增，又 ， ， 所以存在 ，使得 ，即 ，所以当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，又 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ，解得 .故选：C 二、多选题 11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 存在三个不同的零点 B．函数 既存在极大值又存在极小值 C．若 时， ，则t的最小值为2 D．当 时，方程 有且只有两个实根 【解析】 ，令 ，解得 或 ， 当 或 时， ，故函数 在 ， 上单调递减，当 时， ， 故函数在 上单调递增，且函数 有极小值 ，有极大值 ，当 趋近负无穷大 时， 趋近正无穷大，当 趋近正无穷大时， 趋近于零，故作函数草图如下， 由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．故选：BD． 12．函数 ，其图象在坐标原点处与 相切，则（ ） A． B．函数 没有最小值C．函数 存在两个极值 D．函数 存在两个零点 【解析】由题意可得 ，且 ，所以 ， 所以 ， ，令 ，则 ， 设 ， ，两个函数只有一个交点， 设交点的横坐标为： ，则 ， 当 时， ，函数是减函数，当 时， ，函数是增函数， 所以 是函数极小值点， 是函数最小值， 因为函数 过 ， ， 所以函数存在两个零点，故选：AD 13．设函数 的导函数为 ，则（ ） A． B． 是 的极值点 C． 存在零点 D． 在 单调递增 【解析】由题可知 的定义域为 ， 对于A， ，则 ，故A正确；对于B、D， ，所以函数 单调递增，故无极值点，故B错误，D正 确；对于C， ，故函数 不存在零点，故C错误．故选：AD． 14．已知函数 ，则下列选项正确的有（ ） A．函数 极小值为 ，极大值为 . B．函数 存在3个不同的零点. C．当 时，函数 的最大值为 . D．当 时，方程 恰有3个不等实根. 【解析】 ， 在 上， ， 单调递增，在 上， ， 单调递减， ， ，故A正确； 当 时， ， 时， ，且 ， ，所以函数有 两个零点，故B错误； 由函数单调性知， 在 上单调递减，在 上单调递增， 且 ，故函数 的最大值为 ，故C正确； 方程 恰有3个不等实根，可转化为 与 的交点有3个，由上述解析可知， 的图象 为： 由图象可得当 时， 有2个实数根，当 时， 有3个实数根，当时， 有2个实数根，当 时， 有1个实数根，故D错误. 故选：AC 15．对于函数 ，下列选项正确的是（ ） A．函数 极小值为 ，极大值为 B．函数 单调递减区间为 ，单调递增区为 C．函数 最小值为为 ，最大值 D．函数 存在两个零点1和 【解析】 的定义域为 ，所以 ， 所以 为奇函数，当 时， ， ，令 ，解得 ， 当 时， ，则 为单调递增函数，当 时， ，则 为单调递减函数， 因为 为奇函数，图象关于原点对称， 所以 在 上单调递减，在 是单调递增， 所以 的极小值为 ，极大值为 ，故A正确； 的单调递减区间为 ，单调递增区为 ，故B错误； 在 无最值，故C错误； 令 ，解得 ，结合 的单调性可得， 存在两个零点1和 ，故D正确. 故选：AD16．已知 ， ，则下列结论正确的是（ ） A．函数 在 上的最大值为3 B． C．函数 的极值点有2个 D．函数 存在唯一零点 【解析】对于A， ，令 ，则 ， 故 在 上单调递增，∴ ， 在 上单调递增，∴ ，故A正确； 对于B，由选项A知， 在 上单调递增．∵ ， ，∴存 在 ，使得 ，即 ，则 ， ∴当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增； ∴ ，故B正确； 对于C， ，定义域为 ， ，令 ， 则 ． 令 ， ，则 ，∴ 在 上单调递减． 又 ， ，∴存在 ，使得 ，即 ，∴当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 故 ．又 ， ， ∴ 有两个零点，∴ 有两个极值点，故C正确； 对于D，由选项C知当 时， ，∴当 时， ， 于是 在 上单调递减，∴当 ， ，∴ 在 上没有零点， 故D错误． 故选：ABC． 17．已知函数 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ， ，则 在 单调递减 B．若 ，则 C．若 ，则 有最小值 D．若 有解，则实数c的最小值为－1 【解析】易得 ，对于A，若 ， ，则 ， ，当 时， ，则 在 单调递增，A错误； 对于B，若 ，则 ， ， 当 时， 单减， 当 时， 单增，则 ，B正确；对于C， ，令 ， ，显然 ，设两根为 ，则 ， 两根异号，不妨设 ，则当 时， 单减，当 时， 单增，则 有最小值 ，C正确； 对于D， 有解，等价于 有解，令 ， 则 ，当 时， 单减，当 时， 单增，则 ，则 ，则实数c的最小值为－1，D正确. 