专题02利用导数求函数单调区间与单调性(解析版)_2.2025数学总复习_2023年新高考资料_专项复习_2023年新高考导数专项重点难点突破（新高考专用）

专题02 利用导数求函数单调区间与单调性 专项突破一 利用导数判断或证明函数单调性 一、多选题 1．若函数f（x）的导函数在定义域内单调递增，则f（x）的解析式可以是（ ） A． B． C． D． 【解析】A：由 ，令 ， 因为 ，所以函数 是实数集上的增函数，符合题意； B：由 ，因为一次函数 是实数集上的增函数， 所以符合题意； C：由 ，因为函数 是周期函数，所以函数 不是 实数集上的增函数，因此不符合题意； D：由 ，令 ， 则 ，当 时， 单调递减，因此不符合题意， 故选：AB 二、解答题 2．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 至少有两个零点，求a的取值范围． 【解析】(1)由 ， 在 ， 上 ，在 上 ，所以 在 上递减， 上递增， 上递减. (2)由（1）知： 极小值为 ，极大值为 ， 要使 至少有两个零点，则 ，可得 . 3．设函数 . (1)若曲线 在点 处与直线 相切，求a，b的值； (2)讨论函数 的单调性. 【解析】(1)由题意知， ，又 即 ，解得 ； (2)已知 ，令 ，知 当 时， ，此时函数 在 单调递增 当 时，令 或 ，令 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时，令 或 ，令 ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减. 4．已知函数 ， ．当 时，求证： 在 上单调递增. 【解析】证明：当 时， ， ， 则 ，又 在 上单调递增，且 ，且 （1） ， ，使得 ，当 时， ，当 , 时， ， 在 上单调递减，在 , 上单调递增， ， ， ， ， ， 在 上单调递增. 5．已知函数 ，讨论 的单调性； 【解析】因为 ， 所以 ， 当 时， ， ， 在 上单调递增． 当 时， ， ，若 ，则 ， 单调递减，若 ， 则 ， 单调递增． 当 时， ，若 ，则 ， 单调递减，若 或 ，则 ， 单调递增． 综上可得， 当 时， 在 上单调递增； 当 时 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增． 6．已知 ，设函数 . (1)讨论函数 的单调性； (2)若 恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1) ， 且 ，① ， ， 单调递增；② ， ， 单调递减； ③ ， ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增； 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 单调递减； 当 时， 在 单调递减，在 单调递增 (2) ， 即 ，令 ， 则 ，令 ，可得 ， 当 时， ，则 在 单调递减， 则只需满足 ，∴ ，解得 ，∴ ； 当 时，可得 在 单调递增，在 单调递减， 则 ，整理可得 ， 令 ，则 ， ， ，则可得 在 单调递增，在 单调递减， 则 ，故 时， 恒成立， 综上， ； 7．已知函数 . (1)当a=2时,求曲线 在点 处的切线方程；(2)设函数 ,讨论 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值. 【解析】（1）由题意 ，所以，当 时， ， ， 所以 ，因此，曲线 在点 处的切线方程是 ， 即 . （2）因为 ， 所以 ， 令 ，则 ，所以 在 上单调递增，因为 ， 所以，当 时， ；当 时， . （1）当 时， ， 当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增. 所以当 时 取到极大值，极大值是 ， 当 时 取到极小值，极小值是 . （2）当 时， ， 当 时， ， 单调递增； 所以 在 上单调递增， 无极大值也无极小值. （3）当 时， ，当 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减； 当 时， ， ， 单调递增. 所以当 时 取到极大值，极大值是 ； 当 时 取到极小值，极小值是 . 综上所述： 当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值， 极大值是 ，极小值是 ； 当 时，函数 在 上单调递增，无极值； 当 时，函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，函数既有极大值，又有极小值， 极大值是 ，极小值是 . 专项突破二 利用导数求函数单调区间(不含参) 一、单选题 1．函数 的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【解析】 ,由 ，得 ，所以 的单调递减区间为 .故选：B 2．函数 的单调递减区间为（ ）A． B． C． D． 【解析】由题得函数的定义域为 . ， 令 .所以函数的单调递减区间为 .故选：A 3．已知函数 的导函数为 ， ，则函数 的单调递增区间为（ ） A． B． ， C． D． 【解析】由 得 ，所以 ， ， ，因为 ，所以由 得 ，故选：C． 4．已知函数f(x)满足 ，则f(x)的单调递减区间为（ ） A．(-,0) B．(1,+∞) C．(-,1) D．(0,+∞) 【解析】由题设 ，则 ，可得 ， 而 ，则 ， 所以 ，即 ，则 且 递增， 当 时 ，即 递减，故 递减区间为(-,0).故选：A 二、多选题 5．函数 的一个单调递减区间是（ ）A．