文档内容
湘 豫 名 校 联 考
#$#%&#$#’学年新高考适应性调研考试
数学参考答案
题号 ! # ( % ’ ) " * + !$ !!
答案 , - . , . / , - /, -,. -.
一!选择题"本题共*小题#每小题’分#共%$分0在每小题给出的四个选项中#只有
一项是符合题目要求的0
!!,!$解析%因为"1#23!#12"23#212#3&!1#2#又"##"!#所以$"3&!##3#%是$"1#23!#12"2%的充
要条件!故选,!
#!-!$解析%由题可得实半轴长$3(#所以半焦距%3!槡(4(3(!槡(#所以&3!(!槡("#&(#3!*!故选-!
(!.!$解析%数据从小到大依次排列为&(#’#)#"#*#+#!$#!##!%#共+个数据!第)$百分位数对应为+4)$53
’!%#向上取整为)#所以第)$百分位数为第)个数据#即为+!故选.!
%!,!$解析%令"#$#则&"$$#所以’!&""3!&"1!"##(!""3’!&""1!3!"&!"#1!!故选,!
’!.!$解析%由等比数列的通项公式可得$ !)#3&$ !)1#$
!
#整理得)#1)$#解得)3!或)3&#!当)3
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!时#
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*的值为#或!"!故选.!
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)!/!$解析%设第一次摸出白球为事件+#第二次摸出黑球为事件,#则第一次摸出黑球为事件+!因为-!,"3
" (
4
& " ( ( # ( -!+," !$ + "
-!+,"1-!+,"3 4 1 4 3 #所以-!+%,"3 3 3 !故选/!
!$ + !$ + !$ -!," ( +
!$
( !
"!,!$解析%对于函数#3"#&!#$1!""1!#!3!#$1!"#&%!令!3!#$1!"#&%&$#即& &$& #满足
# #
(
#3"#&!#$1!""1!’$恒成立#因此#只需#$&$#即$&$#所以& &$&$!令!3!#$1!"#&%#$#即$#
#
! ( !
#
或$$&
#
!设方程"#&!#$1!""1!3$的两根分别为"
!
#"
#
#则"
!
1"
#
3#$1!#"
!
"
#
3!!当$#
#
时#
方程"#&!#$1!""1!3$有两个正根#存在""!$#16"#使得!"&#$"("#&!#$1!""1!)$$#不符合题
( (
意#舍去’当$$& 时#方程"#&!#$1!""1!3$有两个负根#因此#只需#$&$#即$&$#所以$$& !综
# #
上所述#$的取值范围为!&6#$)!
! ’"
*!-!$解析%方法一&作点-关于"轴的对称点-.$#& #则直线-./与圆0有交点!又/!1#$"#所以直线
#
’ ’ ’ ’ ! ’"
-./的方程为#3 "& #即 "&#& 3$!由题知圆0的圆心为0 ’# #半径为!#直线-./与圆0
#1 # #1 # #
#’ ’ ’
& &
#1 # # !’ !$
有交点即圆心0到直线-./的距离小于等于!#所以 &!#解得 &1& !
槡!’"#
1!
* (
#1
! ’"
方法二&作点-关于"轴的对称点-.$#& #则直线-./与圆0有交点#临界情况为直线-./与圆0相
#
数学参考答案!第!!!!!页!共"页"
书书书切!设切点为2#令3
#
3789(2-.0#易得%-.0%3槡 ! !$&’"#1 ! & ’
#
& ’
#
"# 3’!槡##所以3
#
3789(2-.03
! ! #3&3 313 $
! 槡!’!槡#"#&!#
3
"
!因为直线-.0的斜率为3
!
3!#所以直线-.2的斜率3"
!1
!
3 ! 3
#
#
#
!&
!
3 ! 3
#
#
3
#( %$ ’ #( ’ % ’$ #!’!$$
# !易得直线-.2的方程为#33"& !所以1" 4 # 4 3 # !
% ( # % # ( # * (
二!选择题"本题共(小题#每小题)分#共!*分!在每小题给出的四个选项中#有多
项符合题目要求!全部选对的得)分#部分选对的得部分分#有选错的得$分!
! !" ! # ! #
+!/,!$解析%若4!,5# #则6!4"3 5#所以6!#41!"3 51!#-正确!因为7!4"3 4 53
( ( ( ( (
# * ! !#"5&! #
5#所以7!#41!"3%7!4"3 5#/错误!-!43!"3,!4 4 #-!435&!"3,5&!4 4
+ + 5 ( ( 5 (
!!"5&!
#-!43!")-!435&!"#,错误!由教材原文#知.正确0故选/,0
(
!$!-,.!$解析%对于 -#如图#连接+0#由00 !*平面+,07#,7+平面
+,07#得00 !*,7!又+0*,7#+0,00 ! 30#+0+平面+00 ! + ! #00 !+
平面+00
!
