“8+4+4”小题强化训练09(函数性质的综合应用)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(9)
(函数性质的综合应用)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【 解 析 】 A 选 项 ， 是 奇 函 数 ， 但 在 上 单 调 递 增 ， 在
上单调递减，故A错误；
B选项， 是奇函数，且在 上单调递增，故B正确；
C选项， ，定义域 是非奇非偶函数，故C错误；
D选项， 为奇函数，在 和 上单调递增，故D错误.
故选：B.
f x
2.已知定义在R上的函数 的图象连续不断，有下列四个命题：
f x
甲： 是奇函数；
f x
x1
乙： 的图象关于直线 对称；
f x 1,1
丙： 在区间 上单调递减；
f x
丁：函数 的周期为2.
如果只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
f x 1,1
【解析】由连续函数 的特征知：由于区间 的宽度为2，
f x 1,1 f x
所以 在区间 上单调递减与函数 的周期为2相互矛盾，
即丙、丁中有一个为假命题；f xf x f x1 f 1x
若甲、乙成立，即 ， ，
f x2 f x11 f 11x f xf x
则   ，
f x4 f x22f x2 f x f x
所以 ，即函数 的周期为4，
即丁为假命题.
由于只有一个假命题，则可得该命题是丁，
故选：D.
3.（2023秋·江苏苏州常熟·高三常熟中学月考）已知函数 在 上的最大值
和最小值分别为M，N，则 （ ）
A. B. 0 C. 2 D. 4
【答案】D
【解析】令 ，所以 最大值和最小值分别为 ，
又 ，故 为奇函数，
故 的图象关于原点对称，故 ,
故选：D
4.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令 ，该函数的定义域为 ， ，所以，函数 为偶函数，排除AB选项，
当 时， ，则 ，排除C选项.
故选：D.
5.已知定义域是R的函数 满足： ， ， 为偶函数， ，
则 （ ）
A. 1 B. -1 C. 2 D. -3
【答案】B
【解析】因为 为偶函数，所以 的图象关于直线 对称，所以 ，又由
， 得 ， 所 以 ， 所 以
，所以 ，故 的周期为4，所以
．
故选:B．
f x3x2 x2 4x f log a f 3
6.已知函数 ，且 2 ，则实数a的取值范围为（ ）
,28, 0,2
A． B．
0,28, 8,
C． D．
【答案】C
f 4x32x 4x2 44x3x2 x24x f x f x
【解析】∵ ，∴ 的图像关于直线
x2对称，
y 3x2 y  x2 4x ,2 2, f x ,2
∵ 和 都在 上是减函数，在 上是增函数，∴ 在 上为减函
2,
数，在 上为增函数．
f log a f 3 log a2  32 1 log a1 log a 3 0a2 a 8
又 2 ，∴ 2 ，即 2 或 2 ，解得 或 ．
故选：C．
7.（2023 秋·江苏扬州高邮·高三统考）若 是定义域为 上的单调函数，且对任意实数
都有 ，其中 是自然对数的底数，则 （ ）A. 4 B.
C. D.
【答案】B
【解析】∵ 是定义域为 上的单调函数，且 ，
∴在 上存在唯一一个实数 使得 ，
于是 .
令 ，得 ，即 .
画出 与 的图像如图所示：
由图像可知， 与 的图像在 上只有1个交点，
且 是方程 的解，
所以 ，故 .
