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高三数学第二次联考参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D A B A D C A D BC ACD AD ABD
13. 14. 15. 16.
5 3 13 6
17. 1 解 00 ： 因为当 2023 时， 9 9 ，所以2 ， ...............1分
−1
(1) ≥2 ( −1) =2 −1 =2· −1
从而数列 是以 为首项， 为公比的等比数列即 ，
1 −1
则 { ． } 1 =2 2 =2×2 =2 ...............4分
= ·2
， ...............5分
(2 −9) (2 −9) 2 −9
(2)∵ = = ·2 = 2
∴ ...............6分
2( +1)−9 2 −9 11−2
当 +1− 时 = 2 +1 − 2， = 当2 +1 时 ...............7分
另一1⩽方 面⩽5，当 +1时−， >0 当 ≥时6 ， +1− <0 ...............8分
≤4 <0 ≥5 >0
从而 的最大项为 ，最小项为 ． ..............10分
3 7
18. { 解 ： } 第一次摸 6 到=蓝64球不放回，袋 1 中 = 剩 −2 个球，其中 个红球， 个蓝球，从 个球中摸一
(1) 5 3 2 5
个共 种不同的结果，其中是红球的结果共 种，所以第二次摸到红球的概率为 ，
3
5 3 5
即第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率为 ． .............3分
3
ⅰ证明：由条件概率定义，可得 5 ，
(2)( ) ( )= ( ∣ ) ( ) ，
1 2 1 2 3
( 1) ( 2| 1) ( 3| 1 2)= ( 1) 1 1 2 = ( 1 2 3) .............3分
∴ⅱ ( 1表 2示 3第)=三 次( 摸1到) 红( 球2| ，1) ( 3| 1 2);
(则摸) 法3为：
第一次 第二次 第三次 概率
红 红 红
3 2 1 1
× × =
红 蓝 红 6 5 4 20
3 3 2 3
× × =
蓝 红 红 6 5 4 20
3 3 2 3
× × =
6 5 4 20
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1 4蓝 蓝 红
3 2 3 3
× × =
6 5 4 20
． .............12分
1 3 3 3 10 1
∴ 19 . ( 解 3)：=若2选0+条2件0+20+20=20=2
（ ）在锐角 ①中， ， ， 由正弦定理可得
24 4
1 sin∠BAC= 25 ∠ =5 BC=6 ∠ = ∠
所以 ， .............4分
4
× ∠ 6×5
24
A = ∠ = 25 =5
由 ， ，可得 ， ，
24 4 7 3
(2) sin∠BAC= 25 ∠ =5 cos∠BAC= 25 ∠ =5
所以
3
cosC=−cos(∠BAC+∠ABC) =−cos∠BAC ∠ +sin∠BAC ∠ =5
因为 ⊥ ， ，所以 ， .............8分
3 18 7
在 BE 中 AC ，由 A 余 弦 = 定 5 理可得 CE=BCcosC=6×5= 5 AE=AC−CE= 5.
2 2
AD= AC +DC −2AC∙DCcosC = 25+4−12= 17,∴
2 2 2
AD +AC −CD 17+25−4 19 17.
cos∠DAC= 2AD∙AC = 10 17 = 85
由 ⊥ 得 所以 .............12分
7
5 7 17
BE AC AFcos∠DAC=AE, AF= 19 17 = 19 .
若选条件 85
（ ）在锐②角 中， 可得
24 7
1 sin∠BAC= 25 cos∠BAC= 25
由余弦定理可得 即
2 2 2 2 14
BC =AB +AC −2AB∙ACcos∠BAC AC − 5 AC−11= 0
所以 （ 舍） .............4分
11
AC=5 AC=− 5
（ ）由（ ）知： 所以 如条件 做法。
3
若选 2 条件 1 AC=AB=5 cosC= ∠ =5 ①
（ ）在锐③角 中， ， ，
24
由余 1 弦定理可 得 sin∠BAC= 25 BC=6 AB=AC ，所以 .............4分
2 2 2
（ ）同条件 做B法C。=AB +AC −2AB∙ACcos∠BAC AC=5
2 证明：2 因为 ， ，所以
2连0接. (1)， ，由题 意 1知// 1 是 正⊥三 角 1形，因为 点1 ⊥为 棱.
的中点 ，所 以 1 △ 1 1
又 ， 平 面1 ⊥ ，. ，所以 平面
⊂ ∩ = 1 ⊥
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2 4平面 ............6分
由⊂（ ） 知 ∴ 平 1面⊥ 而 ， 平面 ，则 ， ，于是 即
(为2)平面 1 与 1平⊥面 .所成 的 二面 角⊂的平面 角 或其角 ． 1 ⊥.. . .... . .1.⊥.. 8 分 ∠
在正三角 1形 1 中， 1 ，1于是 因为 ， ，于是 ，又
，且 ， 1 平 面 =2 ， = 3. ， 所⊥以 1 平 面1 // 1 ． ⊥ 1 ⊥
因 为 平1 面 ⊂ ， 所1 以 1 1∩ = ⊥ 1 1
⊂ 1 1 ⊥ .
在 中， ， ，从而
1 3
△ = 3 =1 ∠ = = 3= 3 .
