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专题09 三角函数与解三角形小题综合
一、单选题
1．（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数 在 上
有且仅有2个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先化简 ，利用整体换元法和零点个数，建立不等式组，
求解不等式组可得答案.
【详解】
因为 在 上仅有2个零点，
当 时， （ ），
所以 ，解得 ．
故选：B.
2．（2023·浙江·校联考二模）在三角形 中， 和 分
别是 边上的高和中线，则 （ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】C【分析】将 作为基底，用基底表示 和 ，根据数量积的规则计算即可.
【详解】
设 ，则有
，
由余弦定理得 ，
，
其中 ， ，解得 ，
；
故选：C.
3．（2023·浙江绍兴·统考二模）已知函数 在区间
内取得一个最大值 和一个最小值 ,且 ,则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知得 ,又 ,即 ,即可得到结果.
【详解】因为函数 在区间 内取得一个最大值
和一个最小值 ,
所以 ,又因为 ,
所以 ,即 ,所以 .
故选:C.4．（2023·校考模拟预测）已知函数 的最小正周期为
T，且 ，若 的图象关于直线 对称，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用二倍角公式化简 ，结合 与 的对称性求得 的值，进
而求得结果.
【详解】因为 ，
所以 ．
又因为 ，
所以 ，即 ，①
又因为 的图象关于直线 对称，
所以 ， ．
所以 ， ，②
所以由①②得 ，
所以 ，
故 ．
故选：A.
5．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）若函数 的周期为 ，其图象由函数的图象向左平移 个单位得到，则 的一个单调递
增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式化简 ，由平移可得
，进而由周期可得 ，利用整体法可得单调区
间即可求解.
【详解】 ，将 向左平移 个单位得到
,
由 的周期为 ，故 ，
所以 ，
令 ,解得 ，
故 的单调递增区间为 ，
所以取 可得一个单增区间为 ，
故选：A
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）如图，某同学到野外进行实践，测量鱼塘两侧的两
棵大榕树A，B之间的距离．从B处沿直线走了 到达C处，测得 ，
，则 （ ）．A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，由条件可得 ，然后结合正弦定理即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，且 ， ，则 ，
所以 ， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
即 ，解得 .
故选:A
7．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 的部分图象如图所示，
其中 ，图中函数 的图象与坐标轴的交点分别为
，则下列代数式中为定值的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【分析】根据图象，由 求出 ，再由M，N点的坐标求出 为定值.
【详解】由图象可得， ，且 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
则 .
故选：D
8．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知函数
在区间 上单调递增，若存在唯一的实数
，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理可得 ，结合题意结合正弦函数性质分析运算.
【详解】由题意可得： ，且 ，
①因为 ，可得 ，
若存在唯一的实数 ，使得 ，
则 ，解得 ；②又因为 ，且 ，
可得 ，
若函数 在区间 上单调递增，
注意到 ，则 ，解得 ；
综上所述： 的取值范围是 .
故答案为：B.
9．（2023·浙江·校联考二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords，也被称
为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明
方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点 为
半圆 上一点， ，垂足为 ，记 ，则由 可以直接
证明的三角函数公式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据直角三角形中的定义写出 ，用 表示出 ，然后分析可得．
【详解】由已知 ，则 ， ，
又 ， ， ， ，
因此 ，故选：C．
10．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）在函数 ， ，
， 中，既是奇函数又是周期函数的有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】设 ， ，首先判断出 的奇偶性与周期性，再分别判断
的奇偶性与周期性即可．
【详解】设 ， ，
因为 ，
所以 是 上的奇函数，显然 不是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，
所以 为奇函数，
又因为 ，
所以 是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，
所以 为偶函数，
又因为 ，所以 是周期函数；
对于 ， ，
因为 ，
所以 在定义域内为奇函数，
又因为 ，
所以 是周期函数；
综上所述， ， 既是奇函数又是周期函数，
故选：C．
11．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）赵爽弦图是中国古代数学的重要发现，
它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．已知小正
方形的面积为1，直角三角形中较小的锐角为 ，且 ，则大正方形的面积为
（ ）
A．4 B．5 C．16 D．25
【答案】D
【分析】根据正切函数二倍角公式求得 ，根据赵爽弦图直角三角的边角关系得两
直角边长，即可得大正方形的边长，可求得面积.