（e，+∞） B． C．（0， ） D．（ ，1） 【解析】 的定义域为 ， ， 所以 在区间 上 ， 递减，所以AD选项符合题意.故选：AD 三、填空题 6．函数 的单调递增区间是______． 【解析】 的定义域为 ， ，令 ，解得： 或 ， 因为定义域为 ，所以单调递增区间为 . 7．函数 ， 的增区间为___________. 【解析】由已知得 ， ， 令 ，即 ，解得 ，令 ，即 ，解得 ， 则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，故答案为: . 四、解答题 8．已知函数 ． (1)求函数 的单调区间； (2)求曲线 在点 处的切线方程． 【解析】(1) ， ，解 得 解 得 所以 的单调减区间是 的单调增区间是 ． (2)由（1）知 ，而 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ． 专项突破三 利用导数求函数单调区间(含参) 1．设函数 ，求 的单调区间． 【解析】 的定义域为 ， ． 若 ，则 ，所以 在 上单调递增． 若 ，则当 时， ；当 时， ． 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上所述，当 时，函数 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增． 2．已知函数 . (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥ 0对定义域内的任意x恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)求导可得 ① 时，令 可得 ，由于 知 ；令 ，得 ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增； ② 时，令 可得 ；令 ，得 或 ，由于 知 或 ； ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增；③ 时， ，函数 在 上单调递增； ④ 时，令 可得 ；令 ，得 或 ，由于 知 或 ∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增； (2)由（1） 时， ，（不符合，舍去） 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，故函数在 处取得最小值，所以函数 对定义域内的任意x恒成立时，只需要 即可 ，∴ . 综上， . 3．设函数 其中 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线斜率； （2）求函数 的单调区间． 【解析】（1）由题设， ，则 ， ∴ ，故点 处的切线斜率为1. （2）由题设， ，又 ， ∴ ，且 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， 或 ， 单调递减； ∴ 在 上递增，在 、 上递减. 4．已知函数 ，讨论 的单调性． 【解析】 的定义域为 ， ，若 ，则 恒成立，故 在 上为减函数； 若 ，则当 时， ，当 时， ， 故 在 上为增函数，在 上为减函数， 综上，当 时， 在 上为减函数； 当 时， 在 上为增函数，在 上为减函数． 5．已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)若 恰有一个零点，求a的值． 【解析】(1) ，令 ，得 ． 因为 ，则 ，即原方程有两根设为 ，所以 （舍去）， ． 则当 时， ，当 时， 在 上是减函数，在 上是增函数． (2)由（1）可知 ． ①若 ，则 ，即 ，可得 ， 设 ， 在 上单调递减 所以 至多有一解且 ，则 ，代入解得 ．②若 ，则 ，即 ，可得 ， 结合①可得 ，因为 ， ， 所以 在 存在一个零点． 当 时， ， 所以 在 存在一个零点．因此 存在两个零点，不合题意 综上所述： ． 6．已知函数 . (1)当 时，求 在 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【解析】(1)当 时， ， ， ， ， 故 在 处的切线方程为 ，即 ； (2) ， 当 ，即 时， ， 在R上单调递增； 当 ，即 时， 由 ，得 ，由 ，得 ， ∴ 在 上单调递减，在 上单调递增． 综上所述，当 时， 在R上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增．7．设函数 . (1)若 ，求 的极值； (2)讨论函数 的单调性. 【解析】(1)当 时， ， 所以 ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 所以当 时，该函数有极小值 ，无极大值. (2)由 ， ， 当 时，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减； 当 时， ，或 ， 当 时， ，函数在 时，单调递增， 当 时， ， 当 时， 单调递增，当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增， 当 时， ， 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递增，综上所述：当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 单调递增，在 单调递减，在 上单调递增 8．