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专题 09 导数的几何意义及应用
一、单选题
1．（2023届山西省运城市运城中学高三第二次模拟）函数 在 处的切线方程
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ，所以所求切线方程为： ，即
.
故选A
2．（2024届江苏省淮安市高三上学期第一次调研）函数 与直线 相切，则实数a
的值为（ ）
A．1 B．2 C．e D．
【答案】B
【解析】设函数 与直线 相切于 ，直线 斜率为 ，
，
故 ，则 ，故 ，
即 ，解得 ，故 .故选B
3．（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检测）已知 是奇函数，则
在 处的切线方程是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 为奇函数，所以 ，
化简可得 ，
当 时，对任意 方程成立，
故 ，所以 ，
故 ，所以切线方程为 ，即 .故选B
4．（2024届陕西省榆林市府谷县高三上学期第一次联考）若直线 与曲线 相切，直线
与曲线 相切，则 的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，直线 与曲线 相切于点
，对 求导得 ，则 ，且 ，所以 ，
对 求导得 ，则 ，且 ，所以 .
令 ，所以 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
又 ，当 时， ，所以 ，因为 ， ，即 ，
所以 ， ，所以 ，故 .故选C.
5．（2024届河南省新未来高三上学9月联考）若存在 ， ，使得直线 与 ，
的图象均相切，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， 图象上的切点分别为 ， ，
则过这两点处的切线方程分别为 ， ，
则 ， ，
所以 ，设 ， ，
设 ，则 ，
所以 为单调递增函数， ，
可得 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 .故选C.
6．（2024届北京市八一学校高三上学期开学摸底考试）直线l经过点 ，且与直线 平行，如
果直线l与曲线 相切，那么b等于（ ）．
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】设切点为 ，且 的导数为 ，因为直线l经过点 ，且与直线 平行，所以切线的斜率为 ，即切线 的斜率为 ，解得 ，
可得切点为 ，由 ，解得 .故选B
7．（2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测）已知曲线 与直线 相切，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点为 ， ， 时， ， ，
切线方程为 ，又切线方程为 ，即 ，
所以 ，消去 得 ，易知 ，
所以 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
所以 时， ，从而 取得最大值 ．故选C．
8．（2024届广东省高三上学期新高考联合质量测评9月联考）过点 作曲线 的两条切线，
切点分别为 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，设切点坐标为 ，所以 ，所以切线方程为 ，所以 ，即 ，
依题意关于 的方程 有两个不同的解 、 ，
即关于 的方程 有两个不同的解 、 ，所以 .故选D
9．（2023届云南省保山市高三二模）若函数 与函数 的图象存在公切
线，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由函数 ，可得 ，
因为 ，设切点为 ，则 ，
则公切线方程为 ，即 ，
与 联立可得 ，
所以 ，整理可得 ，
又由 ，可得 ，解得 ，
令 ，其中 ，可得 ，
令 ，可得 ，函数 在 上单调递增，且 ，当 时， ，即 ，此时函数 单调递减，
当 时， ，即 ，此时函数 单调递增，
所以 ，且当 时， ，所以函数 的值域为 ，所以 且 ，
解得 ，即实数 的取值范围为 .故选A.
10．（2023届河南省信阳高级中学高三下学期2月测试）已知过点 不可能作曲线 的切线．对
于满足上述条件的任意的b，函数 恒有两个不同的极值点，则a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设 是曲线 上的任意一点， ，
所以在点 处的切线方程为 ，
代入点 得 ， ，
由于过点 不可能作曲线 的切线，
则直线 与函数 的图象没有公共点，
，
所以函数 在区间 上导数大于零，函数单调递增；
在区间 上导数小于零，函数单调递减，
所以当 时，函数 取得极大值也即是最大值 ，
则 ．对于满足此条件的任意的b，函数 恒有两个不同的极值点，
等价于 恒有两个不同的变号零点，
等价于方程 有两个不同的解．
令 ，则 ， ，
即直线 与函数 的图象有两个不同的交点．
记 ，则 ，
记 ，则 ，
所以 在 上单调递增．令 ，得 ．
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减， 上单调递增．所以 ．
所以 ．因为 ，所以 ，所以 ．
即实数a的取值范围是 ．故选A
二、多选题
11．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）已知直线 与曲线 相切，则下
列直线中可能与 垂直的是（ ）
x+4 y=0
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】 的定义域为 ，
，即直线 的斜率 ，设与 垂直的直线的斜率为 ，则 ，所以 ， .
对于A，直线的斜率为 ，故A正确；
对于B，直线的斜率为 ，故B错误；
对于C，直线的斜率为 ，故C正确；
对于D，直线的斜率为 ，故D错误.故选AC.
12．（2024届广东省深圳市宝安第一外国语学校高三上学期8月月考）若过点 可作 3 条直线与
函数 的图象相切， 则实数 可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】设切点为 ，
因为 ， ，
所以切线方程为 ，又切线过 ，
则 ，整理得 ，
所以令 ，则 ，
令 得 ，
所以当 或 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
故当 时， 取极小值 ，当 时， 取极大值 ，
由 可知当 时 ，
所以函数 的图象大致如图，
由图可知，当 时，直线 与函数 的图象有3个交点，
此时过点 可作3条直线与函数 的图象相切，
由此可知，BCD符合题意，故选BCD
13．（2023届湖南省长沙市实验中学高三二模）已知 ，若过点 恰能作两条直线与曲
线 相切，其中 ，则m与n可能满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】设切点坐标为 ，因为 ，则 ，切线斜率为 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为
将点 的坐标代入切线方程可得 ，
过点 恰能作两条直线与曲线 相切，
即方程 有2个解，即 ，与 的图象有2个交点，
，
若 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
即 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
若 ，令 ，得 或 ，令 ，得 ，
即 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
又 ， ，
故由图可知，当 或 时， 与 的图象有2个交点，
此时， 或 .故选AD.
