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专题17 函数求参问题
真题呈现
一、单选题
1．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
2．函数 存在3个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，则 ，
若 要存在3个零点，则 要存在极大值和极小值，则 ，
令 ，解得 或 ，且当 时， ，
当 ， ，故 的极大值为 ，极小值为 ，
若 要存在3个零点，则 ，即 ，解得 ，故选：B.
3．已知 是偶函数，则 （ ）A． B． C．1 D．2
【解析】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，则 ，即 ，解得 .
故选：D.
4．若 为偶函数，则 （ ）．
A． B．0 C． D．1
【解析】因为 为偶函数，则 ，解得 ，
当 时， ， ，解得 或 ，
则其定义域为 或 ，关于原点对称.
，
故此时 为偶函数.故选：B.
5．若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【解析】 ， ，
.故选：C.
6．设 ，函数 ，若 在区间 内恰有6个零点，则a的取
值范围是（ ）A． B．
C． D．
【解析】 最多有2个根，所以 至少有4个根，
由 可得 ，由 可得 ，
（1） 时，当 时， 有4个零点，即 ；
当 ， 有5个零点，即 ；
当 ， 有6个零点，即 ；
（2）当 时， ，
，
当 时， ， 无零点；
当 时， ， 有1个零点；
当 时，令 ，则 ，此时 有2个零点；
所以若 时， 有1个零点.
综上，要使 在区间 内恰有6个零点，则应满足 或 或 ，
则可解得a的取值范围是 .
二、填空题
7．已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是________．
【解析】因为 ，所以 ，令 ，则 有3个根，
令 ，则 有3个根，其中 ，
结合余弦函数 的图像性质可得 ，故 ，
8．若 为偶函数，则 ________．
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，
所以 ，即 ，
则 ，故 ，此时 ，
所以 ，又定义域为 ，故 为偶函数，
所以 .
9．若函数 有且仅有两个零点，则 的取值范围为_________．
【解析】（1）当 时， ，即 ，
若 时， ，此时 成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 且 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： 且 ；
若 时， ，此时 成立．（2）当 时， ，即 ，
若 时， ，显然 不成立；
若 时， 或 ，
若方程有一根为 ，则 ，即 ；
若方程有一根为 ，则 ，解得： ；
若 时， ，显然 不成立；
综上，当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，只有一个零点 ；
当 时，零点为 ， ；
当 时，零点为 ．
所以，当函数有两个零点时， 且 ．
故答案为： ．
10．设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是______.
【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立，
则 ，即 在区间 上恒成立，
故 ，而 ，故 ，故 即 ，故 ，结合题意可得实数 的取值范围是 .
11．设 ，对任意实数x，记 ．若 至少有3个零点，则实数 的
取值范围为______.
【解析】设 ， ，由 可得 .
要使得函数 至少有 个零点，则函数 至少有一个零点，则 ，
解得 或 .
①当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
此时函数 只有两个零点，不合乎题意；
②当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，所以， ，解得 ；
③当 时， ，作出函数 、 的图象如下图所示：
由图可知，函数 的零点个数为 ，合乎题意；
④当 时，设函数 的两个零点分别为 、 ，
要使得函数 至少有 个零点，则 ，可得 ，解得 ，此时 .
综上所述，实数 的取值范围是 .
12．已知 ，函数 若 ，则 ___________.
【解析】 ，故 ，
13．已知函数 是偶函数，则 ______.
【解析】因为 ，故 ，因为 为偶函数，故 ，
时 ，整理得到 ，故 ，
三、双空题
14．已知函数 则 ________；若当 时， ，则 的最
大值是_________．
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
15．若 是奇函数，则 _____， ______．【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称，
若奇函数的 有意义，则 且 ， 且 ，
函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，由 得， ， ，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
，
函数 为奇函数 ，
， ，
[方法三]：
因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
16．设函数 若 存在最小值，则a的一个取值为_____；a的最大值为
___________．
【解析】若 时， ，∴ ；
若 时，当 时， 单调递增，当 时， ，
故 没有最小值，不符合题目要求；若 时，当 时， 单调递减， ，
当 时，
∴ 或 ，解得 ，
综上可得 ；
故答案为：0（答案不唯一），1
考点一 定义域、值域求参
一、单选题
1．已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；同理当 ,值域也不是 ；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .故选：B
2．已知函数 的值域为 的值域为 ，则
（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】在函数 中，值域为∴函数 的值域为 ，∴ ，解得：
在 中，值域为
∴在 中，值域为 ，
∵ ，∴ ，解得：， ∴ ，故选：C．
3．已知函数 ，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由于函数 的定义域为 ，则 恒成立，则 ，即 ，令
，由于 的值域为 ，则 ，而
，则由 解得 ，故 和 是方程
即 的两个根，则 ，得到 ，符合题意．所以
．故 ，故选：C
4．已知函数 ， .若存在 ， ，使得 ，则实数a
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 时单调递增函数， 的值域是 ，
的对称轴是 ，在 上，函数单调递减，的值域是 ，因为存在 ， ，使得 ，
所以 ,若 ，则 或 ，解得 或 ，
所以当 时， ，故选：A
5．已知函数 的值域是 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，
所以 .设 ，
则 ，
故 是偶函数.因为 的值域是 ，所以 的值域是 ，则 ，解得
.
