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专题04 利用导数求函数的极值
专项突破一 函数极值(点)的辨析
一、单选题
1．已知函数 ，则（ ）
A． 有极小值，无极大值 B． 有极大值，无极小值
C． 既有极小值又有极大值 D． 无极小值也无极大值
【解析】由题意函数 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
所以当 时，函数取得极大值；当 时，函数取得极小值.故选：C.
2．“ ”是“函数 在 处有极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】若函数 在 处有极值，不一定有 ，如 ，在 处无导数，但 是
极小值点；反之，若 ，函数 在 处不一定有极值，如 在 处满足 ，
但 在 处无极值．所以“ ”是“函数 在 处有极值”的既不充分也不必要条件．
故选：D．
3．关于函数的极值，下列说法正确的是（ ）
A．导数为零的点一定是函数的极值点
B．函数的极小值一定小于它的极大值
C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数【解析】对于A选项，取 ，则 ， ，当 时， ，
故 不是函数 的极值点，故A不正确；
极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；
一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；
若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，D正确.
故选：D.
4．函数 的极值点的个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
【解析】由题， ，故 无极值点，故选：A
二、多选题
5．设函数 的定义域为 ， 是 的极小值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． 是 的最小值点 B． 是 的极大值点
C． 是 的极大值点 D． 是 的极大值点
【解析】对A， 是 的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；
对B，因函数 与函数 的图象关于x轴对称，故 应是 的极大值点，故B正确；
对C，因函数 与函数 的图象关于y轴对称，故 应是 的极小值点，故C错误；
对D，因函数 与函数 的图象关于原点对称，故 是 的极大值点，故D正确.
故选：BD.
6．设 ，函数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时，函数 没有极大值，有极小值
B．当 时，函数 既有极大值也有极小值C．当 时，函数 有极大值，没有极小值
D．当 时，函数 没有极值
【解析】 ，
令 ，则
选项A：当 时， ，则 单调递增
， ，
则可令
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 没有极大值，有极小值.判断正确；
选项B：当 时， ，则 单调递增
， ，
则可令
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 没有极大值，有极小值.判断错误；
选项C：当 时， ，则 单调递增又 ，
则当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
则函数 没有极大值，有极小值.判断错误；
选项D：当 时，
由 ，可得 ，由 ，可得
则 在 单调递减，在 单调递增
则当 时，函数 取极小值
故 在 恒成立，
即 在 恒成立，则 单调递增，
故函数 没有极值.判断正确.
故选：AD
7．下列说法正确的是（ ）
A．极值点处的导数值为
B．极大值一定比极小值大
C．可导函数在闭区间内的最大值必在极值点或区间端点处取得
D．如果函数 的定义域为 ，且 在 上递减，在 上递增，则 的最小值为
【解析】对于A，函数的极值点处未必可导，如 是 的极值点，但 在 处不可导，A错
误；
对于B，函数的极大值和极小值可能有无数个，是由函数的单调性得到的，大小关系不确定，B错误；对于C，可导函数在闭区间内连续，其最值必在极值点或区间端点处取得，则最大值也必在极值点或区间
端点处，C正确；
对于D，由单调性可知，函数 在区间 内有唯一的极小值点 ，且根据单调性可知其为最小值
点，即最小值为 ，D正确.
故选：CD.
8．对于定义在R上的可导函数 ， 为其导函数，下列说法不正确的是（ ）
A．使 的 一定是函数的极值点
B． 在R上单调递增是 在R上恒成立的充要条件
C．若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若 在R上存在极值，则它在R一定不单调
【解析】A选项， 的 不一定是函数的极值点，比如 在 处导函数的值为0，但
不是 的极值点，A说法错误；
在R上单调递增，可能会在某点导函数等于0，比如 为单调递增函数， 在 处
导函数值为0，故 在R上单调递增不是 在R上恒成立的充要条件，B说法错误；
若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值可能会比它的极大值大，比如 ，在 处取
得极大值-2，在 处取得极小值2，极小值大于极大值，故C说法错误；
根据极值点和极值的定义可以判断，若 在R上存在极值，则它在R一定不单调，D说法正确.
故选：ABC
三、填空题
9．函数 的极小值点为______．
【解析】因为函数 ，所以 ，得 ，令 可得函数 增区间为 ， 可得函数 的减区间为 ，所以 在 处取得极小值为
，所以函数 的极小值点为2.
专项突破二 求已知函数的极值(极值点)
一、单选题
1．函数 有（ ）
A．极大值为5，无极小值 B．极小值为 ，无极大值
C．极大值为5，极小值为 D．极大值为5，极小值为
【解析】 ,
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 时，取得极大值 ，无极小值.故选：A
2．已知函数 ，则 的极大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】函数 的定义域为 ，
,
令 ，解得 或 ，故
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以 的极大值为 ，故选：B.
