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专题09 双曲线的焦点弦、中点弦、弦长问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知双曲线C： 的一条渐近线方程是 ，过其左焦点 作斜率为2的
直线l交双曲线C于A，B两点，则截得的弦长 （ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解析】 双曲线C： 的一条渐近线方程是 ， ，即 左焦点
， ， ， ， ， 双曲线C的方程为 易知直线l
的方程为 ，设 ， ，由 ，消去y可得 ，
， 故选：D
2．已知 为双曲线 上两点，且线段 的中点坐标为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，则有 ， ，
两式相减得到 ，又线段 的中点坐标为 ，
所以 ，得到 ，所以 的斜率为 .故选：B.
3．已知双曲线 与直线 相交于A、B两点，弦AB的中点M的横坐标为 ，
则双曲线C的渐近线方程为（ ）A． B． C． D．
【解析】设 ， ，则 ，由点差法得
．
∵ ，∴ ， ，∴ ，又 ，
∴ ，∴渐近线方程为 .故选：A．
4．已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，若
，则 的面积等于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
【解析】直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，
则四边形 为矩形，所以 ， ，
由双曲线 可得 ， ，则 ，
所以 ，所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，所以 ．故选：C．
5．已知双曲线 ，过点 的直线l与双曲线C交于M､N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题设，直线l的斜率必存在，设过 的直线MN为 ，联立双曲线：
设 ，则 ，所以 ，解得 ，
则 ， .弦长|MN| .故选：D.
6．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，且位于第一象限，若直
线 的斜率为 ，则 的内切圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，由题意知 ，直线 的斜率为 ，
则直线 的方程为 ，∴ ，化简整理得 ，
即 ，∴ 或 （舍去），
则 ，即 ，∴ ， ，
设 的内切圆的圆心为Q，半径为r，连接 ， ， ，
则由 ，得 ，
∴ ，得 ，（利用等面积法求内切圆的半径）
故 的内切圆的面积为 ．故选：B．7．已知 为坐标原点，双曲线 的右焦点为 ，以 为直径的圆与 的两条渐近线分
别交于与原点不重合的两点 ， ，若 ，则四边形 的面积为（ ）
A．6 B． C． D．4
【解析】设 与 轴交于点 ，由双曲线的对称性可知 轴， ， ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，因为点 在以 为直径的圆上，所以 ， 所在的渐近线方程为 ，
点 到渐进线 距离为 ，所以 ，
所以 ， ，则 ，
所以 ，故选：B
8．设A，B分别是双曲线x2- =1的左、右顶点，设过P 的直线PA，PB与双曲线分别交于点M，N，直线MN交x轴于点Q，过Q的直线交双曲线的右支于S，T两点，且 =2 ，则△BST的面积为
（ ）
A． B．
C． D．
【解析】双曲线x2- =1的左、右顶点分别为A(-1，0)，B(1，0)，又P ，
∴直线PA的方程为x= -1，PB的方程为x=- +1，
联立 可得 y2- =0，解得y=0或y= ，
将y= 代入x= -1可得x= ，即有M ，
联立 可得 y2- y=0，
解得y=0或y= ，将y= 代入x=- +1，可得x= ，即N
设Q(s，0)，由M，N，Q三点共线，可得kMN=kQN，即有 = ，
将M，N的坐标代入化简可得 = ，解得s=2，即Q(2，0)，
设过Q的直线方程为x=my+2，联立 得(3m2-1)y2+12my+9=0，
设S(x，y)，T(x，y)，可得y+y=- ，yy= ，
1 1 2 2 1 2 1 2Δ=144m2-36(3m2-1)>0恒成立，又 =2 ，∴y=-2y，∴-2· = ，
1 2
解得m2= ，可得S BST= |BQ|·|y-y|= |y-y|=
1 2 1 2
△
= · =3· = 故选：A．
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知 ， 分别是双曲线 ： 的左、右焦点，点 是该双曲线的一条渐近线上的一点，并
