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专题12 函数的基本性质综合测试
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知 是偶函数，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】因为 为偶函数，则 ，
又因为 不恒为0，可得 ，即 ，
则 ，即 ，解得 .故选：D.
2．设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，
则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .故选：D
3．已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于
直线 对称， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】因为 的图像关于直线 对称，所以 ，因为 ，所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，
代入得 ，即 ，
所以 ， .
因为 ，所以 ，即 ，所以 .
因为 ，所以 ，又因为 ，
联立得， ，
所以 的图像关于点 中心对称，因为函数 的定义域为R，所以
因为 ，所以 .
所以 .
故选：D
4．已知定义在 的函数满足 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 不是周期函数
B． 是奇函数
C．对任意 ，恒有 为定值
D．对任意 ，有
【解析】 ，∴
，∴
∴ ，∴
∴ ，∴ 是周期为4的函数∴ ，∴ 为偶函数
在 中，令 ，有
故 是定值
当 时， 即为 ，故D不正确
故选：C
5．已知函数 满足当 时， ，且当 时， ；当 时，
且 ).若函数 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】先作出函数 在 上的部分图象，再作出 关于原点对称的图象，
如图所示，当 时，对称后的图象不可能与 在 的图象有3个交点；
当 时，要使函数 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则 ，解得 .故选：C.
6．已知定义在 上的函数 是奇函数，且满足 ， ，数列 满足 ，且
， 为 的前 项和， ，则 （ ）
A． B． C．3 D．4【解析】 函数 是奇函数 ， ，
，
是以3为周期的周期函数.
数列 满足 ，且 ， ，且 ， ，
两式相减可得 ，从而得 ， ， ，
（1） .故选： .
7．已知函数 的定义域为 ．其图象关于原点成中心对称，且当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意知 是奇函数，且 ，则当 时， .
当 时， ，可知函数 在 上单调递增，
从而 ，且 ，
构造函数 ，则 ，所以，函数 为偶函数，
且当 时， ，所以，函数 在 上为增函数，
由 得 ，即 ， ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .故选：A.
8．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，且当 时， .若 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．
【解析】因为 为偶函数，所以 ，
用 代替 得： ，因为 为奇函数，所以 ，
故 ①，
用 代替 得： ②，由①② 得： ，
所以函数 的周期 ，所以 ，即 ，
因为 ，令 得： ，故 ，
，解得： ，所以 时， ，因为 ，
令 ，得 ，其中 ，所以 ，
因为 ，令 得： ，即 ，
因为 ，所以 ，因为 ，令 得： ，
故 ， .故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知函数 的定义域为 ， ，则（ ）．
A． B．
C． 是偶函数 D． 为 的极小值点【解析】方法一：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误.
方法二：因为 ，
对于A，令 ， ，故 正确.
对于B，令 ， ，则 ，故B正确.
对于C，令 ， ，则 ，
令 ，
又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确，
对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ，
故可以设 ，则 ，
当 肘， ，则 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增，因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
显然，此时 是 的极大值，故D错误.
故选： .
10．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，
则（ ）
A． B． C． D．
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于 ，因为 为偶函数，所以 即 ①，所以
，所以 关于 对称，则 ，故C正确；
对于 ，因为 为偶函数， ， ，所以 关于 对称，由①求
导，和 ，得 ，所
以 ，所以 关于 对称，因为其定义域为R，所以 ，结合 关于
对称，从而周期 ，所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，故A错误.故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知 周期为2，关于 对称，故可设 ，则 ，显然A，D错
误，选BC.故选：BC.
[方法三]：因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.故选：BC.
11．已知函数 的定义域为 为奇函
数，则（ ）
A．函数 的图象关于 对称
B．函数 是周期函数
C．
D．【解析】因为 为奇函数，则 ，所以 ，则函数 的图象
关于 对称，故A正确；
因为 ①， ②，
则①+②得： ，即 ③，
②-①得： ，即 ④，
由③得 代入④得 ，所以 ，则 ，则
函数 是周期为 的函数，故B正确；
由于 的图象关于 对称， 是周期为 的函数，无法确定是否关于点 对称，故C不正确；
将③代入①可得 ，
所以 ， ， ， ，
， ， ，
，
累加得： ，故可得
，
所以 ，故D正确.