+
!
#所以,7*平面+00
!
+
!
!又-0+平面+00
!
+
!
#所以-0*
,7#-正确0对于/#过点-作直线平行于,0#分别交+,#07 于8#9
! ! ! ! ! !
两点#连接,8#09#显然98-,
!
0 !-,0#所以四边形,098为过点-及
直线,0的正方体的截面#截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱柱#/错误0
对于,#由选项/#得 0 ! 9 3 -0 ! 3 ! #则093槡(#093 槡!槡("# 1(#3
0 ! 7 ! + ! 0 ! 槡( !
#槡(#因此截面矩形,098的面积*3,0*093)槡(#,正确!对于.#过+作+:*,8于点:#由,0*平
面+,,
!
+
!
#+:+平面+,,
!
+
!
#得+:*,0!又,8,,03,#,8+平面,098#,0+平面,098#所以
+:*平面,098#所以点:为以点+为球心#+,长为半径的球面被平面,098所截小圆圆心#球面与截
! (
面的交线为以点:为圆心#,:长为半径的半圆弧#显然(,+:3(,
!
,83($:#,:3
#
+,3
#
#因此交
("
线长为 #.正确0故选-,.0
#
!!!-.!$解析%由.; 730#知0,73/#-错误’当,3;#+0,时#73.!+1," !+,,"3., +#03.; 73
., !., +"3+#满足条件#且,103;#所以/不一定错误’当+,,3/时#73.!+1," !+,,"3+1,#又
0,73/#所以此时!+1,",03/#所以,不一定错误’因为.!+1," !+,,"37#所以70!+1,"#所以
.; !+1,"0.; 730#.错误!故选-.!
三!填空题"本题共(小题#每小题’分#共!’分!
!#!;#!$解析%由"#3!$#得<="1<=#3<="#3!!所以<= " 3<="&<=#3;!槡!<="1<=#"#&%<="*<=#3
#
;#!
’"
!(! !$解题思路%结合正弦函数的周期及向量数量积公式计算可得"%再由函数零点即可得#!
)
!! " #" !! " " !! " " !! " "
$解析%由题图可得7 #$ #又/3 #所以+ & #$ #, & #槡( #0 1 #&槡( #所以
( " ( " ( #" ( #"
数学参考答案!第!!!!#页!共"页"332 !" "332 !" " 332 332 "# !!"# " ("# (
+,3 #槡( #703 #&槡( !所以+,*703 &(3& 1( #化简得 & 3$!又"#$#所
#" #" %"# # %"# *"# #
" " ! ’" ’"
以"3 #所以 4 1#3"1#3"!3"""#解得#3 1#3"!3"""!因为$$#$"#所以#3 !
# # ( ) )
#<9#1! " %"%
!%! #! !$解题思路%方法一& 3!!")$%&"!"可以化为<9%"%1!&&"#3$!")$"!令&"#&!
<9%"%1!&&"#%")$%易得&"#&! " "
<9"1!
易得&"#&!
3!!")$%&"!"4<9%"%3&"#&!!")$"!令&"#&!
&! #"时#(.!""#$#所以(!""在!$#>&! #"上单调递增’当""!>&! ##16"时#(.!""$
$#所以(!""在!>&! ##16"上单调递减!因为在区间!%#="上存在唯一的整数#所以(!#"&&$(!!"#即
<9#1! #<9#1! "
&&$!!所以&的取值范围为 #! !
% %
%"% <9%"%1! <9%"%1!
方法二& 3!!")$#&"!"4 3&"!")$"!令(!""3 #")$#则(!&""3&(!""#
>&"#&! " "
<9"1!
所以(!""为奇函数!因为&"#&!4<9%"%3&"#&!!令&"#&!
<9%"%#")$#
#
!""3&"#&!#")$#两函数均为偶函数#所以只需考虑"#$时#
%?@A+3>#1%#&$##
#
代入已知条件#得$#1%#&>#3 >%&!>#1%#&$#"!
(
#
整理#得#%#3 >%!
(
所以>3(%3)! ……………………………………………………………………………………………… ’分
! #* !槡(
!#"方法一&由于*
5+,0
3
#
>%A29(,+0#所以A29(,+03
>%
5+,03
#
!
" #"
又(,+0"!$#""#所以(,+03 或 !
( (
由点7在(,+0的平分线上#知点7到边+,和边+0的距离相等!
! #* #4(!槡( (!槡(
设这个距离为=#则* 3 !>1%"=#所以=3 5+,03 3 !