【详解】因为 ，所以
由题意小正方形的面积为1，则小正方形的边长为1，设直角三角形较短的直角边为 ，
则较长的直角边长为 ,
所以 ，解得 ，所以大正方形的边长为 ，故大正方形的面积为 .
故选：D.
12．（2023·浙江·校联考三模）在平面直角坐标系中，角 的顶点在坐标原点，始边与
的非负半轴重合，将角 的终边按逆时针旋转 后，得到的角终边与圆心在坐标原
点的单位圆交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题设易知 ，利用诱导公式、倍角余弦公式有
，即可求值.
【详解】由题设 ，
由 .
故选：A
13．（2023·浙江·校联考模拟预测）定义 设函数
，可以使 在 上单调递减的 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分段写出函数 解析式，并确定单调递减区间，再借助集合的包含关系求
解作答.【详解】依题意， ，
函数 的递减区间是 ， ， ，
于是 或 ， ，
即 ， ，解得 ，由 ，得
，无解；
或 ， ，解得 ，由 ，得
，则 或 ，
当 时， ，当 时， ，选项C满足，ABD不满足.
故选：C
14．（2023·浙江·高三专题练习）函数 的图象向左平移
个单位长度后对应的函数是奇函数，函数 ．若关于x的方程
在 内有两个不同的解α，β，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数的图象性质、图象变换和三角恒等变换公式，以及诱导公式求
解.
【详解】函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得函数的解析式为 ，
因为所得函数为奇函数，所以 ，
则有 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
，
因为 ，所以 ，
所以由 ，
可得 ，
所以 ，且 ，
则 ，
所以 ，
故选:B.
15．（2023·浙江金华·模拟预测）已知向量 ，若 ，
则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】利用向量数量积的坐标公式结合同角三角函数的基本关系化简即可.
【详解】 ，从而 ，
于是 ，
从而
．
故选：A
16．（2023·浙江·二模）函数 在区间 的最小值（ ）
A．与 有关，与 有关 B．与 有关，与 无关
C．与 无关，与 有关 D．与 无关，与 无关
【答案】B
【分析】根据函数周期判断区间超过一个周期可得与最值的关系.
【详解】函数 得到 ,区间 长度超过一个周期,
函数 在区间 的最小值 ,与 有关，与 无关.
故选:B.
17．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数 ，集合
中恰有3个元素，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知化简可得 ， .原题可转化为在 上恰有3个解.求出当 时， 的前4个解，即可
得出 ，求解即可得出答案.
【详解】由已知可得， .
因为 ， ，所以 .
因为集合 中恰有3个元素，
即函数 在 上恰有3个解，
即 在 上恰有3个解.
因为，当 时， 的前4个解依次为 ， ， ， ，
所以应有 ，即 ，
所以， .
故选：D.
18．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）设函数 的最小正周
期为 ，若 ，且 的图象关于点 对称，则（ ）
A． B． 的图象关于直线 对称
C． 在区间 上是减函数 D． 在区间 上有且仅有两个
极值点
【答案】C【分析】根据周期和对称性可得 ，进而根据正弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得 ，且 ，解得 ，
因为 的图象关于点 对称，则 ，
整理得 ，可得 ，解得 ，
且 ，则 ，
所以 .
对于A： ，故A错误；
对于B： 不是最值，故B错误；
对于C：因为 ，则 ，且 在 上是减函数，
所以 在区间 上是减函数，故C正确；
对D：因为 ，则 ，且 在 内有且仅有一个极
值点，
所以 在区间 上有且仅有一个极值点，故D错误；
故选：C.