3．已知函数 ，则（ ）A．函数 的极大值为 ，无极小值 B．函数 的极小值为 ，无极大值
C．函数 的极大值点为 ，无极小值点 D．函数 的极小值点为 ，无极大值点
【解析】 的定义域为 ， ，
所以 在区间 递增；在区间 递减.
所以 是 的极大值，无极小值.极大值点为 ，无极小值点.故选：A
4．函数 的极值点为（ ）
A．0，1， B． C． D． ，
【解析】由已知，得 的定义域为 ，且 ，
令 ，得 舍去 ．
当 时， ；当 时， ，
∴当 时， 取得极小值，故 的极小值点为 ，无极大值点，故选：B．
5．设函数 ，若 和 是函数 的两个零点， 和 是 的两个极值点，则 等
于（ ）
A． B． C． D．
【解析】 ，若 和 是函数 的两个零点，即 和 是方程 的
两根，所以 得到 ， ， ，由已知得 和 是 的两根，所以 ，故选：C.
6．已知 是函数 的一个极值点，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】 ，
∴ ，∴ ，∴ 故选：D
7．函数 在区间 上的极小值点是（ ）
A．0 B． C． D．
【解析】由题设 ，所以在 上 ， 递减，
在 上 ， 递增，所以极小值点为 .故选：B
8．已知曲线 在点 处的切线斜率为3，且 是 的极值点，则函数的
另一个极值点为（ ）
A． B．1 C． D．2
【解析】 ，由题意有 ，解得 ，所以
，令 ，解得 或 ，所以函数的另一个极值点为 ．
故选：A．
9．若 是函数 的一个极值点，则 的极大值为（ ）
A． B． C．5 D．1【解析】因为 ，所以 ，
所以 ， .
令 ，解得 或 ，
所以当 单调递增；当 时， 单调递减；
当 单调递增，
所以 的极大值为 .故选：C.
10．设 为函数 的导函数，已知 ，则（ ）
A． 在 单调递增 B． 在 单调递减
C． 在 上有极大值 D． 在 上有极小值
【解析】由题意知： ， ，令 ，则 ，显然当
时， ， 单减，
当 时， ， 单增，故A，B错误； 在 上有极小值 ，令
，则 ，
又 ，则 ，故 在 上有极小值 ，C错误；D正确.
故选：D.
二、填空题
11．若 的两个极值点为 ，则 _______．
【解析】由 可得 ，
令 解得 或 ，令 解得 ，
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增，所以函数的极值点为 和 ，则 .故答案为：0
三、解答题
12．已知函数 ．
(1)求曲线y = f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
(2)求函数f（x）的单调区间与极值；
【解析】(1)因为 ，所以 ，
因此曲线y = f（x）在点（1， ）处的切线的斜率为1；
(2)令 ，解得：x = 0或2．
x 0 2
－ 0 + 0 －
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以 f（x）在 ， 内是减函数，在 内是增函数．
因此函数f（x）在x = 0处取得极小值f（0），且f（0）= 0，函数f（x）在x = 2处取得极大值，且f（2）
= ；
综上： 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ， ，极小值为0，极大值为 .
13．已知函数 ．
(1)求函数 在点 处的切线方程；
(2)当 时，求函数 的极值．
【解析】(1)因为 ，
，所以函数 在点 处的切线方程为 .
(2)函数的定义域为 ，令 ，得 .解得 或 .
当 时， ， 随 变化的情况如下：
0
0 0
极小
单调递增 极大值 单调递减 单调递增
值
可知 的单调减区间是 ，增区间是 和 ，
极大值为 ，极小值为 .
14．已知函数 ，当 且 时，求函数 的极值.
【解析】由题意得 ，
令 ，解得 或 ，由 知， ，
下面分两种情况讨论：
①若 ，则－2a＜a－2，当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x －2a a－2
＋ 0 － 0 ＋
极小
极大值
值
∴ 在 ， 上是增函数，在 上是减函数，
∴函数 在x＝－2a处取得极大值 ，且 ，
函数 在x＝a－2处取得极小值 ，且 .②若 ，则－2a＞a－2，当x变化时， ， 的变化情况如下表：
x a－2 －2a
＋ 0 － 0 ＋
极小
极大值
值
∴ 在 ， 上是增函数，在 上是减函数，
∴函数 在x＝a－2处取得极大值 ，且 ，
函数 在x＝－2a处取得极小值 ，且 .
综上，当 时， 的极大值为 ，极小值为 ；
当 时， 的极大值为 ，极小值为 .
15．已知函数 ．
(1)若函数 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；
(2)求函数 的极值．
【解析】(1)由题设 ，又曲线 在 处的切线平行于 轴，
所以 ，解得 ．
(2)①当 时 ， 在 上为增函数，所以 无极值．
②当 时，令 ，得： ，可得 ．
所以 上 ； 上 ．
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值 ，无极大值．综上，当 时 无极值；当 时 在 处取得极小值 ，无极大值．
16．已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)设函数 ，求 的极值.