故选：B
二、多选题
6．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的值可能为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解析】 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
且 ， ，因为值域为 ，故 ，
所以 的值可能是2,3,4.故选：ABC
三、填空题
7．若函数 的定义域为 ，则实数a的取值范围为______.
【解析】由函数 的定义域为 ，即 在 恒成立，
结合一元二次方程的性质，则满足 ，解得 ，所以实数 的取值范围为 .
8．已知函数 的定义域为 ，则实数 的范围________.【解析】因为函数 的定义域为 ，所 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时，则 ，解得 ，
综上所述， .
故答案为： .
9．函数 在 上有意义，则实数a的取值范围为______．
【解析】由题意函数 在 上有意义，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，则 ，解得 ，
故实数a的取值范围为 ，
10．已知函数 （ ）的最小值为2，则实数a的取值范围是______．
【解析】 ，当 时， 单调递增，所以当 时， 恒成立，
注意到 ，所以由 得 在区间 上恒成立，
令 ，当 时， ，当 时，任取 ，，其中 ， ，
，所以 ，
所以 在 上递增， ，所以在区间 上 ，
所以 ，即 的取值范围是 .
四、双空题
11．若函数 的定义域为 ，则a的取值范围为__________；若函数 的
值域为 ，则a的取值范围为__________.
【解析】函数 的定义域为 ，则 对于 恒成立，
故 ，解得 ，即 ；
若函数 的值域为 ，即 能取到所有正数，
故 ，解得 或 ，即
五、解答题
12．已知函数 .
(1)若 的定义域为[－2,1]，求实数a的值；
(2)若 的定义域为R，求实数a的取值范围．
【解析】（1）命题等价于不等式 的解集为 ，
显然 ，如图.且 、 是方程 的两根，
，解得： .
（2）①若 ，即 ，
当 时， ，定义域为R，满足题意；
当 时， ，定义域不为R，不满足题意；
②若 ， 为二次函数，
定义域为R， 对 恒成立，
；
综合①、②得a的取值范围 .
13．已知函数 ．
(1)若 的定义域为R，求a的取值范围；
(2)若 的值域为R，求a的取值范围；
(3)若 在 上单调，求a的取值范围．
【解析】（1）由题意得 恒成立，所以 ，
得 ，即a的取值范围为 ．（2）由题意得， 的值能取到所有正数，所以 ，
得 或 ，即a的取值范围为 ．
（3）当 在 上单调递增时， 得 ．
当 在 上单调递减时， 得 ．
综上，a的取值范围为 ．
14．已知函数
(1)若其定义域是 ，求实数 的取值范围；
(2)若其值域是 ，求实数 的取值范围.
【解析】（1）由题知， ，定义域是 ，所以 恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时，应满足 ，解得 ，
综上可得 ，所以实数 的取值范围为
（2）由题知， ，值域是
所以 ，令
当 时， 不满足题意，
当 时， ，开口向下，不满足题意，
当 时，应满足 ，解得 ，综上可得 ，所以实数 的取值范围为
考点二 函数性质求参
一、单选题
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 在 上为减函数，
函数 的图像开口向下，对称轴为 ，
所以函数 在区间 上为减函数，且 .
所以函数 在 上为减函数. 由 得 .解得 .故选:A.
