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第19课 三角函数的图形与性质（分层专项精练）
【一层练基础】
一、单选题
1．（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）函数 的部分图
象大致形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的奇偶性、对称性以及函数值的对应性，利用排除法即可得出结果.
【详解】因为 的定义域为R.定义域关于原点对称，
，
所以 是偶函数，图象关于 轴对称，故排除选项B、D，
当 时，令 可得 或 ，
所以 时，两个相邻的零点为 和 ，当 时， ， ，
，故排除选项A，
故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）函数 的图像大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由定义得到 的奇偶性，排除BC，代入特殊点，排除D，得到正确答案.
【详解】 的定义域为R，且 ，
故 为偶函数，排除BC；
又 ，故A正确，D错误.
故选：A
3．（2023·全国·高三专题练习）定义在 上的函数 满足在区间 内恰
有两个零点和一个极值点，则下列说法正确的是（ ）
A． 的最小正周期为
B．将 的图象向右平移 个单位长度后关于原点对称
C． 图象的一个对称中心为
D． 在区间 上单调递增
【答案】D【分析】根据题意可求出 的值，从而可得到 的解析式，再根据解析式逐项分析即可．
【详解】依题可知 ，于是 ，于是 ，
∴ ，∴ ，∴ ，
对于A，由 ，则 的最小正周期为 ，故A错误；
对于B，将 的图象向右平移 个单位长度后得 ，
则 ，所以 不关于原点对称，故B错误；
对于C，由 ，所以 不是 图象的一个对称中心，故C错误；
对于D，由 ，则 ，所以 在区间 上单调递增，故D正确．
故选：D．
4．（2023秋·北京·高三校考开学考试）函数 是（ ）
A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】C
【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得
，由三角函数值域即可得 ，即可得出结果.
【详解】由题可知， 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
而 ，即函数 为偶函数；所以 ，又 ，
即 ，可得函数 最小值为0，无最大值.
故选：C
二、多选题
5．（2023秋·湖北恩施·高三校联考期末）将函数 的图象向右平移 个单位长度得到
的图象，则（ ）
A． 在 上是减函数 B．
C． 是奇函数 D． 在 上有4个零点
【答案】ACD
【分析】A选项，代入检验，得到 在 上单调递减，A正确；
B选项，计算出 ， ，两者不一定相等，
C选项，根据函数平移变换求出 ，故C正确；
D选项，令 ，得到 ，求出 上， 或 或 或 ，共
4个零点，D正确.
【详解】 时， ，由于 在 上单调递减，故 在
上单调递减，A正确；
， ，因为 ，
由于 与 不一定相等，
故 与 不一定相等，B错误；
，故 是奇函数，C正确；
令 ，解得： ，
，则 ，则 或 或 或 ，
解得： 或 或 或 ，共4个零点，D正确.
故选：ACD
6．（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球
的大小），它在 时刻相对于平衡位置的高度 可以田 确定，则下列说法正确的是
（ ）
A．小球运动的最高点与最低点的距离为
B．小球经过 往复运动一次
C． 时小球是自下往上运动
D．当 时，小球到达最低点
【答案】BD
【分析】根据正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】小球运动的最高点与最低点的距离为 ，所以选项A错误；
因为 ，所以小球经过 往复运动一次，因此选项B正确；
当 时， ，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项C错误；
当 时， ，所以选项D正确，
故选：BD
7．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 的图像关于点 中心对称，则
（ ）
A． 在区间 单调递减
B． 在区间 有两个极值点
C．直线 是曲线 的对称轴
D．直线 是曲线 的切线
【答案】AD
【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．
【详解】由题意得： ，所以 ， ，
即 ，
又 ，所以 时， ，故 ．对A，当 时， ，由正弦函数 图象知 在 上是单调递减；
对B，当 时， ，由正弦函数 图象知 只有1个极值点，由
，解得 ，即 为函数的唯一极值点；
对C，当 时， ， ，直线 不是对称轴；
对D，由 得： ，
解得 或 ,
从而得： 或 ,
所以函数 在点 处的切线斜率为 ，
切线方程为： 即 ．
故选：AD．
三、填空题
8．（2021·全国·高三专题练习）已知函数 在 上单调函数，则
的最大值是 .