5+,0 # >1% #1) %
= (!槡( (
所以+73 3 或 ! …………………………………………………………………… !(分
! # #
A29 (,+0
#
! #* !槡(
方法二&因为*
5+,0
3
#
>%A29(,+0#所以A29(,+03
>%
5+,03
#
!
" #"
又(,+0"!$#""#所以(,+03 或 !
( (
! ! ! !
因为*
5+,0
3*
5+,7
1*
5+07
#所以*
5+,0
3
#
%*+7*A29
#
(,+01
#
>*+7*A29
#
(,+0!
" ! " ! "
当(,+03 时#(槡(3 4#+74A29 1 4)+74A29 #
( # ) # )
(槡(
解得+73 !
#
#" ! " ! "
当(,+03 时#(槡(3 4#+74A29 1 4)+74A29 #
( # ( # (
(
解得+73 !
#
(槡( (
综上所述#+73 或+73 ! ………………………………………………………………………… !(分
# #
注&第#问共*分!第#问只得出!个答案的#得%分!
数学参考答案!第!!!!%页!共"页"!)!$解析%!!"由题意#得四面体+ +,0 是正四面体!
! ! !
如图#过点+作平面+,0 的垂线+?#交平面+,0 于点?#连
! ! ! ! ! !
接+?#,?#0?!
! ! !
由对称性知#点?为正三角形+,0 的中心!
! ! !
易得(+
!
?,
!
3!#$:#+
!
?3,
!
?#
# " !槡( !槡(
所以+?3 +,?@A 3 +,3 !…………………… (分
! ( ! ! ) ( ! ! (
因为+?*平面+
!
,
!
0
!
#+
!
?+平面+
!
,
!
0
!
#所以+?*+
!
?!
所以直线++
!
与平面+
!
,
!
0
!
所成的角为(?+
!
+!
+? ! 槡++#&+?# !槡)
因为A29(?+
!
+3
++
3
+
!
+
! 3
(
#
! !
又平面+,0-平面+
!
,
!
0
!
#
!槡)
所以直线++ 与平面+,0所成角的正弦值为 !……………………………………………………… "分
! (
!#"因为+?*平面+
!
,
!
0
!
#,
!
0 !+平面+
!
,
!
0
!
#
所以+?*,
!
0
!
!
又+
!
?*,
!
0
!
#且+?,+
!
?3?#
所以,
!
0 !*平面++
!
?!
又++ !+平面++
!
?#所以,
!
0 !*++
!
!
又++ !-,, !-00
!
#所以,
!
0 !*00
!
!
所以四边形,,00为矩形!……………………………………………………………………………… !$分
! !
所以*矩形,,!0!0 3!4!3!!
!槡( !槡) !槡( !槡) ! !槡#
因为@四棱锥+,,!0!0 3@三棱柱+,0+!,!0! &@三棱锥++!,!0! 3
%
4
(
&
%
4
(
4
(
3
)
#
所以点+到平面,,00的距离为
(@四棱锥+,,!0!0
3
!槡#
!……………………………………………… !’分
! ! *矩形,,!0!0 #
注&建系计算亦可给分!第!问共"分!第#问共*分#其中计算出正确的法向量给%分!
!"!$解析%!!"因为"&3"&>#
所以<.!""3>"&3!
当3&$时#<.!""#$恒成立#<93&3<93&>’$#即>&><93&3<93!………………………… !$分
所以(!#"3#31> ><93&3<933(3&3<93!
令A!3"3(3&3<93#3#$#则A.!3"3#&<93#令A.!3"3$#则33>#!
数学参考答案!第!!!!’页!共"页"当3"!$#>#"时#A.!3"#$#A!3"在!$#>#"上单调递增’
当3"!>##16"时#A.!3"$$#A!3"在!>##16"上单调递减!
所以A!3"
B8C
3A!>#"3>#!
所以#31>&>##即(!#"的最大值为>#! ………………………………………………………………… !’分
!*!$解析%!!"易得抛物线0
#
&##3%"的焦点为B!!#$"# …………………………………………………… !分
所以半焦距%3!!
! % ! !
又0 的离心率为 #所以C3 3 3 !
! # $ $ #
所以$3##所以>#3$#&%#3(!
"# ##
所以椭圆0 的标准方程为 1 3!!…………………………………………………………………… (分
! % (
# #
7##3%"# 7"3
(
# 7"3
(
#
联立6
"# ##
解得6 或6
8% 1 ( 3!# 8#3 #
(
槡) 8#3& #
(
槡) #
%!槡)
所以线段+,的长为 ! ………………………………………………………………………………… ’分
(
!#"由!!"知点+#,的坐标分别为
!#
#
#!槡)"
#
!#
#&
#!槡)"
!!不妨设点+在点,上方"
( ( ( (
#!槡) #
记 3#1#则 31#!