2．已知定义在 上的函数 是奇函数，函数 为偶函数，当 时， ，则下列
选项不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选项A，因为 是定义域为 的奇函数，又当 时， ，所以
，得 ，故选项A是正确的；
选项B，因为函数 为偶函数，则 ，即 ，故选项B是正确的；
选项C，因为函数 是奇函数，则 ，又 ，所以 ，
则 ，
所以函数 的周期为4，故 ，故选项C是正确的；选项D，因为 时， ，所以 ，故选项D错误．
故选：D.
3．设 是定义在 上的奇函数，则 ＝（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，且 ，故 ，所以 ，
所以 ，则 .故选：B.
4．设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为偶函数，当 时， 若
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由 是奇函数，得 ，
由 是偶函数，得 ，
令 ，由 得 ，由 得： ，
令 ，由 得： ，
由 ， ，得 ，则 ， ， 时， ．
则 ．
故选： ．5．设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】令 ，则二次函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
因为外层函数 在 上为减函数，函数 在区间 上为增函数，
所以，内层函数 在 上为减函数，故 .故选：D.
二、多选题
6．已知函数 是 上的增函数，则实数 的值可以是（ ）
A．4 B．3 C． D．
【解析】由函数 是 上的增函数，
所以 ，所以 ，故选：CD．
三、填空题
7．函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是________．
【解析】由函数 ，可得函数 的单调递增区间为 ，
因为 在 上单调递增，可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
8．若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围为________．【解析】由函数 ，
因为 在 上单调递增，则满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
9．函数 在 上为增函数，则 的取值范围是__________．
【解析】函数 开口向上，对称轴为 ，
要使函数 在 上为增函数，则 ，解得 ，即 .
10．已知函数 与 在区间 上都是减函数，那么 __________.
【解析】根据二次函数的表达式可知， 的对称轴为 ，开口向下，若 在区间
上是减函数，则 ， 是反比例型函数，若 在区间 是减函数，则 ，所以 .
所以 与 在区间 上都是减函数，a的取值范围为 .
11．已知函数 是奇函数，则 _____．
【解析】因为函数 是奇函数，由已知得 ，
，则 ，
所以 ，即 ，
即 ，解得 ，此时 的定义域为 满足题意．
12．已知函数 是 上的奇函数，则实数 ______．
【解析】因为函数 是 上的奇函数，则 ，即 ，
所以， ，
所以， ，所以， .
13．若函数 是定义在 上的偶函数，则 ________．
【解析】因为函数 是定义在 ， 上的偶函数，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
14．已知函数 是偶函数， ，则 _______．
【解析】已知函数 是偶函数，所以 ，即 ，
整理得 ，解得 ，经检验， 满足题意，
因为 ，则 ，
则 ， ，
15．关于 的函数 的最大值为 ，最小值为 ，且 ，则实数 的
值为____．
【解析】因为 ，
设函数 的定义域为 ，
对任意的 ， ，则 ，即 ，所以，函数 的定义域关于原点对称，
所以， ，
所以，函数 的图象关于点 对称，
所以，函数 图象的最高点和最低点也关于点 对称，
所以， ，解得 .
16．若函数 ；且 ，则 ______.
【解析】 ， ， ，
即 ，解得 ，故 ，此时 ，
故答案为：7.
四、解答题
17．己知函数 ．
(1)若函数 的单减区间是 ，求实数a的值；
(2)若函数 在区间 上是单减函数，求实数a的取值范围．
【解析】（1）依题意， ，
由二次函数的性质知， 的对称轴方程为 ，开口向上，
所以 的单减区间是 ，
因为函数 的单减区间是 ，所以 .（2）依题意， ，
由二次函数的性质知， 的对称轴方程为 ，开口向上，
所以 的单减区间是 ，因为函数 在区间 上是单减函数，
所以 ，解得 ，所以实数a的取值范围为 .
18．已知函数 ， ．
(1)若函数 在 上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若函数 的定义域为 ，值域为 ，求实数a的值．
【解析】（1） 在 上单调递增，且 为复合函数， 单调递增，
所以，只需 在 上单调递增，对称轴 ，又 在 恒成立，
所以 ，故 .
（2）函数 的定义域为 ，则 恒成立， ，又值域为
，
所以 的最小值为1，故 或 .
考点三 基本初等函数求参
一、单选题
1．幂函数 在 上是减函数，则实数 值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．1
【解析】 幂函数 ， ，解得 ，或 ；
又 时 为减函数，
当 时， ，幂函数为 ，满足题意；当 时， ，幂函数为 ，不满足题意；
综上， ，故选：A．
2．已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 可看作函数 ， 的复合函数，
又函数 在 上单调递增，而函数 在区间 上单调递增，
则有函数 在区间 上单调递增，
且 在区间 恒成立，因此 ，解得 ，所以 的取值范围是 .故选：D.
