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2024年高考考前逆袭卷（新高考新题型）02
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为 8（单选题）＋3（多选题）＋3
（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及
集合、数列，导数等模块，以解答题的方式进行考查。
预测2024年新高考地区数列极有可能出现在概率与统计大题中，而结构不良型题
型可能为集合或导数模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如
本卷第19题。
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．已知一组数据 ，4，2，5，3的平均数为 ，且 ， 是方程 的两根，
则这组数据的方差为（ ）
A．10 B． C．2 D．
2． ， 是两个向量集合，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．在ΔABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A、B、C成等差数列，
3a、3b、3c成等比数列，则cosAcosB=（ ）
A． B． C． D．
4．在三棱锥 中，底面 为边长为3的正三角形，侧棱 底面 ，若
三棱锥的外接球的体积为 ，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．5．有一排7只发光二极管，每只二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3只二
极管点亮，且相邻的两只不能同时点亮，根据三只点亮的不同位置，或不同颜色来表
示不同的信息，则这排二极管能表示的信息种数共有种
A．10 B．48 C．60 D．80
6．设 ， ， ，则( )
A． B． C． D．
7．按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中
和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来
了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位： ），放电时间t
（单位： ）与放电电流I（单位： ）之间关系的经验公式： ，其中n为
Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电
电流 时，放电时间 ；当放电电流 时，放电时间 .则该蓄
电池的Peukert常数n大约为（ ）（参考数据： ， ）
A． B． C． D．2
8．过双曲线 的右焦点 作渐近线的垂线，设垂足为 （ 为第
一象限的点），延长 交抛物线 于点 ，其中该双曲线与抛物线有一
个共同的焦点，若 ，则双曲线的离心率的平方为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知 为虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．C．若 ，则复数 对应的点位于第四象限
D．已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的轨迹为圆
10．设直线系 ： ，则下面四个命题正确的是
（ ）
A．点 到 中的所有直线的距离恒为定值
B．存在定点 不在 中的任意一条直线上
C．对于任意整数 ，存在正 边形，其所有边均在 中的直线上
D． 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
11．定义在 上的偶函数 满足 ，当 时， .设
函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的图象关于直线 对称
B． 的图象在 处的切线方程为
C．
D． 的图象与 的图象所有交点的横坐标之和为10
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合 ，集合 ，命题 ： ，命题 ：
，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围是 .
13．已知多项式 ，则
.
14．正方体 中， 是棱 的中点， 在侧面 上运动，且满足平面 .以下命题正确的有 .
①侧面 上存在点 ，使得
②直线 与直线 所成角可能为
③平面 与平面 所成锐二面角的正切值为
④设正方体棱长为1，则过点 的平面截正方体所得的截面面积最大为
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
.
(1)求a的值：
(2)求证： ；
(3) 的值
16．（15分）如图1，在平面五边形 中， ，且 ， ，
， ，将 沿 折起，使点 到 的位置，且
，得到如图2所示的四棱锥 ．(1)求证； 平面 ；
(2)若 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
17．（15分）甲进行摸球跳格游戏．图上标有第1格，第2格，…，第25格，棋子开
始在第1格．盒中有5个大小相同的小球，其中3个红球，2个白球（5个球除颜色外
其他都相同）．每次甲在盒中随机摸出两球，记下颜色后放回盒中，若两球颜色相同，
棋子向前跳1格；若两球颜色不同，棋子向前跳2格，直到棋子跳到第24格或第25格
时，游戏结束．记棋子跳到第n格的概率为 ．
(1)甲在一次摸球中摸出红球的个数记为X，求X的分布列和期望；
(2)证明：数列 为等比数列．
18．（17分）焦点在 轴上的椭圆 的左顶点为 ， ， ，
为椭圆上不同三点，且当 时，直线 和直线 的斜率之积为
．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为1，求 和 的值；(3)在（2）的条件下，设 的中点为 ，求 的最大值．
19．（17分）英国数学家泰勒发现了如下公式： 其中
为自然对数的底数， .以上公式称为泰勒公式.设
，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如
下问题.
(1)证明： ；
(2)设 ，证明： ；
(3)设 ，若 是 的极小值点，求实数 的取值范围.