故选：BCD. 三、填空题 18．若函 只有一个极值点，则k的取值范围为______． 【解析】 只有一个极值点 只有一个变号零点． ，易知 ， ， 首先 必有一个解 ， 时，由 ， 显然不是方程的解，因此 ， 令 ， ， 或 时， ， 时， ， 在 和 上都递减，在 上递增， 时， ， （即从原点有右侧逼近， ， （即从原点有左侧逼近， ，大致图象如图所示： 时， 的图象与直线 都有一个交点，与 仅有零点矛盾， 舍去，当 时， ， 时， ， 递减， 时 ， 递增， 只有一 个极值点， 时， 与直线 无交点，因此函数只有一个零点， 时， ， 有两个解 和 ， 时， ， 时， ， 时， ， 不是函数的极值点， 只有 一个极值点． 时， 的图象与直线 有两个交点，方程 有两个解， 有一个解 ， 要使得 仅有一个极值点，则 必为 的重根，所以 ， 综上， 的范围是 ． 19．已知函数 ，若对任意 恒成立，则m的最大值 为___________. 【解析】因为函数 ，若对任意 恒成立， 所以 ，即 ，令 ，则 ， 令 ，则 ，又 在 上单调递增，且 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，所以 ，即 的最大值为 . 四、解答题20．已知函数 ， 是 的一个极值点． (1)求实数a的值； (2)求 在区间 上的最大值和最小值． 【解析】(1)∵ 在 处有极值，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，经检验，当 时， 是 的极值点，∴ ． (2)由（1）知 ，∴ ， ，令 ，得 ， ， 当x变化时 ， 的变化情况如下表： x －3 0 2 4 － 0 ＋ 0 － 55 1 5 －15 从上表可知: 在区间 上的最大值是55，最小值是-15． 21．已知函数 ， . （1）求 的单调区间； （2）若 ，且 的极小值小于 ，求a的取值范围. 【解析】（1） （ ）， ①当 时，当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增； ②当 时，当 或 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增； ③当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增； ④当 时，当 或 时， ，当 时，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增. （2）已知 ，由（1）知 的极小值为 ， 令 ， ，则 ， 所以 在 上单调递减，且 ， 由 的极小值小于 ，可得 ，所以 . 22．已知 ， ． （Ⅰ）讨论 的单调性； （Ⅱ）若 ，证明： ． 【解析】（Ⅰ）由题可知 ， ． 当 时， 恒成立， 函数 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 ． 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 函数 在 上单调递减． 综上可知，当 时，函数 在 上单调递增；当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减． （Ⅱ）证明：若 ，则由（Ⅰ）可知， 在 处取得极大值， ． 令 ． ， ， 函数 在 上单调递减． 又 ， ， ． 23．已知函数 ．（1）当 时,求函数 的单调区间； （2）若函数 在 处取得极值,求函数 在 上的最大值与最小值． 【解析】（1）∵ ,∴ ，∴ , 令 解得 或 ，令 解得 ， 从而函数 的单调递增区间为： 和 ， 函数 的单调递减区间为： ， （2）∵在 处取得极值,∴ ,即 , 解得 , ∴ ．∵ ，∴由 ,解得 或 , 当 在 上变化时, 和 的变化如下： 1 + 0 - 0 + 极小值 极大值 单调递增 单调递减 单调递增 4 ∴由表格可知当 时,函数 取得最小值 , 当 时,函数取得极大值同时也是最大值 , 故 , ． 24．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 求 的值；若函数 存在极大值，求 的取值范围. 【解析】 ，因为 在点 处的切线方程为 ， 所以 ，解得 ， ①当 时， 不存在极大值，不符合题意. ②当 时， .令 . (i)当 ，即 时，不符合题意. (ii)当 ，即 时，方程 有两个不相等的实数根. 设方程两个根为 ，且 . 的变化如表所示: 极大值 极小值 所以 为极大值. ③当 时， 恒成立.设方程两个根为 ，且 . 的变化如表所示: 极大值 极小值 所以， 为极大值.