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2025 年高考考前信息必刷卷 04（新高考Ⅱ卷）
数 学·参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8
A B D B A A C B
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
BC BD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．6 13．3 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
【解析】（1）函数 ，求导得 ，则 ，而 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 . （5分）
（2）函数 的定义域为 ， ， （8分）
当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， （12分）
所以 的最大值为 ，无最小值. （13分）
16．（15分）
【解析】（1）将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上，
因此各位上数字可以是1､2､5､6，三位数的个数是 ，
要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可，
而这些数中个位数是5的数的个数为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以事件 发生的概率 （3分）
要使得组成的三位数能被3整除，
则数字组合有 共8种，
因此满足条件的三位数有 个，
所以事件 发生的概率 .
故 . （7分）
（2）记三位数除以 的余数为 ，则 的可能取值为 ， （8分）
由（1）知 时数字组合有 共6种，
因此被 整除余1的三位数有 个，所以 ，
， （12分）
X的概率分布列为：
0 1 2
数学期望 . （15分）
17．（15分）
【解析】（1）不妨设 ， 因为 平面 平面 ，故 ，
在 中， ，由余弦定理得
，
得 ，故 ，则 ， （3分）
因为 平面 ，所以 平面 ，
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学科网（北京）股份有限公司而 平面 ，所以平面 平面 ； （5分）
（2）由（1）知， 两两垂直，如图所示，以 为坐标原点，
所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，设 ，
则 ，
故 ， （7分）
，所以 ，
设 ，则 ，
即 ，
所以 ； （9分）
设 为平面 的一个法向量，
则 ，
令 ，则 ，所以 ，
因为 轴 平面 ，则可取 为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，解得 ，故 ， （13分）
，
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学科网（北京）股份有限公司，
设 与平面 所成角为 ，
则 . （15分）
18．（17分）
【解析】（1）设 ，而 ，则弦 的中点 ，又 ，
于是 ， ，由 ，得 ，即 ，
所以曲线 的方程为 . （4分）
（2）①由（1）知，曲线E： ，求导得 ，
设 ， ， ，切线 的方程为： ，
即 ，同理得切线 的方程为： ， （6分）
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学科网（北京）股份有限公司又两切线都过点 ，因此 ，则直线 的方程为 ，
由 消 得： ，则 ，则 ，
于是 ， ，
所以 . （9分）
②由①知，直线 恒过抛物线的焦点 ， ，
由抛物线定义得： ，
， （13分）
因此 的面积 ，
当且仅当 时取等号，
所以 面积的最小值为4. （17分）
19．（17分）
【解析】（1）由题意得 ，
. （4分）
（2）由题意，当 时， ；
当 时，
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故
. （9分）
（3）由 ， ，可得 ，
即得 ，
则
，
则有： （*）.
，
由（*）可得： . （13分）
因 时， ，由已知不等式可得：
，
故得 ，
即 得证. （17分）
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