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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：新高考重视对基础知识基本概念的考察，选择填空难度都不大，大多数来源于教材，压轴题
一般具有创新性，能更好的选拔优秀的人才，试题既考查学生的基础知识和关键能力，又注重考查学生的
思维能力、创新能力以及实际应用能力等综合素养
高考·新考法：新高考更注重知识的融合性，比如把数列与导数，概率，圆锥曲线相结合，考察考生分析问
题的能力
高考·新情境：试题设计强化素养导向，注重数学本质，突出理性思维，渗透数学文化，全面考查数学抽象、
逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新
性的考查要求，试卷服务拔尖创新人才选拔。
命题·大预测：本套试卷选择填空重视基本知识，基本能力的考察，其中第11题属于新定义多选题，考察
学生的思维能力，第14题把导数与解三角形相结合，第19题属于数列新定义试题，考察学生综合分析问
题的能力
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】B
【详解】因为 ， ，所以 .故选：B
2．已知复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 ，则复数 在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【详解】设 ，因为复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，所以 ， ，
又 ，所以 ，所以复数 对应的点的坐
标为 ，位于第四象限.故选：D.
3．已知 ，且 在 方向上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 在 方向上的投影向量为 ，由已知可得 ，因为 ，所以
，又 ，所以 ，又 ，所以 与 的夹角为 .故选：D.
4．已知正三棱台的下底面边长为 ，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为 ，则该三棱台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】将正棱台补全为一个棱锥， 为底面中心，如下图示 ，所以
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学科网（北京）股份有限公司，则 ，而棱台的高 ，所以 ，
则该三棱台的体积为
.故选：D
5．已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】 ， ，
，
，
， ，
， ， ，故选:
6．“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市
深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字
母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ）
A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种
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学科网（北京）股份有限公司【答案】C
【详解】恰有3对相同的字母相邻的排法有： ,有4对相同的字母相邻的排法有：
,8个字母的全排列为： ,所以至多有2对相同的字母相邻的不同的排法有：
，故选：C
7．已知函数 （ 且 ）在 上有唯一零点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得 在 上有唯一解，即 ，
令 ，则 ，则 ，令 ，则 ，
则 ，当 时， 的 ，开口向上，恒大于零，所以 为递增函数，
为递减函数，因为 ，所以 在 上无解；当 时， 必
须成立，若 ，会出现蓝色 图象的情况，
即 在 上恒成立，（指数函数的增长速度大于幂函数，且 ），
所以图象只能为红色 ，只需交点横坐标小于1即可，所以令 可得 ，
又 ，所以 的范围为 .故选：A.
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学科网（北京）股份有限公司8．已知椭圆C： 的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，
若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】设 ， ，则l的方程为 ，由 ，得 ，
，设 ， ，则 ， ①．因为
，所以 ②．由①②可得 ，再结合 ， ，得 ，解得
．
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据 的样本方差为9，则数据 的方差为16
B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位
数
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
【答案】ACD
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学科网（北京）股份有限公司【详解】对于A，设样本数据 为 ，则 ，解得 ，数据 的方
差为 ，A正确；对于B，一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样
本数据的平均数小于中位数，B错误；对于C，随机变量 ，由 ，得
，C正确；对于D，依题意，运动员击中次数 ，击中 次的概率为
，由 ，解得 ，因此最有可能击中的次
数是8，D正确.故选：ACD
10．函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列
不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】由 为奇函数，得 ，即 ，由 为偶函数，得
，则 ， ，于是
，因此函数 是偶函数，且当 时， 单调递减，
对于A， ，则 ，A正确；对于B，
，则 ，B正确；对于C，
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学科网（北京）股份有限公司，C正确；对于D，
， ，则 ，
，即 ，D错误.故选：ABC
11．我国知名品牌小米公司的 具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线
（ 、 为常数， 且 ）.则下列有关曲线 的说法中正确的是（ ）
A．对任意的 且 ，曲线 总关于 轴和 轴对称
B．当 ， 时，曲线 上的点到原点的距离最小值为
C．当 ， 时，曲线 与坐标轴的交点个数为 个
D．当 ， 时，曲线 上的点到原点的距离最小值为
【答案】ABD
【详解】对于A，取曲线 上点 ，则 ，点 关于 轴的对称点为 ，关于 轴
的对称点为 ，因为 ， ，即点 、 都在曲线
上，故曲线 总关于 轴和 轴对称，故A正确；对于B，当 ， 时，曲线 的方程可化为
，
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学科网（北京）股份有限公司在曲线 上任取一点 ，由 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，得 ，故曲线 上的点到原点的
距离最小值为 ，故B正确；对于C，当 ， ， 时， ，则 ，得 ，所以
或 ，所以曲线 与 轴有 个交点，当 时， ， ，得 或 ，所以曲线
与 轴有 个交点，综上，曲线 与坐标轴的交点个数为 个，故C错误；对于D，当 ，
时，在曲线 上任取一点 ，由
，则 ，当且仅当 时，即当
时，等号成立，故曲线 上的点到原点的距离最小值为 ，故D正确.故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数 ，且 为偶函数，则 的值为
.
【答案】1
【详解】因为 为偶函数，则 为偶函数，而 是偶函数，故
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学科网（北京）股份有限公司是偶函数，所以 ，所以 ，将 代入函数 ，得
，因此 ，所以 的值为1.故答案为：
13．已知圆 ，其中 为坐标原点，直线 与圆 交于点 ，则
的面积的最大值为 ．
【答案】2
【详解】如图，点 到直线 的距离为 ，则 ，
，所以 ，
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，得
，即 的最大值为 .故答案为：2
14．在 中， ， （ ），若当 面积取最大值时， ，则 .