( (
易知直线-+#-,的斜率存在且不为$#
设直线-+的斜率为3
!
#则直线-+的方程为#33
!
"&3
!
1#1#1#
与抛物线方程联立#得&
!3
!
"&3
!
1#1#1"#3%"#!3!)3#
!
1#&(#3
!
11!)#$!
! #"#
解得"31##"3 1& !
! # 3
!
!! #"# ! #""
所以点9的坐标为 1& #& !…………………………………………………………… +分
3 3
! !
同理#设直线-,的方程为#33
#
"&3
#
1##!3!)3#
#
1#1(#3
#
11!)#$!
!! #"# ! #""
则点8的坐标为 11 ##11 !
3 3
# #
若3133$#则点-的坐标为!&##$"或!##$"#
! #
!槡) 槡) 槡) 槡)
所以3
!
3
%
#3
#
3&
%
或3
!
3&
#
#3
#
3
#
!均满足!#$"!
所以点9#8的横坐标均为)#
此时直线98的方程为"3)#过点!)#$"! ……………………………………………………………… !#分
! #" ! #"
#11 1#1&
3 3 # ! #"#$ ! #"
若3
!
13 #)$#则直线98的方程为#3
! #
#
"# ! #
!
"#
"& 1&
3
&
3
!
11 & 1& ! !
3 3
# !
数学参考答案!第!!!!)页!共"页"! #"#! #"# ! #"#$
#1& 11 & 1&
! #"# 3 3 3
令#3$#解得"3 1& 1 ! # !
3 ! #" ! #"
! #11 1#1&
3 3
# !
! #"# ! #"#! #" ! #"$ ! #"! #" # 3&3 #!槡) %
3 1& 1 1& 11 & 1& 3 1& 11 3 & # !4 & !
3 3 3 3 3 3 ( 33 ( 33
! ! # ! ! # ! # ! #
%1 #1!313"
联立直线-+与直线-,的方程#解得"
-
31#&
3&3
##- 3&
3
!
&3
# !
! # ! #
! %1 "# # #1!313"$#
1#& & ! #
3&3 3&3
由点-在椭圆0 上#知 ! # 1 ! # 3!!
! % (
3&3 #!槡) % !)
化简#整理得 # !4 1 3& !
33 ( 33 (
! # ! #
从而对直线98##3$时#"3)!
故直线98过定点!)#$"!………………………………………………………………………………… !"分
注&第#问共!#分!不管是用设点法还是用设线法"#合理地写出点9#8的坐标可以得%分’猜出定点坐
标#并对点-在"轴上的特殊情况讨论可以得(分!若设直线98为"33#11形式#可不讨论"!这两个给
分点相互独立!完成整个证明可以再得’分!
!+!$解析%!!"由题易知数列+$,的每一项都是正整数#
5
$ $15= =15= 51!
由$’=#$#得 51!3 & 3 #
$ $1!5&!"= =1!5&!"= 5
5
$ $
所以
5
5
1
1
!
!&
5
5#所以+$
5
,为$奇特数列%!…………………………………………………………………… %分
!#"!2"因为+$,为$奇特数列%#
5
所以+$,严格单调递增#且每一项都是正整数!
5
因为>3$1!#
5 5
所以+>,严格单调递增#且每一项都是正整数!
5
$ $
又 51!& 5!
51! 5
$ 1! $1! > > > >
所以 51! $ 5 #所以 51!$ 5#即 51!& 5!
51! 5 51! 5 51! 5
所以+>,为$奇特数列%!…………………………………………………………………………………… !$分
5
!22"由+$
5
,的定义#设$
5
35$5 #$5"#9!
> > ! >&! > &! $ $
要证
5
5&
5
5
1
1
!
!3
5!51!"
#即证 5
5
3 5
5
1
1
!
!
#只需证
5
53
5
5
1
1
!
!#即证$5 3$51! #
又$ 5$$
51!
#所以5$5$!51!"$51! !
5
所以
51!
$5$$51! !
5 5
因为
51!
$5$$51!&$5 #所以要证$51! 3$5 #只需证$5 &!$
51!
$5 #即证$5$51!#只需证$5&5#即证$ 5&5#!
!51!"$ 51! 5 51! 5 5&! #
因为$ 51!&
5
5&
5
4
5&!
$ 5&!&-&
5
4
5&!
4
5&#
4-4
!
4$3!51!"$#
所以$ 5&5$!5’#"!
因为$
!
3$&$成立#所以$ 5&5$!5"#9"!
又5’$#所以$ 5&5#!
得证!………………………………………………………………………………………………………… !"分
数学参考答案!第!!!!"页!共"页"
