文档文本内容
2024 年新试卷题型适应模拟训练卷
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
C C A B B D A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
AC AB ABD
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． （答案不唯一） 13． 14．①④
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
【答案】（1） ；（2） .
【详解】解：（1）∵ ，又 在 处取极值，
∴ 得 ，
当 时 ，函数在 和 上单调递增，在 上单调递减，满足题意；
∴ ，切点为 ，切线斜率为
∴ 在点 的切线方程为
（2）∵ ，令 得 或
若 ，则 时 ， 在[0，1]为增函数
此时 舍去若 ，则 ，此时 时 ， 在[0，1]为减函数
，得 满足题意
若 ，则 ，此时 时 ， 时
在 单调递减，在 单调递增，
此时 解得 舍去
综合以上得
【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，
属于难题．
16．（15分）
【答案】(1) (2)
【详解】（1）设事件 表示“甲在初赛中晋级”，事件 表示“乙在初赛中晋级”，
由题意可知， ，
解得 .
（2）设事件 为“甲､乙两人中有且只有一人能参加市级比赛”， 为“甲能参加市级比赛”， 为“乙
能参加市级比赛”，
则 ，
，
所以 .
17．（15分）
【答案】(1)点 为 的中点(2)【详解】（1）解： ， ， ，
，
， ， ，又 ，
又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ，
所以以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ．
则 ，
， ，解得 ， ．
当 时，点 为 的中点．
（2）解：由（1）可得 ，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，取 ，则 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
，
平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ．
18．（17分）
【答案】(1) (2) (3)
【详解】（1）由题意得 ，故 ，则 ，解得 ，
故椭圆 ： ，
因为 在第一象限， ，所以 ，
所以 ，将其代入 中，即 ，解得 ，
故 的准线方程为 ；
（2）由题意得 ，解得 ，
故 ， ，
直线 的方程为 ，联立 得， ，
设 ，则 ， ，
故 ，
联立 与 得， ，设 ，则 ， ，
故 ，
若 方向相同， ，
若 方向相反， ，
所以 ；
（3）由 ， ， 三点共线，可得
，故 ，
同理，由 ， ， 三点共线，可得
，
则
，因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ，
故 ，
因为 ，令 ，
则 ，
所以 ，
其中 ，
因为 ，所以 的开口向下，
对称轴为 ，
其中 ，
故当 时， 取得最大值，
最大值为 ，
故 的最小值为 ，
令 ，解得 ，负值舍去，故 ，解得 ，
，
又 ，故 ，
则点 的坐标为 .
19．（17分）
【答案】(1) (2) (3)答案见解析
【详解】（1）由题意得 ，即 ，解得 ；
（2） ，
当 时， ，即 ，当 时， ，即 ，
故 ，
又 ， ， ，因此 的序数列为 ，…，2021．
又因 、 互为“保序数列”，故 ，
只需满足 ，解得： ．
（3）① 当 或 时，数列 中有相等的项，不满足题意.② 当 时，数列 单调递增，故 也应单调递增，
从而 对 且 恒成立.又数列 单调递增，故 .
③ 当 时，数列 单调递减，故 也应单调递减，
从而 对 且 恒成立.
又数列 单调递减，故 .
④ 当 时，数列 单调递减，且 ； 单调递增，且 ，
于是 对 且 恒成立，即 ，从而
.
另一方面， 对 且 恒成立，即 ，从
而 .
综上， ，即 .
此时 ， ，满足题意.
综上，当 时， 、 满足的条件是 ；
当 时， 、 满足的条件是 ；
当 时， 、 满足的条件是 .
