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晋江二中、鹏峰中学、广海中学、泉港五中
2022-2023学年上学期十月高三联考
数学试卷参考答案
1−3i (1−3i)(1−i) −2−4i
1. 解：复数z= = = =−1−2i，
1+i (1+i)(1−i) 2
∴|z|=√(−1) 2+(−2) 2=√5，故A错误；
复数z在复平面上对应的点坐标为(−3,−4)，在第三象限，故B错误；
复数z的实部与虚部之积为(−1)×(−2)=2，故C正确；
z=−1+2i，故D错误．
故选：C．
2. 解：由log (x−2)<1解得22}，
∴′′log (x−2)<1′′是′′x>2′′的充分不必要条件．
2
故选：A．
b=log 2<0 1
3. 解：a=log √3 2>log √3 √3=1， 1 ， 0c>b．
故选B．
4. 解：设A表示“开关第一次闭合后出现红灯”，B表示“开关第二次闭合后出现红灯”，
∵开关第一次闭合后出现红灯的概率为0.5，两次闭合后都出现红灯的概率为0.2，
∴P(A)=0.5，P(AB)=0.2，
∴在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为：
P(AB) 0.2
P(B|A)= = =0.4．
P(A) 0.5
故选：C．5. 解：由f(0)=f(4)知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)对称轴为x=2，
b
即− =2，所以4a+b=0，
2a
又f(0)>f(1)且f(0)，f(1)在对称轴同侧，
故函数f(x)在(−∞,2]上单调递减，
则抛物线开口方向朝上，知a>0，
故选A．π sinθ
6. 解：∵sinθ−2cosθ=0，θ∈(0, )，∴tanθ=2= ，又sin2θ+cos2θ=1，sinθ>0，
2 cosθ
cosθ>0，
2√5 √5
∴sinθ= ，cosθ= ，
5 5
√5 2√5
−
cosθ−sinθ 5 5 √5
则 = =− ，
2−sin2θ 2√5 √5 6
2−2× ×
5 5
故选：D．
7. 解：由f(x+3)是奇函数可知f(−x+3)=−f(x+3)，且当x=0时，f(3)=0，
又因为f(x+2)=−f(x)，故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，因此函数的周期为4，
故f(2019)=f(3+2016)=f(3)=0．
故选C．
8. 本题考查利用导数研究过曲线上的某点处的切线方程，
(1)把a=1代入函数解析式，求导后得到f ′(1)，f(1)，利用点斜式方程得答案；
(2)求出原函数的导函数，由f ′(x)≥0在R上恒成立，得ex−2x+2a≥0在R上恒成立，分离参数a后利用
函数的导数求解函数的最值，即可求解实数a的取值范围．选D
9. 解：由⃗a//⃗b，得t=−8，A不正确;
由⃗a⊥⃗b，−4+2t=0，t=2，B正确;
| ⃗ a− ⃗ b|=√(−5) 2+(t−2) 2，当t=2时，| ⃗ a− ⃗ b|取得最小值5，C正确;
当 ⃗ a⋅ ⃗ b<0 时，即−4+2t<0，得t<2，当 ⃗ a 与⃗b反向时，t=−8，
故若向量 ⃗ 与向量⃗b的夹角为钝角，则t<−8或−80，当且仅当2a=b时取等号，即0<√ab⩽√2，00)的零点依次构成一个公差为 × = 的
3 2 ω 2
等差数列，
( π)
所以ω=2,f (x)=2sin 2x+ ，
3π
对于A，把函数f (x)的图象向右平移 个单位长度，得到函数g(x)=2sin2x的图象，则g(x)为奇函数，
6
故A错误；
π π
对于B，令x= ，求得g(x)=2，为最大值，可得其图象关于直线x= 对称，故B正确；
4 4
[π π] [π ] [π π]
对于C，在 , 上，2x∈ ,π ，g(x)在 , 上是减函数，故C正确；
4 2 2 4 2
[π 2π] [π 4π] [ √3 ]
对于D，在区间 , 上，2x∈ , ，sin2x∈ − ,1 ，g(x)的值域为[−√3,2]，故D正
6 3 3 3 2
确．
故选：BCD．
12. 解：对于选项A：在正方体ABCD−A B C D 中，CD⊥侧面ADD A ，
1 1 1 1 1 1
AD ⊂侧面ADD A ，则CD⊥AD ，
1 1 1 1
又因为AD ⊥A D，A D∩DC=D,A D⊂平面A DC，
1 1 1 1 1
DC⊂平面A DC，
1
所以AD ⊥平面A DC，可知当M在线段A D上时，有
1 1 1
CM⊥AD ，
1
故存在无数个点满足CM⊥AD ，故A正确；
1
对于选项B：旋转平面ADD A ，使之与平面BB D D共面，如右
1 1 1 1
图：
连接A′B 交DD 于M，
1 1
此时|MA|+|MB |最小值为|A′B |=√12+(√2+1) 2=√4+2√2≠√3+1，
1 1
故B错误；
对于选项C，当点M在平面ADD A 内时，由A B ⊥面ADD A ，A M⊂面ADD A ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A B ⊥A M，所以有A B 2+A M2=B M2 ，所以A M=1，
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 π