【答案】4
【分析】化简函数得到 ，然后由余弦函数的单调性求得 的范围，得最大值．
【详解】由题可得 ，
由 ，得 ，令 ，得 ，
故 在 单调，于是 ，得 ，
所以 的最大值是4，
故答案为：4．
9．（2022·全国·高三专题练习）函数 ，当y取最大值时，x的取值集合是
．
【答案】 ．
【分析】把 作为一个整体，结合二次函数性质求解．
【详解】 ，又 ，
所以 时， ，此时 ．
故答案为： ．
四、解答题
10．（2023·上海奉贤·统考一模）已知 为奇函数，其中 .
(1)求函数 的最小正周期和 的表达式；
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据 列关于 的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根据 ，求出 ，与 然后再求解.【详解】（1）因为 为奇函数，
所以 ，
化简得到求出
，所以
，最小正周期是 ；
（2）若
所以
【二层练综合】
一、单选题
1．（2020·全国·统考高考真题）设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周
期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是函数图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ，再利用三角函数周期公式即
可得解.
【详解】由图可得：函数图象过点 ，
将它代入函数 可得：
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得：
所以函数 的最小正周期为
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.
二、多选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则下列结论正确的有（ ）
A． 为函数 的一个周期 B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上为减函数 D．函数 的值域为
【答案】ABD
【分析】计算 可判断A;计算 可判断B;将 化简为
，结合正弦函数的性质可判断C,D.
【详解】因为 ，
所以 为函数 的一个周期，故A正确；因为 ，
所以函数 的图象关于直线 对称，故B正确；
因为 ，
因为 ，所以 ，故 ，
由于 ，故 在 上为增函数，故C错误；
由C的分析可知 在 上为增函数，所以 ，
故D正确，
故选：ABD．
三、填空题
3．（2023春·河北衡水·高一校考开学考试）直线 与函数 的图像的相邻两
个交点的距离为 ．若 在 上单调递增，则m的最大值为 ．
【答案】1
【分析】利用三角函数的图像的周期性质，求出 ，得到 ，进而求出 的范围，进而可
求出 的范围.
【详解】因为直线 与函数 的图像的相邻两个交点的距离为一个周期，∴ ，∴ ，∴
．由 ，得 ，∴ 在
上单调递增，故 ，解得 ，又 ，∴m的最大值为1．
故答案为：1四、解答题
4．（2023春·江西宜春·高二江西省丰城中学校考阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为
a，b，c，且 ．求：
(1) ；
(2) 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；
（2）由正弦定理及正弦的两角差将问题转化为求 的范围，再利用2倍角公式化为
即可求解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ,
因为 ，
，
因为 .
（2）由正弦定理，，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 的取值范围是 .
【三层练能力】
一、多选题
1．（2023·湖南·湖南师大附中校联考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则（ ）
A．
B． 在区间 上单调递增
C．将函数 图象上各点横坐标变为原来的 （纵坐标不变），再将所得图象向右平移 个单位
长度，可得函数 的图象
D．函数 的零点个数为7
【答案】ABD【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作答求出函数 的解析式，再分析判断ABC；换元并构造函
数，利用导数结合图形判断D作答.
【详解】观察图象知，函数 的周期 ，则 ，而 ，
即有 ，由 知， ，因此 ，A正确；
显然 ，当 时， ，因此 单调递增，B正确；
将 图象上各点横坐标变为原来的 得 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，得
，
而 ，C错误；
由 ，得 ，令 ，则 ，
令 ，显然当 时， ，即恒有 ，函数 在 上无零点，
当 时， ，令 ， ，
函数 在 上都递减，即有 在 上递减， ，
，因此存在 ， ，
当 时， ，当 时， ，有 在 上递增，在 递减，
， ，
于是存在 ， ，当 时， ，当 时， ，
则函数 在 上递减，在 递增， ， ，
从而函数 在 上存在唯一零点，而函数 周期为 ， 在 上单调递增，如图，， ， ，
从而函数 在 上各有一个零点，又0是 的零点，即函数 在定义域上共有7
个零点，
所以函数 的零点个数为7，D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出f(x)=0的解；(2)图象法：作出函数f(x)
的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它
们的公共点个数.
二、填空题
2．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知函数 ，若关于 的方
程 在 上有三个不同的实根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合函数 的奇偶性，化简后画出函数在 上的图象，数形结合求出实数 的取值范
围.
【详解】当 时， ，故 为偶函数，当 时，
，画出 在 上的图象如图所示，要想保证方程 在 上有三个不同的实根，则 ，
故答案为：
