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专题09 导数新定义问题
一、单选题
1．给出以下新定义：若函数 在D上可导，即 存在，且导函数 在D上也可导，则称
在D上存在二阶导函数，记 ，若 在D上恒成立，则称 在D上为凸函数．以
下四个函数在定义域上是凸函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A选项， ，则 ，不是凸函数；
对于B选项， ，则 ，不是凸函数；
对于C选项， ，则 在R上不恒成立，不是凸函数；
对于D选项， ，则 ，在定义域上恒成立，是凸函数.
故选：D.
2．对于三次函数 ，现给出定义：设 是函数 的导数， 是
的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的
“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐
点”就是对称中心．设函数 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．
【解析】依题意得， ， ，令 ，解得x＝1，
∵ ，∴函数 的对称中心为 ，则 ，∵ ，∴ ．
故选：A.
3．我们把分子、分母同时趋近于0的分式结构称为 型，比如：当 时， 的极限即为 型．两个
无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则：在一定条件下通过
对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如： ，则
（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【解析】 ，故选：D
4．定义方程 的实根 叫做函数 的“新驻点”，若函数 ， ，
的“新驻点”分别为 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意： ，
所以 分别为 的根，即为函数
的零点，可解得 ；
为单调递增函数，且 ，所以 ，
令 ，解得 ，或 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，由 ， ， ，
，所以 ，所以 .故选：B.
5．已知函数 及其导函数 ，若存在 使得 ，则称 是 的一个“巧值点”．
下列选项中没有“巧值点”的函数是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项， ，由 可得 ，解得 或 ，
所以，函数 有“巧值点”；
对于B选项， ，由 可得 ，其中 ，
令 ，其中 ，则 ， ，
由零点存在定理可知，函数 在区间 上有零点，
所以，函数 有“巧值点”；
对于C选项， ，由 可得 ，这与 矛盾，
所以，函数 没有“巧值点”；
对于D选项， ，因为 ，所以，函数 有“巧值点”.
故选：C.
6．定义满足方程 的解 叫做函数 的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是
（ ）
A． B．C． D．
【解析】对于A选项， ，则 ，由 ，
即 ， ，因此， 存在“自足点”，A满足条件；
对于B选项， ，则 ，由 ，
可得 ，其中 ，令 ，则 ， ，
所以，函数 在 上存在零点，即函数 存在“自足点”，B选项满足条件；
对于C选项， ，则 ，其中 ，
因为 ，故函数 存在“自足点”，C选项满足条件；
对于D选项， ，则 ，
由 ，可得 ，
因为 ， ，
所以， ，
所以，方程 无实解，D选项不满足条件.故选：D.
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 在闭区间 上的图象连
续不间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得
函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0【解析】函数 ，则 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ，
所以 在 ， 上的“拉格朗日中值点”的个数为2．故选：B.
8．已知函数 的定义域为 ，若 在 上为增函数，则称 为“ 阶比
增函数”．若函数 为“ 阶比增函数"，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数 为“ 阶比增函数”，
所以函数 在 上为增函数，所以令 ，
故 在 上恒成立，
所以 在 上恒成立，由于 ，
所以 .故实数 的取值范围是 。故选：A
二、多选题
9．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“巧值点”，
下列函数中，没有“巧值点”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A，由 得 ，
即 ， ，∴该方程无解，∴函数 无“巧值点”，故A符合题意；
对于B，由 得 ，解得 ，
∴函数 有“巧值点”－1，故B不符合题意；
对于C，由 得 无解，∴函数 无“巧值点”，故C符合题意；
对于D，由 得 ，易知函数 与 的图象在第一象限内有一个交点，
∴方程 有一个解，∴函数 有“巧值点”，故D不符合题意．
故选：AC．
10．函数 在区间 ， 上连续，对 ， 上任意二点 与 ，有 时，我们
称函数 在 ， 上严格上凹，若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数（二阶导函
数）在给定区间内恒为正，即 .下列所列函数在所给定义域中“严格上凹”的有（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意可知，若函数在所给定义域中“严格上凹”，则满足 在定义域内恒成立．
对于A， ，则 在 时恒成立，
不符合题意，故选项A错误；对于B， ，则 恒成立，符合题意，故选项B正确；
对于C， ，则 在 时恒成立，
符合题意，故选项C正确；
对于D， ，则 在 时恒成立，不符合题意，故选
项D错误.
