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第11课 函数与方程（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的零点个数为
（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】通过解法方程 来求得 的零点个数.
【详解】由 可得 .
当 时， ，或 （舍去），
当 时， 或 .
故 是 的零点，
是 的零点，
是 的零点.
综上所述， 共有 个零点.
故选：C
2．（2012秋·上海·高三统考期中）已知 是函数 的零点，若 ，则 的值满
足
A． B． C． D． 的符号不确定
【答案】B
【分析】数形结合分析即可
【详解】不妨设 ,则 ,作出 图像如下:则可以得到 点的横坐标即为 的零点 ，此时 ，所以当 时，
故选：B
3．（2023春·广东深圳·高一校考阶段练习）已知函数 ，若 有4个零
点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】在同一坐标系中作出 的图象，根据 有4个零点求解.
【详解】解：令 ，得 ，
在同一坐标系中作出 的图象，如图所示：
由图象知：若 有4个零点，则实数a的取值范围是 ，
故选：A
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (即 ， )则（ ）
A．当 时， 是偶函数 B． 在区间 上是增函数
C．设 最小值为 ，则 D．方程 可能有2个解
【答案】ABD
【分析】结合奇偶函数的定义和二次函数的性质逐一判断选项即可.
【详解】 ：当 时， ，即 ，
所以 ，所以 是偶函数，故正确；
：当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
当 时， ， 的对称轴为 ，开口向上，
此时 在 上是增函数，
综上， 在 上是增函数，故 正确；
：当 时， ，
当 时， ，
因为不能确定 的大小，所以最小值 无法判断，故 错误；
：令 ，当 时， ， 有2个解，故 正确.
故选：ABD
5．（2022秋·湖北省直辖县级单位·高一校考阶段练习）若函数 的图像在R上连续不断，且满足
， ， ，则下列说法错误的是（ ）
A． 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点
B． 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点
C． 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点
D． 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点
【答案】ABD
【解析】根据 的图像在 上连续不断， ， ， ，结合零点存在定理，判断出
在区间 和 上零点存在的情况，得到答案．
【详解】由题知 ，所以根据函数零点存在定理可得 在区间 上一定有零点，
又 ，无法判断 在区间 上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点．
故选： ．
三、填空题
6．（2019·浙江·高三专题练习）已知函数 有3个零点，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数的零点转化为 有一个零点， 有两个零点，结合零
点分布分析运算．
【详解】根据题意得： 有一个零点， 有两个零点
若 有一个零点，则
当 时， 有两个零点则可得 ，得
故答案为： ．
【二层练综合】
一、单选题
1．（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
是单调函数， ，能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点；
不是单调函数， ，不能用二分法求零点.
故选：B
2．（2023秋·高一课时练习）已知函数 ，则函数 的零点个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】令 ，根据 分别求出函数 的零点或零点所在区间，再作出函数
的图象，根据数形结合即可求出函数 的零点个数；【详解】令 ．
①当 时， ，则函数 在 上单调递增，
由于 ，由零点存在定理可知，存在 ，使得 ；
②当 时， ，由 ，解得 ．
作出函数 ，直线 的图象如下图所示：
由图象可知，直线 与函数 的图象有两个交点；
直线 与函数 的图象有两个交点；直线 与函数 的图象有且只有一个交点．综
上所述，函数 的零点个数为5．
故选：D．
3．（2023·全国·高二专题练习）函数 在 内有极值，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由可导函数在开区间内有极值的充要条件即可作答.
【详解】由 得， ，
因函数 在 内有极值，则 时， 有解，即在 时，函数 与直线y=a有公共点，
而 ，即 在 上单调递减， ，则 ，显然在 零点
左右两侧 异号，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
【点睛】结论点睛：可导函数y＝f(x)在点x 处取得极值的充要条件是f′(x)＝0，且在x 左侧与右侧f′(x)的
0 0 0
符号不同．
二、多选题
4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 若关于x的方程
有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.
【详解】令 ，记 的两个零点为 ，则由 的图象可知：方程
有5个不同的实根 与 的图象共有5个交点 ，
且 （不妨设 ）.
则 解得 .