19．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 ，若将函数
的图象向左平移 个单位长度后得到函数 的图象，若关于 的方程在 上有且仅有两个不相等的实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象平移的原则得 的表达式，根据 的范围得出
的范围，结合余弦函数的性质列出不等式即可得结果.
【详解】将函数 向左平移 个单位长度后得到函数
，
即 ，
∵ ，∴ ，
∵ 在 上有且仅有两个不相等的实根，
∴ ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，
故选：B.
20．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ，
， ， 在 上单调，则 的最大值为
（ ）．
A．3 B．5 C．6 D．7
【答案】D【分析】根据 可知直线 为 图象的对称轴，根据
可得 的对称中心为 ，结合三角函数的周期性可得
，再根据 在 上单调，可得 ，逐一验证当 取到
最大值11,9,7时，求解 ，检验在 上单调性看是否满足，即可得答案.
【详解】 ，∴直线 为 图象的对称轴，
， 的对称中心为 ，
，
，
．
又 在 上单调， ．
， ，
又 ，
∴当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上不单调，舍去；当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上不单调，舍去；
∴当 时， ，因为直线 为 图象的对称轴，
所以 ， ，
解得 ， ，又 ，所以 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调.
则 的最大值为7．
故选：D
二、多选题
21．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测）已知函数 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的最小正周期是
B．函数 的最大值为1，最小值为
C．函数 的图像在区间 上单调递减
D．函数 的图像关于 对称
【答案】AD
【分析】首先根据降幂公式化简 ，根据周期函数的定义即可判断A；设
，求出 的值域，即可判断B；由 得出 ，
根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．【详解】 ，
对于A：设 的周期为 ，
则 ,
所以 ，其中 ，解得 ，
所以 最小值为 ，故A正确；
对于B：设 ，
则 ，
所以函数 的最大值为1，最小值为 ，故B错误；
对于C：由B得当 时， ，且 在 上单调递减，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故C错误；
对于D：由
，
，
所以 ，
所以 关于直线 对称，故D正确，
故选：AD．
22．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知向量 ，则
下列说法正确的是（ ）A．若 ，则
B．若 为锐角，则
C．若 在 上的投影向量为 ，则
D． 的最小值为1，最大值为3
【答案】AC
【分析】由向量共线的坐标运算即可判断A，由向量夹角的坐标公式即可判断B，由
投影向量即可判断C，由向量模的坐标运算公式即可判断D.
【详解】若 ，则 ，解得 ，所以 ，故A正确；
若 为锐角，则 ，且 与 不能同向共线，所以
，故B错误；
若 在 上的投影向量为 ，则
，
即 ，解得 ，所以 ，故C正确；
因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，故D错误.故选：AC
23．（2023·浙江·校联考三模）已知函数 ，则下列判断正确
的是（ ）
A．若 ，则 的最小值为
B．若将 的图象向右平移 个单位得到奇函数，则 的最小值为
C．若 在 单调递减，则
D．若 在 上只有1个零点，则
【答案】ABC
【分析】由 可得 关于 对称，所以 ，求出
可判断A；由三角函数的平移变换求出 ，因为 奇函数，所以
求出 可判断B；求出 的单调减区间可判断C；取 ，
取 在 的零点可判断D.
【详解】对于A，由 可得 关于 对称，
所以 ，可得： ，
因为 ，所以 的最小值为 ，故A正确；
对于B，将 的图象向右平移 个单位得到
，因为 为奇函数，所以 ，则 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，函数 的单调减区间为：
，则 ，
令 ， ，则 ，故C正确；
对于D，若 在 上只有1个零点，则 ，
取 ，令 ，则 ，
则 ， 时， 无零点，故D不正确.
故选：ABC.
24．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 ，则下列命题中成立的是（ ）．
A．若 ， 是第一象限角，则
B．若 ， 是第二象限角，则
C．若 ， 是第三象限角，则
D．若 ， 是第四象限角，则
【答案】BD
【分析】举反例判断A，C；利用终边相同的角的表示，结合正余弦函数以及正切函数
的单调性可判断B，D.