故选：ABD.
12．已知函数 及其导函数 的定义域均为 . ， ，当 时，， ，则（ ）
A． 的图象关于 对称 B． 为偶函数
C． D．不等式 的解集为
【解析】由 可得 ，故可知 的图象关于 对称，故A错误，
由 得 ，由 得 ，故 为偶函数，故B正
确，由 可得 ，所以 ，又 为偶函数，所以
，即 ，故C正确，
由 为偶函数且 可得 ，所以 是周期函
数，且周期为8，又当 时， ，可知 在 单调递减
故结合 的性质可画出符合条件的 的大致图象：
由性质结合图可知：当 ， 时， ，故D正确，
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若 为偶函数，则 ________．
【解析】因为 为偶函数，定义域为 ，所以 ，即 ，
则 ，故 ，
此时 ，所以 ，
又定义域为 ，故 为偶函数，所以 .
14．已知函数 ，则使得 成立的实数 的取值范围为__________.
【解析】函数 的 定义域为 ,
因为 ,所以 ,
故函数 为偶函数，当 时, , 且 在 上单调递减,
当 时, , 且 在 上单调递减,
而 , 故 在 上单调递减, 且 .
则使得 成立，需 ，所以 且 ，
所以 且 ，所以 且
解得 或 ，故答案为： .
15．设 为定义在 上的可导函数，其导函数 为偶函数，若对任意 有 ，且 ，则 __________.
【解析】导函数 为偶函数，所以 ， ， 为常数；
， ，即 ，
所以 ，即 ， ，
两式相减得： ，故函数周期为2， ， ，
， ；
； .
四、双空题
16．若 是奇函数，则 _____， ______．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性，若 ，则 的定义域为 ，不关于原点对称，
，若奇函数的 有意义，则 且 ，
且 ， 函数 为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得 ，由 得， ， ，
故答案为： ； ．
[方法二]：函数的奇偶性求参
， 函数 为奇函数 ，
， ，，
[方法三]：因为函数 为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由 可得， ，所以 ，解得： ，即函数的定义域为
，再由 可得， ．即 ，在定义域
内满足 ，符合题意．
故答案为： ； ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设函数 满足 .
(1)判定 的奇偶性并说明理由；
(2)当 为奇函数时，是否存在常数 ，使得关于 的不等式 在区
间 上的解集非空，若存在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由 得： ，所以 或-1.
当 时， ，由于 ，
所以 为偶函数；当 时， ，
由于 ，所以 为奇函数.
（2）当 为奇函数时， ，由于 ，且 及 在 上均单调递增，
所以 在 上单调递增.假设存在常数 ，
使得关于 的不等式 在区间 上解集非空，
所以 在区间 上的解集非空，
由 的单调性知 在区间 上的解集非空，
当 时，有 在区间 上的解集非空，
即 ，所以 ，无解（与 矛盾），
当 时，有 在区间 上的解集非空，
即 ，所以 ，所以 ，即 .
综上可知，存在 使原命题成立，其范围是 .
18．已知函数 对于任意 ，总有 ，且 时， .
(1)求证： 在 上是奇函数；
(2)求证： 在 上是减函数；
(3)若 ，求 在区间 上的最大值和最小值.
【解析】（1）因为函数 对于任意 ，总有 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，即 ，
所以 在 上是奇函数.
（2）在 上任取 ，则 ，又因为 ，因为 时， ，所以 ，得到 ，
所以 在 上是减函数.
（3）因为 是 上的减函数，所以 在 上也是减函数，
所以 在 上的最大值和最小值分别为 和 ，
而 ， ，所以 在 上的最大值为2，最小值为－2.