【答案】
【详解】由 （ ），设 ，则 ，
由余弦定理可得： ，
所以 ,所以 的面积为：
令 ，由 ，易得 ，所以 ,
所以 ，所以 ， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司又 在 单调递减，可得：当 时，面积取得最大值，即 ，
所以 ， 即 ，又 ，可得： ，故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，若 ， ，
(1)求四棱锥 的体积；
(2)求二面角 的平面角的正弦值.
【答案】(1) ；(2)
【详解】（1）取AD的中点O，连接QO，QC，因为 ，所以 ，又 ， ，
所以 ，在正方形ABCD中， ，所以 ，所以
，又 ，所以 ，即 ，又 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以四棱锥
的体积为 ；
（2）过O作 交BC于M，则 ，结合（1）中 平面
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学科网（北京）股份有限公司，故可建以O为原点，OM，OD，OQ所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系，如图所示，所以
， ， ， ，
故 ， ，设平面BQD的法向量为 ，则 ，故 ，
取 ，则 ， ，故平面 的一个法向量为 ，
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 ，设二面角 的大小为 ，
所以 ，由图可知 为锐角，所以 ，所以
，所以二面角 的平面角的正弦值为
16．（15分） 的内角 所对的边分别为 ， ，
(1)求角 的大小;
(2)若 ， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1) (2)
【详解】（1） ， ， ，
所以原式可化为 ，
由正弦定理得： ，由余弦定理得： ，
（2）设 中点为 ，则 ， 且 三点共线，同理可得
点 为 三条中线的交点，点 为 的重心， 为 中点， ，
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学科网（北京）股份有限公司，平方得： ， ①，又由余弦定理得：
，即 ②由①②得： ，
17．（15分）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指
标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学期望 ，方
差 ，则对任意正数 ，均有 成立.
（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂
声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合
格率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于0.05时，可称事件 为小概率事件）
【答案】(1) ；(2)（i）证明见解析；（ii）不可信.
【详解】（1）记事件 为抽到一件合格品，事件 为抽到另一件为不合格品，
， ， .
（2）（i）由题：若 ，则 ， ，又
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 .由切比雪夫不等式可知，
，所以
（ii）设随机抽取100件产品中合格品的件数为 ，假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则
，所以 ， ，由切比雪夫不等式知，
，即在假设下100个元件中合格品为80个的概率不超过
0.021，此概率极小，由小概率原理可知，一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂
的合格率不可信.
18．（17分）已知抛物线 的焦点为 .抛物线 上一点 满足 ， 为直线
上的动点，过 作曲线 的两条切线 ， ，其中 为切点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求证：直线 恒过定点；
(3)求 面积的最小值．
【答案】(1) ；(2)证明见解析；(3)
【详解】（1）由题意 故 ，所以抛物线方程为 .
（2）设 ， ， ，由 得 ，故切线 ： ，
即 ，同理可得切线 ： ， 在两条切线，则 ，所以直线
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学科网（北京）股份有限公司，即 ， 因 ，故 ，故直线
恒过定点 .
（法二）当直线 斜率存在时，设 ，联立 ，得 设 ，
， ， ， ， ， 由 得 故切线
，即 ，同理切线 ，联立得 ，
故 ，代入直线 得 ，直线 ，所以恒过定点
当直线 斜率不存在时，由对称性知 ，直线 ，也过定点 ，综上：直线 恒过定
点 .
（3）联立 ，得 ，由韦达定理可得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司到直线的距离
，当 时， 最小值为
（法二）当直线 斜率不存在时，直线 ， ， 到直线距离为8，
，当直线 斜率存在时， ，
所以 到直线的距离 ，
，当 时， 的最小值为3，故 ，所以 的面积的最
小值为 .
19．（17分）将有穷数列 中部分项按原顺序构成的新数列 称为 的一个“子列”，剩余项按原
顺序构成“子列” ．若 各项的和与 各项的和相等，则称 和 为数列 的一对“完美
互补子列”
(1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由：
A：1，2，3，4；B：2， ， ， ， ， ．
(2)数列 一共 项，且满足 ， ， ．
（i）求证：当 和 时， 都存在“完美互补子列”；
（ii）设 共有 对“完美互补子列”，求证： ．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1) 存在“完美互补子列”， 不存在.(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【详解】（1）对A选项：取 ： ， ；取 ： ， .
则 和 是数列1，2，3，4的一对“完美互补子列”.
对B选项：因为 ，
假设该数列存在一对“完美互补子列” 和 ，
则 和 的各项和为 ，但 中各项均为偶数，
所以 和 的各项和为 不可能成立.
故数列2， ， ， ， ， 不存在“完美互补子列”.
（2）（i）当 时，因为 ，
所以 … .
不妨令 中的各项为： ， ；
中的各项为： .
则 与 中所有项的和均为 .
所以 时，数列 存在“完美互补子列”.
当 时，只需将 中， 中的 移到 中，
将 放入 中，将 放入 中，此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，
所以 ，数列 存在“完美互补子列”.
（ii）当 时，数列 有 对“完美互补子列”，
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学科网（北京）股份有限公司对 的一对“完美互补子列”，比如：
中的各项为： ， ；
中的各项为： .
①将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；
②将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；
③将 中的 移到 中，将 放入 中，将 放入 中，
此时 与 中的和均在原来的基础上增加了 ，可得 的一对“完美互补子列”；
所以 时的一对“完美互补子列”， 时，都至少有三队“完美互补子列”与之对应.
所以 .
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