于是平面 与平面 所成的二面角的正弦值为 ............12分
3
1 1 1 1
，设 ， 由 3 得 |t-1|= ，
2 2 2 2
1 2 3 1
21(1) (0,1) ( 1, 4 ) ( 2, 4 ) ( 3, 4 ) | | = | | 4+1
又 所以 ，即 所以 ，
1 2 1 2 4 1 2 −( 4 1 2 +2) 2
∵ > 1 = 4 +2 (0, 4 + ∴ 2) = 1−0即 =− 1
1 ∥ , | = 3 = 1 2 3 =− 2 1 3=− 4 1 , 1∙ 3 =−4 P(− 4 1 , 4 1 2 )
4 ，即 则A,F,P三点共线 ............4分
∴ = 4 1 2 1 − − 1 0= 4 1 2 − 1 4 ; =− 1 2 4 1 − − 1 0= 4 1 2 − 1 4 =
ⅰ 点 在定直线 上。理由如下：
(2)( ) N y= 故 −1 即
2 2
, 1 1 1 1 1
∵ = | = 1 =2 1 : − 4=2 1( − 1) =2 1 − 4 ①
同理可得 即
2 2
3 1 1 3
联立 :即 点− 4在 = 定2 直 3( 线 − 3) 上 = 2 3 − 4 ② ............7分
1
①② =4 1∙ 3 =−1 N y=−1
(ⅱ)直线 即 代入 联立
2 2
1 2 2 1
2
: − 4=− 1( − 1) =− 1 + 4+2 = 4
得 ，所以 ，
2 + 8 1 − 1 2 −8=0 = 6 4 1 2 +4( 1 2 +8)= 4( 1+ 4 1) 2 >0
∴
4 4
因|为AB|= ，1 2 + 则 1 N ∙2 到 | 1 的 + 距 1| 离等于点 到 的距离
1 ∥ P
而点 到直线 的距离 2 −4 4 1 2 4 1 2 2 1 2
4 4 |− 1 ∙ 1 − 1 2+4 +2| 1 2+4 +2 ( 1 +2)
P(− 1 , 1 2 ) = 4 1 2+1 = 4 1 2+1 = 4 1 2+1
∴ 2 1 2 （ ）
4 ( 1 +2) 3
1 4 2 | 1+ 1|∙ 4 1 4 3 1 4
△ = △ =2∙ 1 +1∙2 1 2+1 =4| 1 + 1| ≥ 4 2 1∙ 1 =16
当且仅当 ，即 时等号成立。 ............12分
4
1 = 1 1=±2
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3 422. 解： 的定义域为 ，则 ′ ，
−1 ( −1)( − +1)
令 ′ (1) ， ( 解 ) 得 或 (0,+∞) ， 因为( )= ，−所 以+ = ，
则当 ( )=0 时， ′=1 =， 则−1 单调递 增>，2 −1>1
当 0< <1 时， ′( )>0 ，则 ( ) 单调递减，
当1< < 时−，1 ′ ( )，<则0 单 (调 )递增，
故 > 的−单1调递增 区间( )为>0 和 ( ) ，单调递减区间为 ； .............4分
( ) (0,1) ( −1,+∞) (1, −1)
欲证 ， ，即证 ， ，
−1
(2) ∀ ∈ (1, ] ( −1)ln > −1 ∀ ∈ (1, ] −1> ln
令 ， ，则 ′ ，
1
−1 ln −1+
令 ( )= ln 1< ， ≤ 则 ′ ( )= (ln ) 2 ，
1 1 1 −1
因为 ( )= l，n 所−以1+ ′ ， ( 所 ) 以 = − 在 2 = 2 上单调递增，所以 ，
所以 ′ >1 ， 所以( )>0 在 ( ) 上 (1 单 , 调 ] 递增，所以 ( )> (1)= ， 0
−1 −1
( )>0 ( )= ln (1, ] ( )≤ ( )= ln
所以欲证 ， ，只需证 ， ① .............7分
−1 −1
∀ ∈ (1, ] −1> ln −1> ln
因为 ，所以 ，
2
1
( )= (1) 2 − ( −1)+( −1)ln =2
即 ， ② ............8分
2
( −1)
2 =( −1)( −1−ln )
令 ，则 ′ ，当 时， ′
1 −1
所以 ℎ( )= 在 −1−ln 上单调ℎ递增( ，)=所1以− = > ， 1 即 ℎ ( )>0 ，
ℎ( ) (1,+∞) ℎ( )> ℎ(1)=0 −1−ln >0
所以 ，故 ②式可等价变形为： ，
2
( −1)
−1−ln >0 −1= 2( −1−ln )
所以，欲证 ①式成立，只需证 成立，
2
( −1) −1
2( −1−ln )> ln ( >1)
所以仅需证 ，
−1
ln >2 +1
令 ， ，则 ′ ，
2
2( −1) ( −1)
( )在= ln − 上+1单调 ( 递 增 > ， 1) ( )= ( +1) 2 >0
∴ ( ) (1,+∞)
故H ，即 ， 结论得证． .............12分
2( −1)
( )> (1)=0 ln > +1 ∴
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4 4
