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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(8)
(函数奇偶性的判定与周期性、对称性)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知函数 是R上的偶函数，当 时 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】由 ，当 时 ，
可得 .
故选：B
2.已知函数 是R上的偶函数，且满足 ，当 时， ，则
（ ）
A. 1 B. -1 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】由题可知 是以4为周期的周期函数，
，
，
.
故选：A．
3.（2023秋·江苏淮安·高三期初统考）“ ”是“函数 是奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】当 时， ，定义域为 ，即 ，故 或 ，
定义域关于原点对称，且 ，故 为奇函数，故 “ ”是“函数 是奇函数”的充分条件；
又当 为奇函数时有 ，即
， ，则 .
当 时函数 是奇函数，当 时 无意义，故 .
即“ ”是“函数 是奇函数”的必要条件.
故“ ”是“函数 是奇函数”的充要条件.
故选：C
4.已知 分别是定义在 上的偶函数和奇函数， ，则 （
）
A．27 B．
C． D．8
【答案】B
【解析】由题意，函数 分别是在 上的偶函数和奇函数，且 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，即 ，
联立方程组，可得 ，所以 ．
故选:B．
5.函数 的部分图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 是偶函数，
所以 的图象关于y轴对称，排除A，C；
因为 ，排除D.
故选：B.
6.设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时，
.若 ，则（ ）
A. B.
C. 为偶函数 D. 的图象关于 对称
【答案】C
【解析】 为奇函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
又 为偶函数， ，
令 ，则 ；用 替换 ，则 ，
，用 替换 ，则 ，
，则 的一个周期为4，
由 ，解得 ，故A错误；
，故B错误；
由 ，得 ，得 为偶函数，故C正确；时， ， ， 不关于 对称，故D错误，
故选：C.
7.（2023秋·湖南长沙·高三长沙第一中学月考）已知函数 是定义在 上的奇函数，且
，有 成立，若 ，则关于 的不等式 的解集是（
）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】 ，有 成立，可知 在 上单调递减，
又因为 在 上是奇函数，所以 在 上单调递减，
由 可得 ，故 ，得 ，
即 ，得 ，所以 .
故选：B.
8.（2023秋·江苏南通海安·高三海安市实验中学月考）已知函数 ，其中 是自然对
数的底数，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】令 ， ，所以
为 奇 函 数 ， 不 等 式 ， 等 价 于 ， 即
，因为 为奇函数，所以 ，因为 均为减函数，根
据单调性的性质可知， 为减函数，则 ，解得：
故选：B
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9.函数 是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若 在 上有最小值 ，则 在 上有最大值 1
C．若 在 上为增函数，则 在 上为减函数
D．若 时， ，则 时，
【答案】ABD
【解析】由 得 ，A正确；
当 时， ，则 时， ， ，最大值为1，B正确；
若 在 上为增函数，则 在 上为增函数，C错；
若 时， ，则 时， ，
，D正确．
故选：ABD．
10.已知函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，则（ ）
A. 的图象关于直线 对称 B. 的图象关于点 对称
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称
【答案】AD
【解析】因为 为奇函数，所以 ，所以函数 关于点 对称，
又 为偶函数，所以 ，所以函数 关于直线 对称.
故选：AD.
11.（2023秋·江苏南通·高三期初统考）已知函数 为R上的奇函数， 为偶函数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】因为 为R上的奇函数，所以 ；
因为 为偶函数，所以 ，故B正确；由 可得 ，所以 ；
因为 ，其结果不一定为零，故A不正确；
由 得 ，所以 ，故C正确；
由 得 ，所以周期为4，
所以 ，因为 从题目无法得出，故D不正确；
故选：BC.
12.已知函数 的定义域为 ，函数 的图象关于点 对称，且满足 ，则
下列结论正确的是（ ）
A. 函数 是奇函数
B. 函数 的图象关于 轴对称
C. 函数 是最小正周期为2的周期函数
.
D 若函数 满足 ，则
【答案】ABD
【解析】因为函数 的图象关于点 对称，所以 ，所以函数 是奇函
数，故A正确；
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 为偶函数.故B正
确；
因为 ，所以 是最小正周期为4的周期函数，故C错误；
因 为 ， 所 以 ， 那 么
，
所以 也是周期为4的函数，
，因为 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知函数 满足：① 为偶函数；② 的图象过点 ；③对任意的非零实数 ， ，
.请写出一个满足上述条件的函数 ______.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为函数 满足：① 为偶函数；② 的图象过点 ；③对任意的非零实数 ，
，
所以 满足三个条件.
故答案为： （答案不唯一）.
14.若函数 是奇函数，则实数a＝______．
【答案】 ##
【解析】函数的定义域为 ， ，
，
若函数是奇函数，则 ，
即 ，得 .
故答案为：15.已知函数 ，对任意 ，都有 （ 为常数），且当 时，
，则 ________
【答案】
【解析】因为对任意 ，都有 为常数，可得 ，
从而 ，即 的周期为4，所以 ，
又因为当 时， ，则 ，即
故答案为： .
16.（2023秋·湖南长沙·高三雅礼中学月考）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，
是奇函数，则 的最小值为_____________．
【答案】
【解析】因为函数 为偶函数，则 ，
即 ，①
又因为函数 为奇函数，则 ，
即 ，②
联立①②可得 ，
由基本不等式可得 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故函数 的最小值为 ．
故答案为：