【详解】对于A，不妨取 ，满足题意，但是 ，A错误；
对于B，设 ,
因为 ，故 ，由于 在 上单调递减，
故 ，B正确；对于C，不妨取 ，满足题意，
而 ，C错误；
对于D，设 ，
因为 ，故 ，由于 在 上单调递增，
故 ，D正确；
故选：BD
25．（2023·浙江·校联考二模）已知函数 为奇函数，则
参数 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据奇函数 ，运用排除法，再验算即可.
【详解】 是奇函数，并在 时有意义， ，
对于A， ，
又
；
，是奇函数，正确；
对于B， ，错误；
对于C， ，又
；
，是奇函数，正确；
对于D， ，错误；
故选：AC.
26．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 是 的导
函数，则（ ）
A． 与 的周期相同
B． 与 的值域相同
C． 可能是奇函数
D． 的最大值是
【答案】AC
【分析】求导得出 ，利用三角函数性质直接判断AB，再利用辅助角公式及正弦
函数性质判断C，结合二倍角公式判断D．
【详解】由题意 ，
因此 和 的最小正周期都是 ，A正确；
值域是 ，而 的值域是 ， 时，两者不相同，B错；
，（其中
， ， 为锐角），
，当 ，即 时， 是奇函数，C正确；
，最大值是 ，D错．故选：AC．
27．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 的最小正
周期为 ,且图象经过点 ,则( )
A．
B．点 为函数 图象的对称中心
C．直线 为函数 图象的对称轴
D．函数 的单调增区间为
【答案】ACD
【分析】先求出 的解析式,然后逐项分析验证即可.
【详解】因为最小正周期 ,所以 ,所以A对.
因为 ,所以 ,又 ,所以 .
所以 .
因为 ,所以B错.
因为 ,所以直线 为函数 图象的对称轴,所以C对.
由 ,得 .
所以函数 的单调增区间为 ,所以D对.
故选: ACD28．（2023·浙江·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A．若 的最小正周期为 ，则
B．若 ，则 在 上的最大值为
C．若 在 上单调递增，则
D．若 的图象向右平移 个单位，得到的函数为偶函数，则 的最小值为
【答案】AC
【分析】根据正弦型三角函数的图象性质逐项判断即可.
【详解】对于A，若 的最小正周期为 ，则 ，所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，当 ，则 ，所以
，则 在 上的最大值为 ，故B不正确；
对于C，当 ，则 ，由于 在 上单调递增，所以
，解得 ，故C正确；
对于D， 的图象向右平移 个单位得 ，因为其为偶
函数，所以 ，
所以 ，又 ，则 的最小值为 ，故D不正确.
故选：AC.
29．（2023·浙江宁波·镇海中学校考二模）将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若 在 上为增函数，则
的值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】ABC
【分析】先利用三角函数平移得到 的解析式，再利用正弦函数的性质得到
的单调递增区间，结合题意可得 ，从而得解.
【详解】依题意， ，
由 ， 得： ，
所以 的单调递增区间为 ，
因为 在 上为增函数，
所以只考虑 的一个单调递增区间 ，
故 ，即 ，解得 ，
所以选项D不满足，选项ABC满足.
故选：ABC.
30．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知向量 ，函数
，则（ ）
A． 在 上有4个零点
B． 在 单调递增C．
D．直线 是曲线 的一条切线
【答案】BCD
【分析】根据向量的数量积坐标公式求解 并化简，对于选项A、B，根据正弦型
函数的零点，单调性验证；对于C，直接代入计算验证；对于D，利用导数求
在 点处的切线进行判断.
【详解】由题知
，
对于A，当 时， ，
令 ，则 ，则 或 ，即 或 ，
故 在 上有2个零点，故A错误；
对于B，当 时， ，
又 在区间 上单调递增，故 在 上单调递增，故B正确；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，则 ，
又 ，故在 处的切线方程为 ，即 ，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题
31．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）已知 ， ，则
___________．
【答案】
【分析】由 以及两角差的正弦公式得 ，
，再根据两角和的正弦公式可求出结果.