【解析】(1)由已知 ，所以 ，
令 ，可得 ， ，可得 ，
所以当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(2)由已知 ，
所以 ， ，当 时， 恒成立，
所以 在定义域内单调递增，没有极值.
当 时，令 ，得 ，
所以 ， ； ， ，
即 在区间 单调递减，在 单调递增，
当 时，取到极小值 ，没有极大值，
综上，当 时， 在定义域单调递增，没有极值；
当 时， 的极小值为 ，没有极大值.17．设函数 ，其中 ．
(1)若曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，求 的值；
(2)求 的极值．
【解析】(1) ，
因为曲线 在点 处切线的倾斜角为 ，
所以 ，解得 .所以， .
(2)函数的定义域为 ，
因为 ，
故令 得 或
所以，当 时， ，此时 ， ， 的变化情况如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，当 时，有极大值 ，当 时，有极小值 .
当 时， ，此时， 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，函数无极值.
当 时， ，此时 ， ， 的变化情况如下表：单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以，当 时，有极小值 ，当 时，有极大值 .
综上，当 时，极大值 ，极小值 ；
当 时，函数无极值；
当 时，极小值 ，极大值 .
18．已知函数 ，曲线 在 处的切线也与曲线 相切．
(1)求实数 的值；
(2)求 在 内的极小值．
【解析】(1) ， ，又 ，
所以 在 处的切线方程为 ，
因为其也与曲线 相切，则联立 ，得 ，
由 及 ，解得 ．
(2)由（1）得 ， ，
令 ，则 在 上递增，又 ， ．
∴存在 ，使得 ，即 ，
当 时， ， 递减：当 时， ， 递增，∵ ， ，
∴当 时， ，即 ．又 ，当 时， ，
是 在 内的极小值点．∵当 时， 递减，即 递减，
在 内没有极小值点． 在 的极小值是 ．
专项突破三 函数(导函数)与极值(点)的关系
一、单选题
1．已知定义在 上的函数 ，其导函数 的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
① ；
②函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值；
③函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值；
④函数 的最小值为 .
A．③ B．①② C．③④ D．④
【解析】由 的图像可得，当 时， 单调递增；当 时， 单调递
减；当 时， 单调递增．
对于①，由题意可得 ，所以①不正确．
对于②，由题意得函数 在 处取得极大值，在 处取得极小值，故②不正确．
对于③，由②的解析可得正确．
对于④，由题意可得 不是最小值，故④不正确．
综上可得③正确．故选：A．2．函数 的定义域为开区间 ，导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在开区间
内有极小值点（ ）
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【解析】由导函数 在区间 内的图象可知，
函数 在 内的图象与 轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数 在开区间 内的极小值点有 个，故选：A.
3．已知函数 的导函数的图象如图所示，则 极值点的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、
右的导数值异号，
由图象可知，导函数与 轴有5个交点，因为在0附近的左侧 ，右侧 ，所以0不是
极值点．其余四个点的左、右的导数值异号，所以是极值点，
故 极值点的个数是4.故选：A.4．已知函数 的图象如图所示，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【解析】由函数 的图象知： 和 是 的根，
即 ，解得 ，
所以 ，可得 ，
又由结合图象可得 是函数 的极值点，
即 是 的两个根，即 是 的两个实数根，所以 .故选：C.
5．如图所示，已知直线 与曲线 相切于两点，函数 ，则对函数
描述正确的是（ ）
A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点
C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点
【解析】由题设， ，则 ，
又直线 与曲线 相切于两点且横坐标为 且 ，所以 的两个零点为 ，由图知：存在 使 ，
综上， 有三个不同零点 ，
由图： 上 ， 上 ， 上 ， 上 ，
所以 在 上递减， 上递增， 上递减， 上递增.
故 至少有两个极小值点和一个极大值点.故选：C.
6．如图，可导函数 在点 处的切线方程为 ，设 ， 为
的导函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． ， 是 的极大值点
B． ， 是 的极小值点
C． ， 不是 的极大值点
D． ， 是 的极值点
【解析】由题得， 的几何意义为当x取同值时， 到 的距离．
根据题意，当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
又 ，则有 是 的极小值点，故选:B．
二、多选题
7．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列判断正确的（ ）A． 在 时取极小值 B． 在 时取极大值
C． 是 极小值点 D． 是 极小值点
【解析】由导函数 的图像可得，
当 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以 在 时取极小值，所以A正确，
当 时，其左边的导数小于零，右边的导数大于零，所以 是 极小值点，所以C正确，
而 和 ，左右两边的导数值同号，所以 和 不是函数的极值点，所以BD错误，
故选：AC
8．函数 的导函数 的图像如图所示，则（ ）
A． 为 的极大值点 B． 为 的极小值点
C．2为 的极大值点 D． 为 的极小值点
【解析】由 图像可得，当 时 ，当 时 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 和 上单调递减，在 和 上单调递增，函数在 和 处取得极小值，在 处取得极大值，故选：AB
