“8+4+4”小题强化训练14(函数与方程)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(14)
(函数与方程)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023北京）函数 的零点个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【解析】由题意可知：要研究函数 的零点个数，只需研究函数 ， 的图像交点个
y x2
数即可.画出函数 ， 2 的图像，
x1 y  y x3 y  y x5 y  y
因为 时， 1 2， 时， 1 2 ， 时， 1 2，
可知当1x3和3x5时，图像各有一个交点，x0时，必有一个交点，
A2,4 B4,16
且交点为 ， 及第二象限的点C.
故选：D
2.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考）函数f（x）=lnx- 的零点所在的大致区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，函数 ，可得 ， ，
可得 ，所以函数 的零点所在的大致区间是 ．
故选：B．
3.已知函数 在区间 内的零点分别是a，b，c，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】函数 在 上单调递减，函数 在 上都单调递增，
因此函数 在 上都单调递减，
在 上最多一个零点， ，即有 ，
，则 ，而 ，即 ，
所以 .
故选：A
4.函数 在区间 上的零点个数是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】求函数 在区间 上的零点个数，
转化为方程 在区间 上的根的个数.
由 ，得 或 ，
解得： 或 或 ，
所以函数 在区间 上的零点个数为3.
故选：A.
5.（2023秋·江苏盐城东台·高三东台中学期初月考）若关于 的方程 恰有三个不
同的实数解 ， ， ，且 ，其中 ，则 的值为（ ）
A. -6 B. -4 C. -3 D. -2
【答案】A
【解析】依题意可知 ，
由 整理得 ①，
即关于 的方程恰有三个不同的实数解 ， ， ，且 ，
令 ，则 或 ，则①转化为 ，
即 ，
根据对勾函数的性质可知 是方程 的一个根，
所以 ，
所以 ，解得 或 ，
所以 是方程 的根，即 的根，
所以 ，
所以 .
故选：A
6.已知函数 ，若 f(x)=a 有四个不同的实数解 x ，x ，x ，x ，且满足
1 2 3 4
x<x<x<x，则下列命题正确的是（ ）
1 2 3 4
A. a>1 B.
C. D.
【答案】C
【解析】函数 的图象如上所示，
方程 的解可以转化为函数 与 图象交点的横坐标，由图可知 ，故A不正确；
由题意可知 ，即 ，解得 ，由图可知 ，所以
，令 ，则函数 在 上单调递增，当 时， ，
时， ，所以 的范围为 ，故B不正确；
函数 的对称轴为 ，所以 ，又 ，所以
，函数 在 上单调递增， ， ，
所以 ，故C正确；
，函数 在 上单调递减， 上单调递增， ，
， ，所以 ，故D不正确.
故选：C.
7.（2023秋·江苏无锡江阴·高三期初统考）已知函数 ,若函数 存在
5个零点，则整数 的值为（ ）
A. -2 B. 1 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】函数 的 零点，令 ，解得 ，
将问题转化为 与 、 的交点，
作出 大致图像，如下：
的由图可知，函数 存 在5个零点，
则 ，解得 ，
故整数a为 .
故选：D.
8. （ 2023 秋 · 江 苏 苏 州 常 熟 · 高 三 常 熟 中 学 月 考 ） 已 知 函 数 ，
，若 ，则 零点的个数为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
【解析】函数 的图象如下，
令 ，则求 在 零点的个数，
由 得 ，所以 ，
即方程 有两个不相等正根，
令 ，可得 ， 不成立，
所以 ，即求 与 的图象在 交点的个数，因为 ，所以 ，即 ，
解得 ，且 ，可得 与 的图象有2个交点，
当 ，且 时，
与 有8个交点，则 零点的个数为8.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.函数f(x)＝ex－x－2在下列哪个区间内必有零点（ ）
A.(－2，－1) B.(－1，0)
C.(0，1) D.(1，2)
【答案】AD
【解析】
f(－2)＝＞0，f(－1)＝－1<0，f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，f(2)＝e2－4>0，因为f(－2)·f(－1)＜0，
f(1)·f(2)<0，所以f(x)在(－2，－1)和(1，2)内存在零点.