且以线段 为直径的圆经过点 ，则（ ）
A． 的面积为 B．点 的横坐标为2或
C． 的渐近线方程为 D．以线段 为直径的圆的方程为
【解析】由双曲线方程知 ， ，所以双曲线 的渐近线方程为 ，故C错误；
又 ，所以 为直径的圆方程为 ，故D错误；
由 ，得 或 ，所以点 的横坐标为2或 ，故B正确；
又 ，所以 ，故A正确．
故选：AB．
10．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，左、右顶点分别为 ， ，点 在双曲线上，则
下列结论正确的是（ ）
A．该双曲线的离心率为 B．若 ，则 的面积为C．点 到两渐近线的距离乘积为 D．直线 和直线 的斜率乘积为
【解析】由双曲线方程得 ， ， ，双曲线的离心率为 ，A正确；
若 ，不妨设 ， ， ，B错误；
设 ，则 ， ，渐近线方程为 ，
点 到两渐近线的距离乘积为 ，C正确；
， ， ，D正确；
故选：ACD
11．在平面直角坐标系 中，动点 与两个定点 和 连线的斜率之积等于 ，记点
的轨迹为曲线 ，直线 与 交于 两点，则（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C． 的渐近线与圆 相切 D．
【解析】设点 ，由直线 与 的斜率之积为 ，可得 ，
整理得 ，即曲线 的方程为 ，所以A正确；
曲线 的离心率 ，所以B不正确；
由圆 ，可得圆心为 ，
可得圆心到曲线 的渐近线 的距离 ，
又由圆的半径为1，所以曲线 的渐近线与圆 相切，所以C正确；联立方程组 ，整理得 ，则 ， ，所以
，所以D正确．
故选：ACD．
12．过双曲线 的右焦点作直线 与该双曲线交于 、 两点，则（ ）
A．存在四条直线 ，使
B．与该双曲线有相同渐近线且过点 的双曲线的标准方程为
C．若 、 都在该双曲线的右支上，则直线 斜率的取值范围是
D．存在直线 ，使弦 的中点为
【解析】对于A，由于 ，所以右焦点为 ，设直线 方程为： .
联立 得： ， 恒成立.
所以 ， ，则 ， .
所以 .
所以 ，解得 ，所以只有两条，故A错误；
对于B，双曲线 的渐近线为 ，所以 ，
过点 的双曲线的标准方程为 ，故B正确；对于C，若 、 都在该双曲线的右支上，则 ，
即 ，所以 ，解得 .故C正确；
对于D，假设存在直线 ，使弦 的中点为 ，
设直线的方程为 ，与 联立得：
， 恒成立.所以 ，
所以 ，所以直线方程为 ，但是由于 不在直线上，
故不存在这样的直线 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若直线y=kx+1与双曲线 交于A､B两点，且线段AB的中点横坐标为1，则实数k=
．
【解析】联立直线y=kx+1与双曲线 可得 ，即 ，
∵ ，直线y=kx+1与双曲线 交于A､B两点，
∴x+x=2 ， ，∴ ，∴ k 且
1 2
∵线段AB的中点横坐标为1，∴x+x=2，∴ ，∴ ，
1 2
∴k ，∵ ，∴k
14．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 作斜率为 的弦 ．则 的长是
．【解析】设 ， ，双曲线的左焦点为 ，
则直线 的方程为 ，由 得， ，
， ，则 ．
15．已知点 ，点 是双曲线 的右焦点，点 是双曲线 右支上一动点，则当 的
周长取得最小时 的面积为 ;
【解析】双曲线 ， ，右焦点 ，设其左焦点为 ，
则 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，此时 在第一象限，
此时直线 的方程为 ，
由 ，以及点 在第一象限，可得点P的纵坐标 ，
所以 .
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，过 且垂直于x轴的直线与该双曲线
的左支交于A，B两点， ， 分别交y轴于P，Q两点，若 的周长为16，则 的最大值为
.【解析】∵ 轴且过 ，则AB为双曲线的通径，由 ，
代入双曲线可得 ，故 .
为 的中点， ，则 为 的中位线，故 ，
又 的周长为 ，则 的周长为 ①，
∵ ②，
故由①②可得 ，即 ，可得 .
故 ，当且仅当 即 时取等号.
故答案为：4
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线C的方程为 ．
(1)直线 截双曲线C所得的弦长为 ，求实数m的值；
(2)过点 作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段 的中点M的轨迹方程．
【解析】（1）联立 ,得 ，
直线 被双曲线 截得的弦长为 , ,
设直线与双曲线交于 ,则 ,由弦长公式得 ,解得 .