故选：BC.
11．已知函数 及其导数 ，若存在 ，使得 ，则称 是 的一个“青山点”．下
列函数中，有“青山点”的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A，由 ，得 ，由 ，得 或 ，所以函数 有青山点，
所以A正确，
对于B，由 ，得 ，由 ，方程无解，所以函数 不存在青山点，所以
B错误，
对于C，由 ，得 （ ），由于 和 的图像有交点，所以方程
有解，所以函数 有青山点，所以C正确，
对于D，由 ，得 ，由 ，得 ，所以 有青山点，所以D正确，
故选：ACD
12．若函数 在区间D上是减函数，且函数 在区间D上也是减函数，其中 是函数
的导函数，则称函数 是区间D的上“缓减函数”，区间D叫作“缓减函数”．则下列区间
中，是函数 的“缓减函数”的是（ ）A． B．
C． D．
【解析】由题意得 ．
由 ，得 ， ，
即f（x）的单调递减区间为 （ ）．
设 ，则 ．
由 ，得 ，即 ，
解得 ， ，
即 的单调递减区间为 （ ）．
由“缓减区间”的定义可得f（x）的“缓减区间”为 （ ）．故选：AD
13．定义在区间 上的连续函数 的导函数为 ，若 使得 ，
则称 为区间 上的“中值点”.下列在区间 上“中值点”多于一个的函数是（ ）
A． B． C． D．
【解析】对于A， ， ，又 ，由
，得 成立，解得 ，所以A符合.
对于B， ， ， ，又 ，对于 ，使得，则 恒成立，所以B符合.
对于C， ， ， ，又 ，对于 ，使得
，则 ，根据指数函数单调性性可知，此方程只有
一解，所以C不符合.
对于D， ， ， ，又 ，对于 ，使得
，则 ， ，所以D符合.
故选：ABD.
14．对于定义域为 的函数 ， 为 的导函数，若同时满足：
① ；
②当 且 时，都有 ；
③当 且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”.
下列函数是“偏对称函数”的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】对于A选项， ，满足①，
，当 时， ，则 ，不满足②，A选项中的函数不满足条件；
对于B选项， ，满足①，，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，满足②，
令 ，其中 ，
则 ，
因为 ，则 ， ，则 ，
故函数 在 上单调递增，所以， ，
故当 时， ，满足③，B选项中的函数满足条件；
对于C选项， ，满足①，当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，满足②，
设 ，其中 ，
则 ，即 ，不满足③，C选项中的函数不满足条件；
对于D选项， ，满足①，
当 时， ， ，当 时， ， ，满足②，
设 ，其中 ，
，所以，函数 在 上单调递增，
故 ，故当 时， ，满足③，D选项中的函数满足条件.
故选：BD.
三、填空题
15．函数 的导函数为 ，若对于定义域内任意 ， ，有 恒成立，则称 为恒均变函数．给出下列函数：① ；② ；③ ；④
；⑤ ．其中为恒均变函数的序号是__________________．（写出所有满足条件的函数的
序号）
【解析】对于①f（x）=2x+3， 满足
，为恒均变函数；对于②f（x）=x2-2x+3，
，
，故满足 ，为恒均变函数；
对于；③f(x)＝ ， ，显然不
满足 ，故不是恒均变函数；对于④f（x）=ex ，
，显然不满足 ，故不是恒均变函
数；对于⑤f（x）=lnx， ，显然不满足
，故不是恒均变函数．故应填入： ①②．
16．我们把形如 的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得 ，两边对x求导数，得 于是
，
运用此方法可以求得函数 在(1,1)处的切线方程是_________.
【解析】 ， ，两边对 求导， ， ，
， ，切线方程为 ，即 ．
17．若 可以作为一个三角形的三条边长，`则称函数 是区间D上的“稳定函
数”．已知函数 是区间 上的“稳定函数”，则实数m的取值范围为___________．
【解析】 ， 当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
又 ， ， ，
由“稳定函数”定义可知： ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .
18．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若区间
上 ．则称函数 在区间 上为“凹函数”，已知 在 上为“凹
函数”则实数m的取值范围为__________．
【解析】由题可得 ，则 ，
在 上为“凹函数”， ， ，在 上单调递增， ，
，即m的取值范围为 .
19．对于函数 可以采用下列方法求导数：由 可得 ，两边求导可得
，故 .根据这一方法，可得函数 的极小值为
___________.
【解析】由 可得 ，两边求导可得 ，
，由 可得 ，故 ，当 时，
，当 时， ，故 的极小值为 .
20．设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不
同的零点，则称 与 在 上是“关联函数”．若 与 在 上是
“关联函数”，则实数 的取值范围是____________．
【解析】令 得 ，设函数 ，
则直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，
，令 ，可得 ，列表如下：
极大值， ，如下图所示：
由上图可知，当 时，直线 与函数 在区间 上的图象有两个交点，
因此，实数 的取值范围是 .
四、解答题
21．对于函数f（x），若存在实数 满足 ，则称 为函数f（x）的一个不动点.已知函数
，其中
(1)当 时，
（i）求f（x）的极值点；
（ii）若存在 既是f（x）的极值点，又是f（x）的不动点，求b的值：
(2)若f（x）有两个相异的极值点 ， ，试问：是否存在a，b使得 ， 均为f（x）的不动点？证明你
的结论.
【解析】(1)（i）当 时， ， .
当 时， 恒成立， 在 上递增，没有极值点.
当 时，令 解得 ，
则 在区间 递增；在区间 递减，
所以 的极大值点为 ，极小值点为 .（ii）若 是 的极值点，又是 的不动点，则 ，即 ，
即 ，代入 得 ， ， ，
， ，
，所以 ，则
(2) ， ，
有两个相异的极值点，也即 有两个不同的零点 ，
所以 ①， .
依题意，若 是 的不动点，
则 ，两式相减得 ，
， ，
， ，这与①矛盾，
所以不存在符合题意的 .
22．已知函数 .
(1)若 在其定义域内是增函数，求 的取值范围；
(2)定义：若 在其定义域内单调递增，且 在其定义域内也单调递增，则称 为 的
“协同增函数”.
已知函数 ，若 是 的“协同增函数”，求 的取值范围.【解析】(1)因为 ，所以 ，
令 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，即 .
因为 在其定义域内是增函数，所以 ，解得 .
(2)由（1）可得 .设 ，
则 .
因为 在其定义域内是增函数，所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
设 ，则 .
由 ，得 ；由 ，得 .
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ，故 ，解得 .
因为 ，所以 ，即 的取值范围是 .
23．记 ， 为 的导函数．若对 ， ，则称函数 为 上的
“凸函数”．已知函数 ， ．
（1）若函数 为 上的凸函数，求 的取值范围；（2）若函数 在 上有极值，求 的取值范围．
【解析】（1） ，
若函数 为 上的凸函数，则 ，即 ，
令 ， ，则当 时， ，
当 时， ；当 时， ；
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增，
， ，解得： ，
的取值范围为 .
（2） ， ，
在 上有极值， 在 有变号零点，
，令 ，则 ，
， ， 在 上单调递增， ；
①当 ，即 时， ， 在 上单调递增，
．即 ，
在 无零点，不合题意；
②当 ，即 时，则 ，使得 ，
当 时，， ， 单调递减，
又 ，当 时， ， 在 上无零点；当 时， ， 单调递增，
又 时， ，
在 上有零点，且在零点左右两侧 符号相反，即该零点为 的变号零点，
在 上有极值；综上所述： 的取值范围为 .
24．设 是函数 的导函数，我们把使 的实数x叫做函数 的好点.已知函数
，
（1）若0是函数 的好点，求a；
（2）若当 时，函数 无好点，求a的取值范围.
【解析】（1）∵ ，∴ ，
由 ，得 ，即 ，
∵0是函数 的好点，∴ ，∴ .
（2） ，由 ，得 ，
即 ，令 ，将问题转化为讨论函数 的零点问题，
∵当 时， ，若函数 不存在好点，
等价于 没有零点，即 的最小值大于零，
由 得， ，因为 ，则由 得 ，
∴当 时， ；当 时 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，∴ ，又当且仅当 ，即 时， ，
∴ 无零点， 无好点；a的取值范围为 .
25．已知函数 .