【详解】 ，化简得 ,即
，
又 ，所以 是第一象限角，得 ，
故
.
答案为： ．
32．（2023秋·浙江嘉兴·高三统考期末）若函数 在区间上有3个零点，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据函数零点的定义，结合余弦函数的单调性利用转化法、数形结合思想进
行求解即可.
【详解】 ，
由函数 在区间 上有3个零点，可以转化为直线 和函
数 在 上有三个不同的交点，
因为 ，所以 ，
当 时，即当 时，函数 单调递增，
函数值从 增加到 ；
当 时，即当 时，函数 单调递减，
函数值从 减少到 ；
当 时，即当 时，函数 单调递增，
函数值从 增加到 ，
当 时，即当 时，函数 单调递减，
函数值从 减小到 ，所以函数 在 上的函数图象如下图所示：
因此要想直线 和函数 在 上有三个不同的交点，
只需 ，
故答案为：
33．（2023·浙江·高三专题练习）定义在R上的非常数函数 满足： ，
且 .请写出符合条件的一个函数的解析式 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【分析】根据已知 ，且 得出对称轴和对称中心，确定
一个具体函数即可.
【详解】因为 .得出对称中心 ，且 得出对称轴为
轴，且周期为4的函数都可以.
故答案为：
34．（2023·浙江金华·统考模拟预测）若 ，则 _________.
【答案】 / /
【分析】利用弦化切可求得所求代数式的值.【详解】
.
故答案为： .
35．（2023·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知 ，则
__________.
【答案】
【分析】利用同角三角函数的关系化简 为齐次式，再代入
，可得答案.
【详解】因为 ，
所以 、
.
故答案为：
36．（2023秋·浙江宁波·高三期末）若正数 满足 ，且
，则 的值为______.
【答案】 /
【分析】利用和差化积公式和诱导公式化简 ，得出，再利用倍角公式与和差公式化简 ，再利用
弦切互化即可求解.
【详解】依题意，
因为
所以
又因为 ，所以 ，
所以 ，
所以
，
所以
.
故答案为： .
37．（2023·浙江·高三专题练习）已知 ， ，则
______．
【答案】0
【分析】将 平方，结合 可得 ，
利用二倍角余弦公式将 化简求值，可得答案.
【详解】将 平方得 ，
结合 可得 ，即 ，
则，
故答案为：0
38．（2023·浙江·高三专题练习）若定义在 上的函数 满足： ，
，且 ，则满足上述条件的函数 可以为
___________.（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一 也可）
【分析】根据题意可得函数 为偶函数，可取 ，在证明这个函数符合题意
即可.
【详解】令 ，则 ，
所以 ，所以函数 为偶函数，
可取 ，则 ，
所以 ， ，
所以函数 符合题意.
故答案为： .（答案不唯一 也可）
39．（2023春·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知锐角 满
足 ， ，则 _____.
【答案】
【分析】根据正切的和角公式，结合已知条件，求得 ；根据根与系数的关
系，求得 ，结合角度范围，求得 即可.
【详解】由 可得： ，则，
解得 ，又 ，
故 为一元二次方程 的两个实数根，
又 ，解得 ；
若 ，又 为锐角， 也为锐角，故可得 ，则 ，不满足 为锐角，
舍去；
若 ，则 ，故 ，
又 ， 为锐角，故可得 ，则 .
故答案为： .
40．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知 ，其中
，则 的最小值为________．
【答案】 /
【分析】根据 ， ， 可得 ，
， ，进而可得当且仅当 时，
等式成立，可得 ， ， ， ，进而求
解.
【详解】因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
因为 ，
所以当且仅当 时，等式成立，
所以 ， ， ， ，
即 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以当 ， ， 时， 取最小值 .
故答案为： .
