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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(17)
(导数与函数的单调性)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，由 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ，
故选：D
2.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学10月月考）已知函数 ，则“ ”是“
在区间 上单调递增”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当 时， ， ，∴ 在 上单调递增，故充分性成
立，
当 在 单调递增，∴ ，即 ，∴ ，故必要性不成立，
所以“ ”是“ 在区间 上单调递增”的充分不必要条件.
故选：B
3.（2023·山东）已知函数 的导函数 图像如图所示，则 的图像是图四个图像中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， 单调递增，则 在 上增的越来越快，
当 时， 单调递减，则 在 上增的越来越慢，
当 时， 单调递减，则 在 上减的越来越快，
当 时， 单调递增，则 在 上减的越来越慢，
只有A选项符合.
故选：A.
4.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）若函数 在区间 上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 恒成立，
所以 在区间 恒成立，
即 在区间 恒成立，所以 .故选：D
5.（2023秋·江苏扬州仪征·高三仪征中学期初月考）定义在 上的函数 满足
是 的导函数，则不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式 ，设
求不等式 的解集就转化为 取何值时， ．对 求导，
，而由已知可知
，所以函数 是 上的增函数．因为
可以求出 ， ，而函数 是 上的增函数， ，
故选：C
6.已知奇函数 在 上是减函数， ，若 ， ， ，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因 为奇函数且在 上是减函数，所以 ，且 ，时 .
因 ，所以 ，故 为偶函数.
当 时， ，因 ， ，所以 .
即 在 上单调递减.
，
因 ，所以 ，即 .
故选：D.
7.（2023秋·江苏南通如皋·高三统考）已知函数 ，若对任意 ，
，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】对函数 求导得 ，
对函数 继续求导得 ，
由基本不等式得 ，
所以 在 上单调递增，
又注意到 ，
所以 、 随 的变化情况如下表：
由上表可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
又函数 的定义域为 ，关于原点对称，
且 ，
所以函数 是偶函数，
结合函数 的单调性可知， 成立当且仅当 ，
而 成立当且仅当 ，
所以原问题转化成了对任意 ，不等式组 恒成立，将不等式组变形为 ，
所以对任意 ，只需 ，
因为函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以 ， ，
综上所述：满足题意的实数 的取值范围是 .
故选：C.
8.已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ， ，
考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，又 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023春·安徽）（多选）如图是函数 的导函数 的图象， ，则下列
判断正确的是（ ）
A． 单调递增区间为 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题图知当 时， ，所以在区间 上， 单调递
增，故 正确；
对于B，当 时， 单调递减，在 上， 单调递增；当
时， 单调递减，所以 ，故B正确；
对于C， 不一定是函数的最大值，最大值可能由区间 的端点产生，所以 错误；
对于D，当 时， ， 单调递减，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
10.（2023春·重庆）已知函数 在 上有三个单调区间，则实数 的取值可以
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在 上有三个单调区间，等价 在 有两个不同的根.，令 ，则 ，
即 在 有唯不为1的一根，则有 有唯一不为1的根，
令 ，则 ，故当 单调递增，
当 单调递减，且
即 ，
故选：BD
11.若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】易知 在定义域上单调递减，故 时， ，即A错误； 在
定义域上单调递增，故 时， ，即B正确；
在定义域上单调递减，故 时， ，即C错误；
，则 ，即 在定义域上单调递增，所以 时，有
，即 ，故D正确．
故选：BD．
12.若函数 的定义域为 内的某个区间 上是增函数，且 在 上也是增函数，则称
是 上的“完美函数”，已知 ，若函数 是区间 ， 上的“完美函
数”，则正整数 的值可能为（ ）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】BCD
【解析】 ， ，
在 单调递增， ，
可以得出： 在 ， 上是单调递增．，
， ，
设 ，
， 在 上单调递增，
， （1） ，
，
在 ， 上，有 成立，
函数 在 ， 上是单调递增函数，
综合判断： ，与 在 ， 上都是单调递增函数，
，与 在 ， 上不是都为单调递增函数，
函数 是区间 ， 上的“完美函数”，
，
故选：BCD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·江苏南京·高三六校联考）函数 为在定义域内为增函数，则实
数 的取值范围为______
【答案】
【解析】∵函数 在其定义域 内是增函数，
∴ 对于任意的 恒成立，即 对于任意的 恒成
立，
即 ，
令 ，则 ，
解 ，得 , 单调递增；解 ，得 ,
单调递减；
因此当 时， 取得最小值 ，
∴ ，
故实数 的取值范围为 .
故答案为: .
14.（2023秋·江苏淮安·高三第一次调研测试）定义在 上的函数 的导函数为 ，当
时， ，且 ，则不等式 的解集为___________．
【答案】
【解析】构造函数 ，
则 ，
所以 在区间 上单调递减，
由 ，得 ，
即 ，所以 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 .
故答案为：
15.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考改编）设函数 是奇函数 的导函
数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值范围是___________.
【答案】【解析】设 ，则 ，
∵ 当 时， ，
当 时， ，即 在 上单调递减.
由于 是奇函数，所以 , 是偶函数，所以 在 上
单调递增.
又 ，所以当 或 时， ；
当 或 时， .
所以当 或 时， .
故答案为：
16.已知不等式 在 上恒成立，则实数 的最小值为___________.
【答案】 ##
【解析】因 ，可得 ，
为
构造函数 ，则 ，且 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
因为求 的最小值，只需考虑 的情形，
因为 ，则 ， ，所以， ，可得 ，则 ，
令 ，其中 ，则 ，所以，函数 上单调递减，故 ，
在
所以， ，即 ，解得 .
因此，实数 的最小值为 .
故答案为： .