（1）求函数 的图象在 （ 为自然对数的底数）处的切线方程；
（2）若对任意的 ，均有 ，则称 为 在区间 上的下界函数， 为 在区
间 上的上界函数.
①若 ，求证： 为 在 上的上界函数；
②若 ， 为 在 上的下界函数，求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，所以 ，
所以函数 的图象在 处的切线斜率 .
又因为 ，所以函数 的图象在 处的切线方程为 ；
（2）①由题意得函数 的定义域为 .令 ，得 .
所以当 时， ；当 时， .
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减.所以 .
因为 ，所以 ，
故当 时， 在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
从而 ，所以 ，即 ，
所以函数 为 在 上的上界函数；②因为函数 为 在 上的下界函数，所以 ，即 .
因为 ，所以 ，故 .
令 ， ，则 .
设 ， ，则 ，
所以当 时， ，从而函数 在 上单调递增，所以 ，
故 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
从而 .因为 在 上恒成立，所以 在 上恒成立，
故 ，即实数 的取值范围为 .
26．已知函数 ．
（1）求函数 的最小值；
（2）证明：对任意 恒成立；
（3）对于函数 图象上的不同两点 ，如果在函数 图象上存在点
（其中 ）使得点 处的切线 ，则称直线 存在“伴侣切线”．特别地，当 时，
又称直线 存在“中值伴侣切线”．试问：当 时，对于函数 图象上不同两点 、 ，直线 是
否存在“中值伴侣切线”？证明你的结论．
【解析】（1） 时， ，
令 得 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
时， 对 恒成立.所以 在 单调递增，故 .
（2）由 ，
令 ，则 ，
因为 ,显然 ，所以 在 上单调递增,
显然有 恒成立.（当且仅当x=1时等号成立），即证．
（3）当 时， ， ，
假设函数 存在“中值伴侣切线”.
设 是曲线 上的不同两点，且 ，
则 ， . 故直线AB的斜率：
曲线在点 处的切线斜率：
=
依题意得
化简可得 ，即 .
设 ( )，上式化为 ,由（2）知 时， 恒成立.
所以在 内不存在 ,使得 成立.综上所述，假设不成立. 所以函数 不存在“中值伴侣切线” .
27．如果 是定义在区间D上的函数，且同时满足：① ；② 与 的单调性相同，则
称函数 在区间D上是“链式函数”.已知函数 ， .
（1）判断函数 与 在 上是否是“链式函数”，并说明理由；
（2）求证：当 时， .
【解析】（1） ，令 则 ，
在 上单调递增，
又 当 时， ， 在 上单调递增，又 当 时， ，
∴当 时， ， 与 在 上均单调递增，
∴ 在 上是“链式函数”.
，令 ，则 ，
∴ 在 上单调递减，又 当 时， ，
∴ 在 上单调递减，又 当 时， ，
∴当 时， ， 与 在 上均单调递减，
∴ 在 上是“链式函数”.
（2）当 时，由（1）知 ，所以 ，
又由（1）知 ，所以 ，
两式相加得 ，即 ，
令 ，
则 ，所以 在 上单调递增，
则当 时， ，即 ，∴当 时， ，
故当 时， .
28．设函数 的图象在 处取得极值4.
（1）求函数 的单调区间；
（2）对于函数 ，若存在两个不等正数 ， ，当 时，函数 的值域是 ，则
把区间 叫函数 的“正保值区间”.问函数 是否存在“正保值区间”，若存在，求出所
有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.
【解析】（1） ，依题意则有： ，即 解得 ,
∴ .令 ，由 解得 或 ，
所以函数 的递增区间是 和 ，递减区间是 ；
（2）设函数 的“正保值区间”是 ，因为 ，故极值点 不在区间 上；
①若极值点 在区间 ，此时 ，在此区间上 的最大值是 4，不可能等于 ；
故在区间 上没有极值点；
②若 在 上单调递增，即 或 ，
则 ，即 ，解得 或 不符合要求；
③若 在 上单调减，即 ，则 ，
两式相减并除 得： ， ①两式相除可得 ，即 ，
整理并除以 得： ，②
由①、②可得 ，即s，t是方程 的两根，
解得 ， ，但 不合要求.
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数 不存在“正保值区间”