故选：BCD5．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）已知函数 ，若关于x的方程
恰有两个不同解 ，则 的取值可能是（ ）
A． B． C．0 D．2
【答案】BC
【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到 ，代入 ，令
，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.
【详解】因为 的两根为 ，
所以 ，
从而 ．
令 ，
则 ， ．
因为 ，
所以 ，
所以 在 上恒成立，从而 在 上单调递增．
又 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故选：BC．
【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利
用导数求取值范围是解决本题的关键.
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）若 ， ， ，则x、y、z由小到大的顺序是
.
【答案】
【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数 的图象与曲线 交点的横
坐标大小作答.
【详解】依题意， ， ， ， ，
因此， 成立的x值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的y值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
成立的z值是函数 与 的图象交点的横坐标 ，
在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，如图，观察图象得： ，即 ，所以x、y、z由小到大的顺序是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的
指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.
【三层练能力】
一、单选题
1．（2023春·陕西西安·高二西安市第三中学校考阶段练习）已知函数 ，若函数
恰有5个零点 ，且 ， ，
则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将 看成整体解出 或 ，作出 的大致图象，将式子化为
，然后转化为 的范围进行分类讨论
即可判断.
【详解】当 时， ，此时， ，令 ，解得： ，令 ，解得： ，
可得 在 上单调递减且恒负，在 上单调递增且恒负，且 ，
当 时， ，作出 的大致图象如图所示，
函数 恰有5个零点 ，
等价于方程 有5个不同的实数根，
解得： 或 ， ，该方程有5个根，
且 ，则 ， ，
当 时， ，
，故 ，
所以
；
当 时， ，
，故 ，
所以
，
综上： 的取值范围是： .
故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是对 的理解，将 看成一个 ，解出其值，
然后通过图象分析，转化为直线 与图象的交点情况.
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上有唯一零点，若 ，
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】对函数 求导得 ，再对k分类讨论以确定函数的单调性，函数有唯一零点的条件，转化为
函数最值即可作答.
【详解】因 ， ，则 ，
时，恒有 ， 在 上单调递增， ， 在 上无零点，
时， ，而 在 上单调递增，从而 在 上单调递减，在
上单调递增，
，
因函数 在 上有唯一零点，则 ，即 ，
令 ，则 ， 在 单调递减，而
，
于是得 的零点 ，所以 .故选：B
二、多选题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， 分别是函数 和 的零点，则（ ）
A． B． C．
D．
【答案】BCD
【分析】利用函数与方程思想，得到两根满足的方程关系，然后根据结构构造函数 ，求导，研究
单调性，得到 及 ，结合指对互化即可判断选项A、B、C，最后再通过对勾函数单调性求解
范围即可判断选项D.
【详解】令 ，得 ，即 ， ，
令 ，得 ，即 ，即 ， ，
记函数 ， ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，所以 ，故A错误；
又 ，所以 ， ，
所以 ，故B正确；
所以 ，故C正确；
又 ，所以 ，结合 ，得 ，
因为 ，所以 ，且 ，因为 在区间 上单调递减，所以 ，
即 ，故D正确；
故选：BCD
【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是把函数的零点转化为方程的根，通过结构构
造函数，利用函数单调性及指对互化找到根的关系得出结论.
三、填空题
4．（2023春·安徽滁州·高二校考期末）已知函数 ，若关于x的方程 恰
有两个不相等的实数根 ，且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据给定分段函数，求出函数 的解析式，确定给定方程有两个不等实根的a的取值范围，
再将目标函数用a表示出即可求解作答.
【详解】函数 在 上单调递增， ，在 上单调递增， ，
当 ，即 时， ，且 ，
当 ，即 时， ，且 ，
当 ，即 时， ，且 ，
因此 ，在坐标系内作出函数 的图象，如图，再作出直线 ，则方程 有两个不等实根，当且仅当直线 与函数 的图象有两
个不同交点，
观察图象知方程 有两个不等实根 ，当且仅当 ，
此时 ，且 ，即 ，且 ，则有 ，
令 ，求导得 ，令 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，因此函数 在 上单调递增，
，而 ，于是当 时， ，有 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化为直线与函数
图象交点个数，数形结合推理作答.
