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遂宁市高中 2026 届高三一诊考试
数学试题参考答案
一、单选题（每个5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D B A B B C
二、多选题（每个6分，共18分。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
）
题号 9 10 11
答案 ABD AC BCD
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12． 4
13．
14． ．
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）
15. 【解析】（1）因为 ， ， ，由正弦定理
,
.................
.2分
因为B为锐角，则 ，
则 ..4分
高三数学试题参考答案第1页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司..................6分
（2）由 化简得： ；
，因为 所以 ，所以
；..................9分
由余弦定理可得， ,代入 ， ， ，可以解得
c=8或c= （舍去）
故：c=8 ..................13分
16.【解析】（1）年份代码 的平均数 ，销量 的平均数 ，………………1分
所以 ，
，
所以 ，………………………3分
所以 ，
所以这个地区某品牌制氧机的销量 关于年份代码 的线性回归方程为
，………4分
由于2027年对应的年份代码为 ，得 ，
所以预测2027年这个地区某品牌制氧机的销量约为12.4万台．………………5分
（2）（ⅰ）根据男生和女生各100名，补全 列联表为：
制氧机知识
学生 合计
了解 不了解
男生 80 20 100
女生 40 60 100
合计 120 80 200
高三数学试题参考答案第2页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司…………………………………6分
（ⅱ）零假设 ：该校学生对制氧机知识的了解情况与性别无关.
根据（ⅰ）中的 列联表中的数据可得，
.………………………8分
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即该校学生对制氧机知识的了解情况与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于
0.005. …………………………9分
（3）从（2）的样本中按对制氧机知识了解和不了解的比例选取10人，
则抽取的10人中，了解的人数为6人，不了解的人数为4人
再随机从中抽取4人，对制氧机知识不了解的人数 的所有可能取值为0，1，2，3，4.
且 ，
，
，…………………………………13分
则 的分布列为
0 1 2 3 4
…………………………………14分
数学期望为 ……………………15分
17【解析】（1）
如图，连接 ，因为 为 的中点， ，所以
，因为点 在平面 上的射影为 的中
点，所以 平面 ，因为 平面 ，所以
，
因为 ，所以 平面
.................5分
高三数学试题参考答案第3页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司因为 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ...................7分
（2）由（1）知 ， ， 两两垂直，以 为坐标原点，以 ， ， 所在直
线分别为 ， ， 轴建立如图所示的空间直角坐标系.
由题意， ,则 则 ， ， ，
，
所以 ， ， ，
，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，得：
，............................................................................
........10分
设平面 的法向量为 ， 则 ，即
，
取 ，得：
..............................................................................
............13分
设平面 与平面 夹角的大小为 ， 则
即平面 与平面 夹角余弦值为
高三数学试题参考答案第4页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司.........................................................15分
18．【解析】（1）因为直线 与 轴的交点为 ，所以点 的坐标为
，半焦距 ，…………………………………2分
又双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，由点到直线的
距离公式得到点 到其中一条渐近线的距离为 ，所以
，则 ，又 ，所以双曲线 的方程为
。…………………………………4分
又设 为抛物线 的焦点，则 ，如图，已知 ， 为 到准线
的距离且 为垂足，则 ，………6分
当且仅当 三点共线且 在 之间时等号成立，所以 ，
解得 ，因为 ，所以 ，故抛物线 的方程为 ……………7分
（2）假设存在常数 满足条件，由（1）知 ，
设直线 ，
高三数学试题参考答案第5页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
所以 ， ，…………9分
．……………10分
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 两点在 轴同
侧，所以 ．
此时 ，即 ，所以 ．………………………12分
设 ，将 代入抛物线方程 ，得
，
则 ，
所以
．…………………………………13分
所以 ．
故当 时， 为定值 ，所以，当 时， 为定
值 ．…………17分
19．【解析】（1）由 ， 且
；
高三数学试题参考答案第6页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司， ；设 ……………………1分
因为 ，所以 在 上单增，即
单增………2分
又因为 ，所以 时 ， 单减；
时 ， 单增；……………………3分
所以 ……………………4分
（2）（ⅰ）因为 ，令 ，则 ， ，
则 ，
设 ， ，
则 ，当 时， ，又 ，
所以 ，所以 ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，又 ，所以 ，所以 ，所以函数
在 上单调递增，
所以当 时，函数 取最小值，最小值为 ，所以 最小值为
，所以 ，……………………………………………………………6分
设 ， ，则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，所以 ，故 在
上恒成立，…………………………………………………………………8分
；………………9分
又因为 ，
高三数学试题参考答案第7页（共8页）
学科网（北京）股份有限公司对任意 ， 恒成立时 ，所以 的最小正整数值
………………………………………………………………………………10分
（ⅱ）由（ⅰ）知 ，则 , 即 所以
，………………………………………………………………………………11分
所以
因为 ，
所以函数 为周期函数， 为函数 的周期，…………12分
当 时， ， ，所以 ，
当 时， ， ， ， ，
函数 在 上没有零点，……………………13分
当 时， ， ，所以 ，
函数 在 上没有零点，……………………14分
当 时， ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，故函数 在 上单调递增，
又 ， ， 所 以 存 在 ， ，
，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
又 ， ，
所以函数 在 上存在唯一零点，在 上不存在零点，
又因为 ，故 在 上有2个零点…………16分
结合函数的周期性可得函数 在 上的零点个数为101个.…………17分
高三数学试题参考答案第8页（共8页）
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