（2）设 , ，则 ，
，上式作差得 ，
当直线 的斜率不存在时，根据双曲线对称性知 ，
当直线 的斜率存在时，但 时，此时直线 为直线 ，根据双曲线对称性知 ，
当直线 的斜率存在时，且 时， ，
， ，化简得 ，其中 ，
而点 ， 适合上述方程，则线段 的中点 的轨迹方程是 .
18．已知双曲线 ： 的右焦点为 ，过 且斜率为1的直线与 的渐近线分别
交于 ， 两点（ 在第一象限）， 为坐标原点， ．
(1)求 的方程；
(2)过点 且倾斜角不为0的直线与 交于 ， 两点，与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，证明：
．【解析】（1）由已知得 ： ，联立 解得 ，同理可得 ．
∵ ，∴ ，整理得 ．又 ，∴ ， ，
∴ 的方程为 ．
（2）要证明 ，只需证明 的中点与 的中点重合．
设 的中点为 ，直线 ： ，联立 得 ，
设 ， ，则 ，
， ，即 ，
双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
由 得 可得 ，
由 得 可得 ，
∴ 的中点为 ，∴点 与点 重合，∴ ．
19．设双曲线 的焦距为6，点 在双曲线 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 的右焦点为 是直线 上一点，直线 交双曲线 于 两点（ 在第一象限），过点作直线 的平行线 与直线 交于点 ，与 轴交于点 ，证明： 为线段 的中点.
【解析】（1）因为焦距为6，所以 ，将点 代入 的方程，得 ，
又因为 ，解得 ，所以双曲线方程为 .
（2）如图所示：
是直线 上一点， 的横坐标为 ，
设直线 的方程为 ，则 ，
联立方程组 得 ，设 ，
则 ，且 ，
则 ，
直线 的方程为 ，①
又直线 的方程为 ，②，由①②消去 得 ，
在 中，
两式相除，得 ，则 ，则 ，
，故 为线段 的中点.
20．已知双曲线 的左顶点为A，虚轴上端点为 ，左、右焦点分别为 ， ，离
心率为 ， 的面积为4．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过 且与 轴的夹角在 内的直线 交双曲线 于 两点， 的面积为 ，求 的方
程．
【解析】（1）设双曲线的半焦距为 ，
因为 ，即 ，又因为 ，则 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，得 ，则 ．故双曲线 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立方程 ，消去 整理得 ．
可得 ，且 ，
则 ， ，
可得 ，因为 ，可得 ，
所以 ，即 ，
化简得 ，解得 或 ．
由题可知 ，所以 或 ，故直线 的方程为 或 ，
即直线 的方程为 或 ．
21．已知双曲线 的焦距为10，渐近线方程为 .
(1)求 的方程；
(2)已知过点 的直线 与双曲线 的两支分别交于 、 两点，且 与直线 交于点 ，求
的值.
【解析】（1）由题可得 ， ，解得 ，
所以 的方程：
（2）由于双曲线的渐近线方程为 ，
可设直线 的方程为 ，且 ， ，则联立直线与双曲线 ，
所以 ，
则
.
22．在平面直角坐标系 中，焦点在x轴上的双曲线C过点 ，且有一条倾斜角为 的渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设点F为双曲线C的右焦点，点P在C的右支上，点Q满足 ，直线 交双曲线C于A，B两
点，若 ，求点P的坐标.
【解析】（1）设双曲线C的标准方程为 ，渐近线方程为 ，
则由题意可得， ，且 ， 解得 ，
则双曲线C的标准方程为 ；
（2）双曲线 的方程为 ，所以 的右焦点 ，点Q满足 ，则P为OQ的中点，设 ，则 ，
若直线AB的斜率不存在，则其方程为 ，此时 ，m＝1，Q与F重合，不合题意；
若直线AB的斜率存在，设 ，m≠1，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵点P在双曲线C上，∴ ，∴ ，即 ，
联立 消去 得 ．
所以 ，
设 ，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即
∴ ，解得 ， ，符合题意，
所以，点P的坐标 ．