综上，若函数 存在极大值， 的取值范围为 . 25．已知函数 ． (1)若 是 的极小值点，求 的值； (2)若 ，且 在 上单调递增，求 的取值范围． 【解析】(1)因为 ， ， 所以 ． 又 是 的极小值点，所以 ，解得： 或 ． 当 时， ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，则 是 的极大值点， 不符合题意． 当 时， ，则 在 和 上单调递增，在 上单调递减，则 是 的极小值点，符合题意．故 ． (2)（1）知： ， ， 令 ，解得： 或 ． 当 ，即 时，此时单调递增区间为 ，其中 ，要想 在 上 单调递增，所以 ，解得： ． 与 结合，得到当 ，即 时， ， 在 上单调递增，符合题意． 当 ，即 时，此时单调递增区间为 ，其中 ，要想 在 上单调递增，所以 ，解得： ， 综合 ，可知不等式无解． 综上所述， 的取值范围为 ． 26．已知 ，函数 . (1)讨论 的单调性； (2)当 时，若对 恒成立,求实数b的最大值. 【解析】(1) 的定义域为 ， ， 当 时， ， 在 上单调递减. 当 时，令 ；令 . 综上，当 时， 在 上单调递减， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)∵ ，∴ 恒成立， 即 恒成立，令 ，则 ， 由 ，得 ；由 ，得 ， 故 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，即 ，故实数b的最大值是 . 27．已知 . （1）若函数 在 处取得极值，求实数 的值； （2）若 ，求函数 的单调递增区间； （3）若 ，存在正实数 ，使得 成立，求 的取值范围. 【解析】（1） ， ∵函数 在 处取得极值， ，解得 ， 当 时， . ∴当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； ∴当 时，函数 在 处取得极小值； （2） ， ， 令 ，则 或 ， ①当 时，令 可得 ，∴函数 的单调递增区间为 ； ②当 时，令 可得 或 ， ∴函数 的单调递增区间为 ； ③当 时， 在 上恒成立，∴函数 的单调递增区间为 ； ④当 时，令 可得 或 ，∴函数 的单调递增区间为 ； （3） ， ，， ， 整理可得 ， 令 ， ， ，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增； ∴当 时， 取得极小值即最小值为 ， 即 ， 解得 （舍去）或 ， 的取值范围为 . 28．已知函数 ． (1)若 是 的极值点，求a； (2)若 ，证明： ． 【解析】(1)由题意知 ， ， 则 ，解得 ； 当 时， ， 当 时， ， ， ， 当 时， ， ， ，则 是 的极值点，则 ；(2)若 ，则 ，令 ，则 ， 令 ，则 ，又 ，则存在 使 ， 则 ， ， ， ，则函数 在 单减，在 单增， 则 ，则 . 29．已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数. (1)若 ， ，证明：当 时， ；当 时， (2)若 ，函数 在区间 内不单调，求 的取值范围 【解析】(1) ， ， 当 时， ，故 单调递增，当 时， ，故 单调递减， 故 ，故 单调递增，又 ，所以当 时， ；当 时， (2)函数 在区间 内不单调，即 存在零点， 由 可知 ，又 ， 而函数 在区间 内有零点，则函数 在区间 内至少有三个单调区间， 令 ，又 ①若 ，则 ， ，所以函数 在区间 上单增，函数 即 在区间 上单调， 不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区间”这一要求. ②若 ，则 ， ，所以函数 在区间 上单减， 函数 即 在区间 上单调， 不可能满足“函数 在区间 内至少有三个单调区间”这一要求. ③若 ，则 ，于是当 时， ，当 时， ，所以函数 在区间 上单减，在区间 上单增， 若 ，则 ， ，则 ，由 所以 在区间 上单增，在区间 上单减 ，即 恒成立 于是，函数 在区间 内至少有三个单调区间， 所以 ，得 ，又 ，所以 综上， 的取值范围为 30．已知函数 ． (1)求函数 的极值， (2)对任意实数 ， 恒成立，求正实数a的取值范围．【解析】(1)由题意，函数 ，可得 ，令 ，可得 ， 1 0 递增 极大值 递减 所以函数 的极大值为 ，无极小值． (2)令 ， 可得 ，因为对任意实数 ， 恒成立，即 ， 设 ， ，可得 ， 若 时， ； 若 ，令 ，可得 当 时， ， 单调递减； 当 ， ， 单调递增， 所以 ，所以 ， 两边取指数得到 ， 因为当 时， ， 所以 在 递减，又由 ， 由零点存在定理知，存在唯一 ，使得 ， x 10 - 递增 极大值 递减 所以 ，因为 ，则 ，所以 ．