“8+4+4”小题强化训练18(导数与函数的极值、最值)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(18)
(导数与函数的极值、最值)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023·海南）设函数 ，则 的极大值点和极小值点分别为（ ）
A． ，4 B．4， C． ，2 D．2，
【答案】C
【解析】 ，
令 ，得 ，
当 ， ，函数 单调递增，当 ， ，函数 单调递减，
当 ， ，函数 单调递减，当 ，函数 单调递增，
所以函数的极大值点是 ，函数的极小值点是 .
故选：C
2.当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，
所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在
上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
3.（2023秋·湖南长沙·高三长沙市第一中学月考）已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下
列说法正确的是（ ）A. 函数 有最小值
B. 函数 有最大值
C. 函数 有且仅有三个零点
D. 函数 有且仅有两个极值点
【答案】A
【解析】由函数图象可知 、 的变化情况如下表所示：
由上表可知 在 和 上分别单调递减，在 和 上分别单调递增，
函数 的极小值分别为 、 ，其极大值为 .
对于A选项：由以上分析可知 ，即函数 有最小值，故A选项正
确；
对于B选项：由图可知当 ，有 ，即 增加得越来越快，
因此当 ，有 ，所以函数 没有最大值，故B选项错误；
对于C选项：若有 ，则由零点存在定理可知函数 有四个零点，故C选项错误；
对于D选项：由上表及以上分析可知函数 共有3个极值点，故D选项错误.
故选：A.
4.关于函数 ，说法正确的是（ ）
A．无最小值，有最大值，有极大值 B．有最小值，极小值，无最大值C．有最小值，有最大值，有极大值，也有极小值 D．无最小值，无最大值，但有极小值
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ， ，所以当 时 ，当 或
时 ，所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，所以 在 处
取得极小值，当 时， ，且当 时 ，且当 时 ，当 时，且
当 时， ，且当 时， ，所以 无最大值，最小值，有极小值，无极
大值．
故选：D．
5.已知函数 既存在极大值，又存在极小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，∵函数 既存在极大
值，又存在极小值，∴导函数 有两个不相等的变号零点，∴ ，即
，解得 或 ，∴实数 的取值范围是 ．
故选B．
6.（2023 秋·江苏淮阴·高三淮阴中学等四校联考）设 ， ， 对于 ，有
，则 是 的（ ）
A. 极大值点 B. 极小值点 C. 非极大极小值点 D. ABC选项均可能
【答案】D
【解析】由 ，
可设 ，则 ，易知：f(x)在定义域内连续且为偶函数，
当 时， ，则 ，此时 为 的极大值点；
可设 ，则 ，易知：f(x)在定义域内连续且为偶函数，
当 时， ，则 ，此时 为 的极小值点；当 ，则 ，满足 ，此时 为 的非极大极小值点.
故选：D.
7.（2023秋·江苏南通如皋·高三统考改编）已知函数 ，其中 为实数，若 ，
则实数 的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. -2 D. 3
【答案】B.
【解析】依题意， ， ，
即 ， .
令 ， ，故 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以当 时， .
所以 ，得 ，
的
所以实数 最小值为2.
故选：B.
8.（2023秋·山东潍坊·高三统考）已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数
a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当 时， 单调递减，
故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求，
当 或 时， ，令 得 或 ，
当 时， 恒成立，
故表格如下：
0 + 0
极小值 极大值
故 在 上取得极小值，
且 ， ，
的
要想 在区间 上 最小值为 ，
则要 ，变形得到 ，
令 ， ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
且 ， ，
故 的解集为 ，
时，令 可得 ，
当 时， ，
令 得 ，故 在 上单调递减，
故 在 处取得最小值，最小值为 ，满足要求，
当 时， 恒成立，
故表格如下：
+ 0 0 +
极大值 极小值
故 在 上取得极小值，
且 ， ，
要想 在区间 上的最小值为 ，
则要 ，变形得到 ，
令 ， ，
时， ， 单调递增，
又 ，故 上， 无解，
综上：实数a的取值范围是 .
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处的切线方程为 B．单调递减区间为C． 的极小值为 D．方程 有两个不同的解
【答案】AB
【解析】对于A，由 ，得 ，所以 ， ，所以 在
处的切线方程为 ，故A正确；
对于B，由 ，得 ，解得 ，所以 的单调递减区间为 ，故B正确；
对于C，由 ，得 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单
调递增，在 上单调递减，所以当 时， 取得极大值 ，故C错误；
对于D，由C选项可知 的最大值为 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数 与 的图像的交点个数为 ，即 有 个解，故D错误．
故选AB．
b c
f xalnx  a0
10.（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小值，则
x x2
（ ）．
bc0 ab0 b28ac0 ac0
A． B． C． D．
【答案】BCD
b c a b 2c ax2bx2c
【解析】函数 f(x)alnx  的定义域为 ，求导得 f(x)    ，
x x2 (0,) x x2 x3 x3
f(x) f(x) (0,) a0
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程ax2bx2c0有两个不等的正根x,x ，
1 2