故选:B.8.（2023秋·湖南省长沙市·高三雅礼中学月考）已知函数 的定义域为R，
，且 在 上递增，则 的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】函数 ，满足 ，则 关于直线 对称，
所以 ，即 ，
又 在 上递增，所以 在 上递减，
则可得函数 的大致图象，如下图：
所以由不等式 可得， 或 ，解得 或 ，
故不等式 的解集为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知函数 ，则（ ）
A. B. 对任意实数a，函数 为奇函数
C. 存在实数a，使得 为偶函数 D. 时， 在区间 上为单调递增函数
【答案】BCD
【解析】对于A， ，A错误；对于B， 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，故对任意实数a，函数 为奇函数，B正确；
对于C，当 时， ， ，此时 为偶函数，
故存在实数a，使得 为偶函数，C正确；
对于D， 时， ，则 ，
因为 在 上单调递减，故 在 上单调递增，D正确，
故选：BCD
10.给出下列说法，错误的有（ ）
A. 若函数 在定义域上为奇函数，则
B. 已知 的值域为 ，则a的取值范围是
C. 已知函数 满足 ，且 ，则
D. 已知函数 ，则函数 的值域为
【答案】ABD
【解析】对于A，函数 为奇函数，
所以， ，即 ，即 ，
即 ，整理可得 ，即 ，
所以， ，解得 ，
当 时， ，该函数的定义域为 ，满足 ，合乎题意，当 时， ，
由 可得 ，此时函数 的定义域为 ，满足 ，合乎题意.
综上所述， ，故A错误；
对于B，因为 的值域为 ，
则函数 的值域 满足 ，
则 ，解得 ，故B错误；
对于C，函数 满足 ，则 ，
故 的周期为 ，因为 ，则 ，故C正确；
对于D，因为 ， ，
由 ，得 ，解得 ，
即函数 的定义域为 ．则 ，
又
，
故函数 的值域为 ，故D错误：
故选：ABD.
11.（2023秋·江苏南通海安·高三海安市实验中学月考）定义在R上的奇函数 满足 ，且
当 时， ，则（ ）
A. 是周期函数 B. 在（－1，1)上单调递减
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点（2，0)对称
【答案】ACD
【解析】对于A，因为定义在R上的奇函数 满足 ，
所以 ， ，所以 ，
所以 是周期为4的周期函数，所以A正确，对于B，当 时， ，则 ，
因为 为奇函数，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以当 时， 为减函数，且当 时， ，
当 时， 为减函数，且当 时， ，所以 在（－1，1)上不是单调递
减，所以B错误，
对于C，因为 是周期为4的周期函数，所以 ，
所以 ，即 ，所以 的图象关于直线 对称，所以C正
确，
对于D，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 的图象关于点 对称，即
的图象关于点（2，0)对称，所以D正确，
故选：ACD
12.记函数 与 的定义域的交集为I．若存在 I，使得对任意 I，不等式
恒成立，则称( ， )构成“M函数对”．下列所给的两个函数能构成“M
函数对”的有（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】AC
【解析】选项 A： 在 单调递增， 在 单调递减，所以 与
在 有交点，符合新定义，
选项B：满足 ，故不成立；选项C：在区间 ；在区间 满足 ，所以存在 符合题意.
选项D， 存在两个非零的零点，故不成立．
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学月考）定义在 上的奇函数 ，当 时，
，当 时， ________．
【答案】
【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，解得 .
设 ，则 ，所以 ，
又 为奇函数，所以 ，
即当 时， .
故答案为：
14.（2023秋·江苏镇江·高三期初统考）已知函数 ，
的最大值为M，最小值为m，则 ___________.
【答案】
【解析】令 ，且 ，
，
所以 为奇函数，且在 上连续，
根据奇函数的对称性： 在 上的最大、最小值关于原点对称，
则 ，故 ．
故答案为： ．
15.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是偶函数， 恰有
四个零点，则这四个零点的和为________．
【答案】4【解析】将函数 向左平移1个单位，所以 ，
因为 是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知， 是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则 为偶函数，
所以 为偶函数，
又因为函数 恰有四个零点，即函数 恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于 轴对称，其四个零点之和为0，
而 是由 向左平移了1个单位，
所以 的四个零点之和为4.
故答案为：4
16.已知 的定义域为 且 对于任意正数 都有 ，且当
时， ，则不等式 的解集为_________．
【答案】
【解析】因为 对于任意正数 都有 ，
所以 ，即 ，
，即 ，
，即 ，
所以 是函数 的零点，
令 ，则 ，即 是函数 的零点，
因为当 时， ，
所以 时， ，
且 ，
任取 ，且 ，，
即 ，
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，
故答案为： ．