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2025 年高考考前信息必刷卷（新高考Ⅰ卷）
数 学
考情速递
高考·新动向：新高考重视对基础知识基本概念的考察，选择填空难度都不大，大多数来源于教材，压轴题
一般具有创新性，能更好的选拔优秀的人才，试题既考查学生的基础知识和关键能力，又注重考查学生的
思维能力、创新能力以及实际应用能力等综合素养
高考·新考法：新高考更注重知识的融合性，比如把数列与导数，概率，圆锥曲线相结合，考察考生分析问
题的能力
高考·新情境：试题设计强化素养导向，注重数学本质，突出理性思维，渗透数学文化，全面考查数学抽象、
逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的核心素养，体现基础性、综合性、应用性和创新
性的考查要求，试卷服务拔尖创新人才选拔。
命题·大预测：本套试卷选择填空重视基本知识，基本能力的考察，其中第11题属于新定义多选题，考察
学生的思维能力，第14题把导数与解三角形相结合，第19题属于数列新定义试题，考察学生综合分析问
题的能力
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数 在复平面内所对应的点位于第一象限，且 ，则复数 在复平面内所对
应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知 ，且 在 方向上的投影向量为 ，则 与 的夹角为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
4．已知正三棱台的下底面边长为 ，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为 ，则该三棱台的体积为
（ ）
A． B． C． D．
5．已知 ， ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．“City不City”是一个今年在网络上迅速走红的流行语，这句流行语也成为了外国游客表达对中国城市
深刻印象的一种新颖方式.现将一对C，一对i，一对t，一对y重新组合排成一行，若至多有2对相同的字
母相邻（如CCiityty，CCitiyty等），则不同的排法有（ ）
A．2124种 B．2148种 C．2352种 D．2420种
7．已知函数 （ 且 ）在 上有唯一零点，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
8．已知椭圆C： 的左焦点为F，经过点F且倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点，
若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是（ ）
A．若样本数据 的样本方差为9，则数据 的方差为16
B．若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在左“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位
数
C．已知随机变量 ，若 ，则
D．运动员每次射击击中目标的概率为0.7 ，则在11次射击中，最有可能击中的次数是8次．
10．函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶函数，当 时， ，则下列
不等式成立的是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
11．我国知名品牌小米公司的 具备“超椭圆”数学之美，设计师的灵感来源于数学中的曲线
（ 、 为常数， 且 ）.则下列有关曲线 的说法中正确的是（ ）
A．对任意的 且 ，曲线 总关于 轴和 轴对称
B．当 ， 时，曲线 上的点到原点的距离最小值为
C．当 ， 时，曲线 与坐标轴的交点个数为 个
D．当 ， 时，曲线 上的点到原点的距离最小值为
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知函数 ，且 为偶函数，则 的值为
.
13．已知圆 ，其中 为坐标原点，直线 与圆 交于点 ，则
的面积的最大值为 ．
14．在 中， ， （ ），若当 面积取最大值时， ，则 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）在四棱锥 中，底面ABCD是正方形，若 ， ，
(1)求四棱锥 的体积；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求二面角 的平面角的正弦值.
16．（15分） 的内角 所对的边分别为 ， ，
(1)求角 的大小;
(2)若 ， 的延长线交 于点 ，且 ，求 的面积.
17．（15分）某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指
标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数（件） 2 18 36 40 4
(1)现从这100件样品中随机抽取2件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
(2)关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量 具有数学期望 ，方
差 ，则对任意正数 ，均有 成立.
（i）若 ，证明： ；
（ii）由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的.若该工厂
声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合
格率是否可信？（注：当随机事件 发生的概率小于0.05时，可称事件 为小概率事件）
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学科网（北京）股份有限公司18．（17分）已知抛物线 的焦点为 .抛物线 上一点 满足 ， 为直线
上的动点，过 作曲线 的两条切线 ， ，其中 为切点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求证：直线 恒过定点；
(3)求 面积的最小值．
19．（17分）将有穷数列 中部分项按原顺序构成的新数列 称为 的一个“子列”，剩余项按原
顺序构成“子列” ．若 各项的和与 各项的和相等，则称 和 为数列 的一对“完美
互补子列”
(1)分别判断以下数列是否存在“完美互补子列”，并说明理由：
A：1，2，3，4；B：2， ， ， ， ， ．
(2)数列 一共 项，且满足 ， ， ．
（i）求证：当 和 时， 都存在“完美互补子列”；
（ii）设 共有 对“完美互补子列”，求证： ．
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