所以点M的轨迹是以A 为圆心，半径为1的 圆弧，从而动点M轨迹长度为 ×2π= ，所以C正确．
1 4 4 2对于选项D：由于CD//AB//A B ，据异面直线所成角的定义得到∠A B M即为所求角，
1 1 1 1
设A D与AD 交于点O，若M在线段AD 上，
1 1 1
A M A O √2 √3
∴tan∠A B M= 1 ≥ 1 = > ，
1 1 A B A B 2 3
1 1 1 1
∴∠A B M>30°，故D错误．
1 1
故选：AC
2 2
13. 解：在(x+ ) 6 的展开式中，通项公式为：T =Cr ⋅x6−r ⋅( ) r=Cr ⋅2r ⋅x6−3r
x2 r+1 6 x2 6
，令6−3r=0，解得r=2；所以展开式的常数项为C2 ⋅22=60．
6
故答案为：60．
14. 解：∵f(x)=sinx+ex+2，∴f′ (x)=cosx+ex，f(0)=3，
∴曲线f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线的斜率为：k=cos0+e0=2，
∴曲线f(x)=sinx+ex+2在x=0处的切线的方程为：y=2x+3，
故答案为y=2x+3．
⃗ ⃗
15. 解：设点P的坐标为(x,y)，则PA=(1−x,−y) ，PB=(3−x,−y) ，
⃗ ⃗
∵PA⋅PB=2 ，
∴(1−x)(3−x)+ y2=2，整理得点P的轨迹为：(x−2) 2+ y2=3，
|6+4|
点(2,0)到直线l的最短距离为 =√10，则可得点P到直线l的距离的最小值为√10−√3．
√32+(−1) 2
故答案为√10−√3．
16. 解：f(x)=ex+sinx，x∈(−π,π)，f ′(x)=ex+cosx，
设p(x)=f ′(x)=ex+cosx，p′(x)=ex−sinx
当x∈(−π,0)时，00，f ′(x)单调递增；
当x∈(0,π)时，ex>1，sinx<1，则p′(x)>0，f ′(x)单调递增；
∴f ′(x)在x∈(−π,π)上单调递增，
3π π
3π − √2 π −
又∵f ′(− )=e 4 − <0，f ′(− )=e 2>0
4 2 2
3π π
∴存在x ∈(− ,− )，使得f′ (x)=ex 0+cosx =0，
0 4 2 0
且当x∈(−π,x )时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，
0
当x∈(x ,π)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，
0π
∴函数f(x)有一个极小值点x ，且f(x )=ex 0+sinx =sinx −cosx =√2sin(x − )
0 0 0 0 0 0 4
3π π
且x ∈(− ,− )，则f(x )∈(−1,0)，故①④错误，③正确；
0 4 2 0
3π π
∵存在x ∈(− ,− )，当x∈(−π,x )时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(x ,π)时，
0 4 2 0 0
f ′(x)>0，f(x)单调递增，
π π
又f(−π)=e−π+sin(−π)=e−π>0，f(− π )=e − 2+sin ( − π) =e − 2−1<0，f(0)=1>0，
2 2
π π
由函数零点的存在性定理可知，函数f(x)在(−π,− )，(− ,0)各存在一个零点，故②正确；
2 2
故答案为②③．17. 解： 由已知可得 所以 ．
因为在 中， ，
所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 是锐角三角形，所以 ， ．
所以
．
由正弦定理可得： ，
所以 ．
18. 解： 等差数列 中，公差 ，
， ，可得 ，
即 ， ， ，
由于 ，可得 ， ，
则 ，
所以 ；
当 时， ，
；
当 时， ，．
所以 ．
19. 解： 设椭圆的半焦距为 ，离心率为 ，
由题意可得 ， ，即 ，可得 ， ，
可得椭圆的方程为 ；
联立 ，可得 ，
设 ， ，
则 ， ，
所以
，
直线 的距离为 ，
则 的面积为 ．
20. 解： 四边形 为菱形， ，
又 面 ， ， ， 两两垂直， 以 为 轴， 为 轴， 为 轴建
立如图所示的空间直角坐标系 ，
根据题意可知 ， ， ，且 为 中点， ， ，
， ， ， ， ， ，
，设面 的法向量为 ， ， ，令
，则 ， ， ， 直线
与平面 所成角的正弦值为 ．由 可知 ，面 的一个法向量为 ，
点 到平面 的距离 ，
点 到平面 的距离为 ．
21. 解： 小明回答第一、第二、第三个问题正确的概率分别为 ， ， ，
各题回答正确与否相互独立．
小明回答第一、第二个问题，至少一个正确的概率为：
记小明在闯关赛中回答题目正确的个数为 ，
则 的可能取值为 ， ， ， ，
，
，
，
，
的分布列为：
小明闯关成功的概率 ．22. 解： 函数 定义域为 ，
，
当 时， ， ， 在 上单调递减，
当 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．
当 时，由 知， 在 上单调递减，在 上单调递增．
，
对任意 恒成立，记 ，
则 ， ，令 ，得 ，
令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
， 实数 的取值范围是 ．
