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专题09 函数的对称性
真题再现
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的定义域均为R，且
．若 的图像关于直线 对称， ，则
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若
， 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、解答题
3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线 关于直线 对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.考点一 判断(证明)函数的对称性
一、单选题
1．下列函数的图象中，既是轴对称图形又是中心对称的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知角 的顶点在原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，若函数 ，则
（ ）
A． 图象的对称轴为 B． 图象的对称轴为
C． 图象的对称中心为 D． 图象的对称中心为
3．设函数 的定义域为R，且 是奇函数，则 图像（ ）
A．关于点 中心对称 B．关于点 中心对称
C．关于直线 对称 D．关于直线 对称
4．已知函数 ，则 的图象（ ）
A．关于直线 对称 B．关于点 对称
C．关于直线 对称 D．关于原点对称
5．已知函数 是定义在 上的函数，那么函数 的图象与函数 的图象之间
（ ）
A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．关于点 对称 D．关于直线 对称
二、多选题
6．下列函数中，哪些函数的图像关于 轴对称（ ）A． B．
C． D．
7．已知 是定义在R上的函数，函数 图像关于y轴对称，函数 的图像关于原点对称，
则下列说法正确的是（ ）
A． B．对 ， 恒成立
C．函数 关于点 中心对称 D．
8．已知函数 定义域为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则函数 图象关于 对称
¬q
B．函数 与函数 的图象关于 对称
C．函数 的图象关于 对称
D．函数 的图象关于 对称
9．已知 是定义在R上的函数，且 ，则（ ）
A．函数 的图象关于原点对称 B．函数 的图象关于点 对称
C．函数 的图象关于直线x=1对称 D．函数 是以2为周期的周期函数
10．已知函数 的图像关于点 成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数，
函数 的图像关于直线 成轴对称图形的充要条件是函数 为偶函数，则（ ）
A．函数 的对称中心是
B．函数 的对称中心是C．函数 有对称轴
D．函数 有对称轴
三、填空题
11．已知函数 在 上的最大值与最小值分别为 和 ，则函数
的图象的对称中心是______.
考点二 利用对称性求函数解析式或函数值
一、单选题
1．已知定义域为 的函数 的图象关于点 成中心对称，且当 时， ，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，其中 a 为常数，若存在 ，且 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
3．函数 的图像与函数 的图像关于直线 对称，其中 （ ）
A．3 B． C． D．
4．下列函数中，其图象与函数 的图象关于直线 对称的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列函数与 的图象关于原点对称的函数是（ ）
A． B．C． D．
二、多选题
6．已知函数 定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则下列一定成立的是
（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数 ，则（ ）
A．函数 的图像关于直线 对称
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．曲线 与 关于直线 对称
三、填空题
8．函数 的图像关于点 中心对称，则 ______.
9．奇函数 的图像关于直线 对称， ，则 _________.
10．已知函数 满足 ，且当 时， ，则 ______.
11．已知定义在 上的函数 满足 ，若 的图像关于直线 对称，则 ___.
12．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数，若方程 有
实 数 解 ， 则 称 为 函 数 的 “ 拐 点 ” ， 经 研 究 发 现 所 有 的 三 次 函 数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图像的对称中心，若函数，则 ______.
13．若函数 的图像关于直线 对称，则 ___________.
14．已知 是定义在R上的函数 的对称轴，当 时， ，则 的解析式是
_______．
四、解答题
15．函数 是定义在 上的偶函数，且对任意实数 ，都有 成立.已知当 时，
.
(1)当 时，求函数 的表达式；
(2)若函数 的最大值为1，当 时，求不等式 的解集.
16．设 同时满足条件 和对任意 ，都有 成立.
（1）求 的解析式；
（2）设函数 的定义域为 ，且在定义域内 .若函数 的图象与 的图象关于直
线 对称，求 .考点三 利用对称性研究单调性
一、单选题
1．已知定义在 上的函数 在 上单调递减，且 为偶函数，则不等式 的
解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在 上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知定义在R上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函数，且 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
4 ． 已 知 定 义 域 为 的 函 数 在 单 调 递 减 ， 且 ， 则 使 得 不 等 式
成立的实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．5．已知函数 在 上单调递增，满足对任意 ，都有 ，若 在区间
上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ， ， ， ,则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知定义域为 的函数 在 上单调递增， ，且图像关于 对称，则
（ ）
A． B．周期
C．在 单调递减 D．满足
8．对于定义在 上的函数 ，若 是奇函数， 是偶函数，且在 上单调递减，则
（ ）
A． B．
C． D． 在 上单调递减
9．已知函数 在 上单调递增，且 关于 对称，则（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D．任意 且 ，都有
三、填空题10．已知函数 定义域为区间 ，且图像关于点 中心对称.当 时， ，则
满足 的 的取值范围是__________.
11 ． 已 知 函 数 ， 对 于 ， 都 有 成 立 ， 且 任 取 ，
，若 ，则 的取值范围是 ___________.
12．已知函数 ，则使不等式 成立的实数t的取值范围是____.
考点四 对称性的应用
一、单选题
1．已知函数 的图象关于直线 对称，且在(－∞， ]上单调递增， ， ，
，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．定义在 上的函数 在区间 上是增函数，且函数 的图像关于直线 对称，
则（ ）
A． B． C． D．
3．给出定义：设 是函数 的导函数， 是函数 的导函数.若方程 有实数
解 ， 则 称 为 函 数 的 “ 拐 点 ” . 经 研 究 发 现 所 有 的 三 次 函 数
都有“拐点”，且该“拐点”也是函数 的图象的对称中心.若函数
，则 （ ）
A． B． C． D．4．已知函数 的定义域为 ，且 的图象关于点 成中心对称.当 时， ，
则 （ ）
A．1 B．3 C． D．
5．已知 是定义在R上的奇函数，且 ，函数 .若 的图象关于 对
称，则 （ ）
A．1 B． C． D．
6．定义在 上的函数 的图象关于直线 对称，且当 时， ，有（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 ，若 图象上存在关于原点对称的点，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知函数 的定义域为 的导函数 的图象关于 中心对称，且函数 在
上单调递增，若 且 ，则（ ）
A． B． C． D．9．若函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 的图象关于点 成中心对称，当
时， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数 的值域为
C．直线y＝1与函数 的图象在区间 上有4个交点
D．
三、填空题
10．若函数 的图像关于直线 对称，且 共有3个零点，则所有零点之和为______．