19．已知函数 ，该函数我们可以看作是函数 与 相加，利用这两个
函数的性质，我们可以探究 的函数性质．
(1)求出 的最小正周期；
(2)写出 的所有对称中心（不需要说明理由）；
(3)求使 成立的x的取值的集合．
【解析】（1） 的最小正周期为 ， 的最小正周期为 ，
因为 ，
而 ，
所以 的最小正周期为 ．
（2）由图可知， 的对称中心为 ， ．
（3）因为 ，且 恒成立，所以 ，所以 ，
所以 成立的x的取值集合为 ．
20．已知函数f（x）＝ 是定义在R上的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)证明：函数f（x）在R上单调递增；
(3)记 ，对 x∈R，不等式 恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由函数 是定义在R上的奇函数，有 ，可得a＝0，
当a＝0时，由 ， ，
，
此时 为奇函数，又由 ，
可知函数 的定义域为R，故a＝0满足题意，故实数a的值为0；
（2）证明：由（1）有 ，①若 ，令
则 ，
因为 ，所以 ，
则 ，即 ，所以 在 上递增，
又 在 上递增，由复合函数的单调性得函数 在 上单调递增，
②若 ，由函数 为奇函数，得
，即③若 ，则由①②得
综上，对于 ，总有 ，因此函数 在R上单调递增；
（3）由 ，
可得函数 为奇函数．又由函数 和 在R上单调递增，可得函数 在R上单调递增，
不等式 可化为不等式 ，
可化为 ，有 ，
可知对 ，不等式 恒成立，等价于对 ， 恒成立，
①当 时， ， ，不等式 显然成立；
②当 时，
Ⅰ．若x＝－1， ， ，不等式 显然成立，
Ⅱ．若 ，不等式 可化为 ，又由
（当且仅当x＝1时取等号），
故有 ；
Ⅲ．若 ，不等式 可化为 ，
又由
（当且仅当x＝－3时取等号），
故有 ，
由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ可得 ，由①②可知，实数m的取值范围为 ．
21．设函数 是定义在 上的函数，若存在 ，使得 在 上是严格增函数，在
上是严格减函数，则称 为 上的单峰函数， 称为峰点， 称为含峰区间，
(1)判断下列函数中，哪些是“ 上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因：
， ；
(2)若函数 是区间 上的单峰函数，求实数 的取值范围.
【解析】（1）对于 ，有 ，在区间 , 上是增函数，
则 不是 , 上的单峰函数，对于 ，有 ，
在区间 , 上， ，是增函数，在区间 , 上， ，是减函数，
故 是 , 上的单峰函数，其峰点为 ；
（2）根据题意，若函数 是区间 ， 上的单峰函数，
则在 在区间 , 上先增后减，
其导数 ，则 的值在区间 , 上先正后负，
若 ， ， 在区间 , 上为减函数，不符合题意；
若 ，设 ，则 在区间 , 上恒成立，所以 为区间
, 上的增函数，且 ， ，若 ，则 ，则 的值在区间 , 上先负后正，不符合题意，
若 ，则 ，则 的值在区间 , 上恒小于或等于0，不符合题意，
若 ，则 ，则 的值在区间 , 上恒大于或等于0，不符合题意，
故在区间 , 上不存在 ，满足 的值在区间 , 上先正后负，
综合可得：不存在实数 ，使函数 是区间 , 上的单峰函数，即实数 的集合为 ．
22．已知函数 的图象关于点 成中心对称图形的充要条件是 ．给定函
数 及其图象的对称中心为 ．
(1)求c的值；
(2)判断 在区间 上的单调性并用定义法证明；
(3)已知函数 的图象关于点 对称，且当 时， ．若对任意 ，总存
在 ，使得 ，求实数m的取值范围．
【解析】（1）由于 的图象的对称中心为 ，则 ，
即 ，整理得 ，解得： ，
故 的对称中心为 ；
（2）函数 在 递增；设 ，则
，由于 ，所以 ，所以 ，故函数 在 递增；
（3）由已知， 的值域为 值域的子集，
由（2）知 在 , 上递增，且 ，故 的值域为 , ，
于是原问题转化为 在 , 上的值域 , ，
当 即 时， 在 , 递增，
注意到 的图象恒过对称中心 ，可知 在 , 上亦单调递增，
故 在 ， 递增，又 ， ，故 , ，所以
, ， ， 且 ，解得 ，
当 即 时， 在 递减，在 ， 递增，
又 过对称中心 ，故 在 递增，在 ， 递减，
故此时 ， ， ， ，
欲使 ， ，只需 且 ，
解不等式得： ，又 ，此时 ，
当 即 时， 在 , 递减，在 , 上亦递减，
由对称性知 在 , 上递减，于是 , ，
则 , ， ，故 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围是 , ．