3．已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】因为函数 在区间 上单调递增，
所以 且 在区间 上恒成立，
所以 ，解得 或 .故选：B
4．已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】当 时，函数 在 上单调递增，合乎题意；当 时，则二次函数 图象的对称轴方程为 ，
若函数 在 上单调递增，则 ，解得 .
综上所述，实数 的取值范围是 .故选：B.
5．函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，其图象开向上，对称轴为直线 ．
函数 在区间 上是减函数， 在区间 上是增函数，
又 在 上单调递增， ，解得 ．故选：C.
6．若函数 在R上是单调增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】要使函数 在 上是增函数，
只需 ，解得 ，即a的取值范围是 .故选：C.
7．已知函数 是幂函数，直线 过点 ，则 取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【解析】若函数 是幂函数，则 ，解得 ，
直线 过点 ，则 ，即 ，
可得 ，∵ ，解得 ，
可得 ，则 ，故 ，故 取值范围是 .
故选：D.
8．已知函数 （ 且 ）有最大值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】 函数 在 上单调递增， 此时有最大值 ，
要使 有最大值，则需函数 且 在 上单调递减，
且 ，即 ，解得 . 的取值范围是 .故选：D.
二、多选题
9．若直线 与函数 ， 且 的图像有两个公共点，则 的可能性取值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】（1）当 时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则 ，因为 ，所以此种情况不存在；（2）当 时，画出两个函数在同一坐标系下的图像
若有两个交点，则 ，因为 ，所以 .
综上， 的取值范围是 ，故选：AB
10．已知函数 为幂函数，则实数 的可能性取值为（ ）
A．1 B．-2 C．3 D．-4
【解析】由题意得 ，解得 或 ，
当 时， ，当 时， ，均满足要求.故选：AD
11．函数 在 上不单调，则实数a的取值可能是（ ）
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】因为函数 在 上不单调，
所以 ，所以 ，所以 ，故选：BC.
12．若不等式 在区间 上恒成立，则 的值可以是（ ）A． B． C． D．
【解析】因为 在区间 上恒成立，而 ，
所以 在 上恒成立，故 ，即 ，则 在 上单调递减，
令 ，又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，解得 ，
所以 ，由此易得AD错误，BC正确.故选：BC.
三、填空题
13．若函数 的定义域为 ，值域为 ，则m的取值范围为__________.
【解析】由题意可得函数 的图像开口向上，对称轴为 ，
当 时， ，令 ，解得 或 ，
因为函数 的定义域为 ，值域为 ，故 ，
14．若函数 在 上恒有 ，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为 ，则有 ，且 ，
所以 ，解得 或 ，所以实数a的取值范围是 ．
15．已知定义在 上的单调减函数 对任意 恒有 ，且 时，
，则实数 的取值范围是___________．
【解析】 ，即 ， 关于点 中心对称，
在 上是单调减函数， 时， ， ，解得16．函数 的定义域为 ，值域是 ，则 的最大值为______.
【解析】由题意知， ，令 ，则 ，
令 ，画出 的图象如图所示，
， ，由 ，
要使得 的值域为 ，则t的范围为 ，且 ，
则 ，解得： ， ，
所以当 的定义域为 ，其中 时，值域为 .
所以 ， ， ，所以 ， ，
所以当 时， 取得最大值为 .故答案为： .
17．已知函数 ，若关于 的方程 有且只有一个实数根，则实数 的取值范
围是_________.
【解析】令 ，则方程 等价为 ，显然 ，
当 时，若 ， ，若 ，由 得： ，即 ，作出 的图象如图：
若 ，则直线 与 的图象只有一个交点，满足条件，
若 ，要使直线 与 的图象只有一个交点，
则只需当 时，直线 与 的图象没有交点，
即此时 ，即需 ，所以 ，解得： ，
综上， 或 ，即实数 的取值范围是 ．
18．已知幂函数 的图象关于 轴对称，则满足 成立的实数 的取
值范围为__________.
【解析】由幂函数定义可知， ，解得 或
又因为其图象关于 轴对称，显然 不合题意；所以 .
则不等式 即为 ，解得 ，
所以，实数 的取值范围 .