Δb28ac0

 b
x x  0
于是 1 2 a ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.

 2c
xx  0
  1 2 a b28ac0 ab0 ac0 a2bc0 bc0
故选：BCD
11.材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初
等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数 ，我们可以作变形：
，所以 可看作是由函数 和 复合而成的，即 为
初等函数.根据以上材料，对于初等函数 的说法正确的是（ ）
A．无极小值 B．有极小值 C．无极大值 D．有极大值
【答案】AD
【解析】根据材料知： ，
所以 ，
令 得 ，当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以 有极大值且为 ，无极小值,
故选：AD.
12.对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值
B．若 在 上恒成立，则
C．
D． 有且只有 个零点
【答案】ACD
【解析】函数 ，则 ，令 ，即 ，解得 ．
当 时， ，故函数在 上为单调递增函数，当 时， ，故函数在
上为单调递减函数，故函数在 处取得极大值 ，故选项A正确；
因为 在 上恒成立，则 在 上恒成立，令 ，故
，因为 ，令 ，解得 ．
当 时， ，则 单调递增，当 时， ，则 单调递减，所以当时， ，则 ，故选项B错误；
因为当 时， ，故函数 在 上为单调递减函数，所以 ，
因为 ，所以 ，故选项C正确；
令函数 ，则 ，解得 ，所以函数 只有一个零点，故选项D正确．
故选ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知函数 ，则 的极小值为______．
【答案】
【解析】函数的定义域为 ， ．
令 ，即 ，得 ，令 ，即 ，得 ．故函数
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，故当 时，函数 取得极小值，极小值为
．
故答案为 ．
14.已知函数 有两个极值点，则实数a的取值范围是______．
【答案】
【解析】函数 的定义域为 ，导函数 ，由已知 有
两个不相等的正实数根，所以 有两个不相等正实数根，令 ，则 ，
由 ，得 ，当 时， ，函数 在 上单调递增；当
时， ，函数 在 上单调递减．又 ， ，当 时， ，当
时， ，当 时， ．
由以上信息，得函数 的图象大致如下：所以a的取值范围是 ．
故答案为： ．
15.（2023秋·江苏常州·高三前黄高级中学月考）对于两个函数 与
，若这两个函数值相等时对应的自变量分别为 ， ，则 的最小值为
______．
【答案】
【解析】设 ，则 ， ，
由 ，得 ，则 ， ，
设函数 ， ，
则 ， 在 上为增函数，且 ，
所以当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.
故 .
故答案为：
16.（2023秋·江苏苏州·高三南京师范大学苏州实验学校月考）已知不等式 对
恒成立，则实数a的最小值为______．
【答案】【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，
构造函数 ，
所以
，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
当 时， 与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当 时， 单调递减，
故 ，
两边取对数得：
，
令 ，则 ，
令 得： ，令 得： ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，所以
故a的最小值是 ．
故答案为：