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专题08 函数的周期性
真题再现
一、单选题
1 ． （ 2022 年 全 国 新 高 考 II 卷 数 学 试 题 ） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 R ， 且
，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
2．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇
函数，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数 的定义域为R， 为奇函数， 为
偶函数，当 时， ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点一 周期函数的定义与求解
一、单选题
1．已知定义在 上的函数 满足 当 时 当 时
则 （ ）
A．809 B．811 C．1011 D．1013
2．已知 在R上是奇函数，且满足 ，当 时， ，则 等于（
）
A．－2 B．2 C．－98 D．983．设 是定义域为 的奇函数，且 ．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．函数 定义域为 ，且 是（ ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
5．已知函数 的定义域为 ，若 为奇函数， 为偶函数， ，则下列结论
一定正确的是（ ）
A．函数 的周期为3 B．
C． D．
6．已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时， ，则
的值为（ ）
A．－3 B．3 C．－1 D．1
7．已知 是定义在 R 上的奇函数，且对任意 都有 ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
二、多选题
8．已知 是定义在R上的奇函数，若 且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2
B．C． ，
D． 的值可能为2
9．已知定义在 上的函数 满足： 关于 中心对称， 关于 对称，且 .则
下列选项中说法正确的有（ ）
A． 为奇函数 B． 周期为2
C． D． 是奇函数
三、填空题
10．函数 ， 满足 ，当 ， ，则 ______.
11．已知定义在 上的奇函数 满足 ，且 ，则 的值为_____．
四、解答题
12．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 ．当 时，
．
(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式；
(3)计算 ．
13．已知函数 的定义域为 ，且满足 ．
(1)求证： 是周期函数；(2)若 为奇函数，且当 时， ，求使 在 上的所有x的个数．
考点二 利用周期性求函数值(或解析式)
一、单选题
1．已知函数 的定义域为 ，满足 ，且当 时， ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且 ，则 （ ）
A．2019 B．3 C．－3 D．0
3．设定义在R上的函数f（x）满足 ，若f（1）=2，则f（99）=（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在 上的偶函数 ，对 ，有 成立，当 时，
，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在 上的函数 的图像关于 y 轴对称，且周期为 3，又 ，则
的值是（ ）
A．2023 B．2022 C． D．1
6．已知函数 的定义域为 ，若 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．7 ． 已 知 是 定 义 在 上 的 奇 函 数 ， 若 为 偶 函 数 且 ， 则
（ ）
A． B．0 C．2 D．4
二、填空题
8．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则
______.
9．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为 ，则
＋ ＝______.
10．已知 是定义在 上的周期为 的奇函数，且 ，则 的值为___________
11．设 是定义域为R的奇函数，且 ．若 ，则 __________．
12．已知函数 ，则 ________.
13．已知 ，函数 都满足 ，又 ，则 ______．
14．设 是定义在R上以2为周期的奇函数，当 时， ，则函数 在 上
的解析式 ___________．
15．函数 满足是 ，且 ，当 时， ，则当 时，
的最小值为___________.
三、解答题
16．已知函数 是定义在 上的周期函数，周期为 5，函数 是奇函数，又知在 上是一次函数，在 上是二次函数，且在 时函数取得最小值 ，
(1)求 的值；
(2)求 ， 上的解析式；
(3)求 在 上的解析式，并求函数 的最大值与最小值．
17．设 是定义在 上以 为周期的周期函数，且 是偶函数，在区间 上，
.求 时， 的解析式．
18．设 是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 ．当 时，
．
(1)求证： 是周期函数；
(2)当 时，求 的解析式．19．设 是定义在 上的奇函数，且对任意实数 ，恒有 .当 时，
.
(1)当 时，求 的解析式；
(2)计算 .
20．已知f(x)是定义在R上的函数，满足 ．
（1）若 ，求 ；
（2）证明：函数f(x)的周期是2；
（3）当 时，f(x)＝2x，求f(x)在 时的解析式，并写出f(x)在 时的解
析式．
考点三 抽象函数周期性
一、单选题
1．定义在 R 上的连续函数 满足 ，且 为奇函数.当 时，，则 （ ）
A． B． C．2 D．0
2．已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， ，则函数 在
区间 上的零点个数是（ ）
A．253 B．506 C．507 D．759
3．定义在 上的函数 的图象关于点 成中心对称，对任意的实数 都有 ，
且 ， ，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
4 ． 已 知 函 数 ， 的 定 义 域 均 为 ， 且 满 足 ， ，
，则（ ）
A． 为奇函数 B．4为 的周期
C． D．
5．已知函数 ， 的定义域均为R，且 ， ．若 的图
象关于直线 对称， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 的图象关于点 中心对称，则下列说法
正确的是（ ）
A． B．C． ， D． ，
三、填空题
7．已知函数 满足： ，则 ______.
8．定义在 上的函数 满足 ，则 ______．
9．若定义域为 的奇函数 满足 ，且 ，则 ________．
10．若函数 的定义域为 ，且 ，则 ______．
11．已知函数 的定义域为 ， 对任意的 恒成立，若 ，
则 __________
四、解答题
12．设 是定义在 R 上的偶函数，其图象关于直线 对称，对任意 ， ，都有
，且 ．
(1)求f ；
(2)证明 是周期函数；
(3)记 ，求 ．
考点四 函数周期性的应用
一、单选题
1．已知函数 是定义在R上的偶函数，且 ，当 时， ，则函数 的零点个数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
2．已知定义域为 R 的偶函数 满足对 ，有 ，并且当 时，
，若函数 在 上至少有三个零点，则实数 a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的定义域为 ，其导函数为 ，若 为奇函数， 为偶函数，记
，且当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
4．若函数 满足对 都有 ，且 为 上的奇函数，当
时， ，则集合 中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、多选题
5．已知函数 ， 的定义域均为 ，且 ， ．若 的图象关
于直线 对称， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知 是定义在 上的函数，且对于任意实数 恒有 ．当 时，．则（ ）
A． 为奇函数 B． 在 上的解析式为
C． 的值域为 D．
7．已知 和 都是定义在 上的函数， 是偶函数， 关于 对称； 是奇函
数， 关于 对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 的周期为2 B．
C．函数 关于点 对称 D．
三、填空题
8．已知定义在R上的函数 是周期为3的奇函数.当 时， ，则函数 在区间
上的零点个数是______.
9．已知函数 满足 ，且 是偶函数，当 时， ，若在区间 内，
函数 有2个零点，则实数a的取值范围是________．
四、解答题
10．已知函数 的定义域为 ，且满足 ．
(1)求证： 是周期函数；
(2)若 为奇函数，且当 时， ，求使 在 上的所有x的个数．