14．已知函数 ， ，直线 分别与曲线 和曲线 相切于点
， ，且直线 也与曲线 ， 都相切，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】AD
【解析】选项A，B：易知 ， ，所以 ，则 ，
则曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
则 ．
曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 ，则 ，所以 ，
所以 ， ，故A正确，B错误；
选项C，D：曲线 与曲线 关于直线 对称，根据对称性可知， 关于直线
的对称点 是 与曲线 的切点，则 ， ，
所以 ，则 ， ，故C错误，D正确．故选AD
三、填空题
15．（2024届江西省乐安县第二中学高三上学期开学考试）已知直线 与曲线
相切，则实数 .
【答案】
【解析】设切点为 ， ，则有 ，解得
16．（2023届江西省景德镇市高三第三次质量检测）若曲线 在点 处的切线与曲线 相切于点 ，则 .
【答案】
【解析】 ， ， 切线斜率 ，
切线方程可记为： 或 ，
， ，
则 ，易得 ， ，
.
17．（2024届江苏省常州高级中学高三上学期期初检测）在平面直角坐标系 中，若过点 且同时与曲
线 ，曲线 都相切的直线有两条，则点 的坐标为 ．
【答案】
【解析】设点 的坐标为 ，
显然这两条曲线的公切线存在斜率，设为 ，
因此切线方程为 ，
设曲线 的切点为 ，即 ，
由 ，所以过该切点的切线的斜率为 ，
则有 ，
设 的切点为 ，即 ，由 ，所以过该切点的切线的斜率为 ，
则有 ，
由题意可知： ，于是有：
，得 ，或 ，
当 时，则有 ，
当 时，则有 ，
由 可解， .
18．（2024届福建省漳州市第三中学高三上学期9月月考）已知函数 ，若过点
可作曲线 的三条切线，则 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】设过点 的直线为 ，
，设切点为 ，
则 ，得 有三个解，
令 ， ，
当 ，得 或 ， ，得 ，
所以 在 ， 单调递增， 单调递减，又 ， ， 有三个解，
得 ，即 .
19．（2024届江西省智学联盟体高三第一次联考）若过 轴上任意点 可作曲线
两条切线，则 的取值范围 ．
【答案】
【解析】设曲线上一点 ， ，在 点的切线方程 ，
把 点代入切线方程得 ，得： ，
令 ，则 ，分别令 ， 解得
在 单调递增， 单调递减， ，
当 ， ， ， ，
要有两个解，
则 即对任意 ，则 ，
对任意 ，则 ，只要 ，
令 ， ，
在 单调递减，在 单调递增，则 ． ．
20．已知函数 有两条与直线 平行的切线，且切点坐标分别为
，则 的取值范围是 ．
【答案】【解析】由题意可知 的定义域为 ，
所以 ， ,
由导数的几何意义可得，切点为 时，切线斜率为 ，
切点为 时，切线斜率为 ．
又∵两条切线与直线 平行，可得 ，
即 ，
所以 是关于方程 的两根，
由 ，又 ，
可得 ，所以 ．
四、解答题
21．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）已知函数 ．
(1)求证：曲线 仅有一条过原点的切线；
(2)若 时，关于 的方程 有唯一解，求实数 的取值范围．
【解析】（1） 的定义域为 ， ，设切点 ，
则切线方程为 ，
当切线过原点时有 ，即 ，
故 ，因为 ，所以 ，即切点有且只有一个，则曲线 仅有一条过原点的切线，
即得证.（2）关于 的方程 有唯一解，即方程 ， 有唯一解，
令 ，则 .
因为 ，故当 ，即 时， ，函数 单调递增，且当 时，
，当 时， .
易知 的图象与直线 有且仅有一个交点，满足题意，此时 ；
当 ，即 时，设 有两个根 ， ，则 ， ，
故 .
①若 ，则当 时 ， 单调递增；
当 时 ， 单调递减，且当 时， ，当 时， .
故要使得 有唯一解，则 或 恒成立.
此时 ，即 ， ， .
则极大值 ，
令 ，则 ，故当 时， ， 单调递增；当
时， ， 单调递减.
所以 ，
又 恒成立，故 ， ；
同理，极小值 ，当 时无最小值，此时无实数 使得 恒成立.②若 ，则 ， ，不满足 ；
③若 ，由①可得 ；
故当 时， .
综上所述：
当 时， ；当 时， .
22.（2024届江苏省南通市如东县高三上学期期初学情检）已知 是函数 的极值点.
(1)求 的极值；
(2)证明：过点 可以作曲线 的两条切线.
【解析】（1）因为 ，所以 .
因为 是函数 的极值点，
所以 ，所以 .
即 ，
易知当 时， ；当 或 时， ；
因为 在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增，
所以当 时， 取得极大值 ；当 时， 取得极小值 .
（2）设切点 ，
则切线方程是 .
代入得 ，
整理得 .设 ，则
.
易知 在 上单调递减， 上单调递增，
上单调递减， 上单调递增，
又因 ，所以 在 上有且只有一个零点.
又因为 ， ，
所以 在 上有且只有一个等点.
又因为当 时， ，
所以 在 上没有零点；
即 有且仅有两个零点，也即过点 可以作曲线 的两条切线.