故选：AD
10.（2022·山东省实验中学模拟预测）（多选题）已知函数 是定义在R上的偶函数，且当 时，，那么函数 在定义域内的零点个数可能是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】BC
【解析】当 时，
当 时，令 ，解得 或2共有两个解；
当 时，令 ，即 ，当 时，方程无解；
当 时， ，符合题意，方程有1解；
当 时， ，不符合题意，方程无解；
所以当 时， 有2个或3个根，而函数 是定义在R上的偶函数，所以函数 在定
义域内的零点个数可能是4或6.
故选：BC
11.（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考）已知函数 ，下列关于函数
的零点个数的说法中，正确的是（ ）
A. 当 ，有1个零点 B. 当 时，有3个零点
C. 当 ，有2个零点 D. 当 时，有7个零点
【答案】ABD
【解析】令 ，则 ，设 ，则 等价于 ，
则函数 的零点个数问题即为 解的个数问题；
二次函数 ，其图象开口向上，过点 ，对称轴为 ，
对于A，当 时，作出函数 的图象如图：由图象可知 有一个根 ，
则由 可知此时方程只有一个解 ，
此时函数 的零点个数为1，A正确；
对于B，当 时， ，
作出函数 的图象如图：
由图象可知 有一个根 ，
令 ，令 ，
则 有3个解，即 和 ，
此时此时函数 有3个零点，B正确；
对于C，当 时，分析同A，函数 有1个零点，C错误；
对于D，当 时， ，
作出函数 的图象如图：由图象可知 有3个根，
当 时， ；
当 时， ，
则对于 ，
当 时， ，当 时， ，此时共有3个解；
对于 ，此时 有1个解，
即 有2个解，
对于 ，此时 有1个解，
即 无解，
故此时函数 有7个零点，D正确；
故选：ABD
12. （ 2023 秋 · 江 苏 镇 江 丹 阳 · 高 三 期 初 统 考 ） 函 数 ， 关 于 x 的 方 程
，则下列选项正确的是（ ）
A. 函数 的值域为B. 函数 的单调减区间为
C. 当 时，则方程有6个不相等的实数根
D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
【答案】ACD
【解析】①当 时， ，
则 在 单调递减，且渐近线为 轴和 ，
恒有 .
②当 时， ， ，
当 在 单调递增，
当 在 单调递减，
故 ， 且恒有 .
综上①②可知， ，
作出函数大致图象，如下图.
对于A，函数 的值域为 ，故A正确；
对于B，函数 的单调减区间为 ，故B错误；对于C，当 时，则方程 可化为
即 或 ，
由 ，得 或 ，有两个实数根；
由图象可知， 由 ，有 不相等的实数根，且均不为 ，也不为 ，
所以当 时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确；
对于D，若关于x的方程 有3个不相等的实数根，
即方程 与方程 共有3个不相等的实数根.
又因为 已有两个不等的实数根 ，
则方程 有且仅有1个根，且不为 .
所以 与 有且仅有1个公共点，
由图象可知 ，满足题意，即m的取值范围是 ，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.函数 的零点为________．
【答案】
【解析】当 时，令 ，解得 ；当 时，令 ，解得 (舍去)，
所以函数 存在零点，且零点为 .故答案为：1.
14.已知函数 ，则函数 的零点个数为______.
【答案】3
【解析】令 得 ，
可知函数 的零点个数即为函数 与 的交点个数，
在同一直角坐标系中作出 ， 的大致图象如下：
由图象可知，函数 与 的图象有3个交点，
即函数 有3个零点，
故答案为：3.
15.（2023秋·江苏南通·高三百校联考开学定位数学试题）已知函数 ，则 的零点
为___________，若 ，且 ，则 的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】令 ，
即 ，解得 不合题意，舍去；
或 ，解得 ，符合题意；
所以，函数 的零点为 .
由 ，且 可知，
当 时， ,不合题意；当 时， ，不合题意；
所以， 分别属于两个区间，不妨取 ，
则 ，即 ；
所以，
则 ，
令 ，所以
令 ，得 ，
当 时， ，即函数 在 上为单调递减；
当 时， ，即函数 在 上为单调递增；
所以函数 在 时取最小值，
即 ，即
所以 的取值范围是 .
故答案为： ；
16.（2023秋·江苏南京·高三六校联考）已知 ，若 ， ，则实数
的取值范围是______．
【答案】
【解析】作函数 图象，如图，设 ，则 ，
，
又 ，
，
，
设 ，
当 时， ，函数 为增函数，
，
即实数 的取值范围是
故答案为：