已知函数 (其中常数 )，讨论 的单调性； 【解析】 ， 记 ， ， ①当 ，即 时， ，故 ，所以 在 单调递增． ②当 ，即当 时， 有两个实根 ， ， 注意到 ， 且对称轴 ，故 ， 所以当 或 时， ， ， 单调递增； 当 时， ， ， 单调递减． 综上所述，当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减． 专项突破四 利用函数单调性比较大小 一、单选题 1．已知 ， ， ，则以下不等式正确的是（ ） A． B． C． D．【解析】令 ,则 , 当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 因为 ,所以 ,所以 故选:C 2．设 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】根据题意， ，则 ， 构造函数 ，所以 恒成立， 所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，所以 ， 故 .故选：A 3．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】根据题意， ， ， . 令 ，则 ，由 得 ；由 得 ； 则函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 又 ，所以 ，因此 ．故选：D． 4．已知函数 ， ， ， ，则 ， ， 大小（ ） A． B． C． D． 【解析】由题意，函数 ，可得 ， 当 时，可得 ， 单调递增，又由 ，且 ， 所以 ，所以 .故选：B. 5．已知 ，则a、b、c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【解析】由题可知 ，构造函数 ，则 ， 所以 在 单调递增， 单调递减，所以 ，即c最大； 对于a、b，构造函数 ， 因为 ，令 ，得 ， 在 上， ， 单调递增； 所以 ， 从而 ， ， ，即 ，综上， .故选：A 6．若 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】令 ，则 恒成立，故 单调递增， 由 可得： ，故 ，A错误，B正确； 可能比1大，可能等于1，也可能 ，故不能确定 与0的大小关系，CD错误.故选：B 7．已知 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】设 ，则 ，又 ，于是当 时， ，故 单调递减，注意到 ，则有 ，即 .故选： B. 8．已知函数 为函数 的导函数，满足 ， ， ， ，则下面大小关系正确的是（ ） A． B． C． D． 【解析】根据题意， ， 变换可得： ， 解析可得， ， ， ， ， ， ，所以函数 在 上单调递增， 所以 ，即 ，故选：A. 9．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D．【解析】 ， ， 构造函数 且 当 时 ,此时 ;当 时 ,此时 . 故 当 单调递减,当 单调递增. 故 故 ， 又 即 ，故 ，故选: B 10．若 ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】对于A,B,令 ，则 ， 当 时， 单调递增， 且 故存在 ，使得 ， 则当 时， 递减，当 时， 递增， 由于 ，此时 大小关系不确定，故A,B均不正确； 对于C,D,设 ，则 ， 当 时， ，故 单调递减， 所以当 时， ，即 ，即 ， 故C错误，D正确， 故选：D11．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 【解析】∵ ，构造函数 ， ， 令 ，则 ， ∴ 在 上单减，∴ ，故 ， ∴ 在 上单减，∴ ，∴ ∴ .∴ ，同理可得 ， ，故 ，故选：A 二、多选题 12．下列命题为真命题的个数是（ ） A． B． C． D． 【解析】设函数 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 故 在 上递增，在 上递减， 对于A，由 ，故 ,即 ， 即 ，A正确； 对于B， ，故 ，即 ，即 ，B错误； 对于C， ，故 ，即 ，故 ，则 ，故C正确； 对于D， ，故 ，即 ， 即 ，D正确， 故选：ACD 专项突破五 函数与导函数图像关系 一、单选题 1．函数 在定义域 内可导，图像如图所示，记 的导函数为 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】 的解集即为 单调递增区间 结合图像可得 单调递增区间为 则 的解集为 ，故选：C． 2．如图是函数y=f（x）的导函数 的图象，则下列判断正确的是（ ）A．在区间 上f（x）单调递增 B．在区间（1，3）上f（x）单调递减 C．在区间 上f（x）单调递增 D．在区间（3，5）上f（x）单调递增 【解析】由导数图象知，在区间 上小于0，在 上大于0，函数f（x）先减后增，A错误； 在区间 上大于0，在 上小于0，函数f（x）先增后减，B错误； 在区间 上大于0，函数f（x）单调递增，C正确；在区间 上小于0， 在 上大于0，函数f（x）先减后增，D错误.故选：C. 3．函数f（x）的图象如图所示，则 的解集为（ ） A． B． C． D． 【解析】由函数图象与导函数大小的关系可知：当 时， ， 当 时， ， 故当 时， ；当 时， ； 当 时， ，故 的解集为 .故选：A4．若函数 的导函数图象如图所示，则该函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】由导函数图像可知，原函数的单调性为先单增后单减再单增，符合的只有A选项. 故选：A 5．已知 ， 为 的导函数，则 的图像大致是（ ） A． B． C． D． 【解析】 ， 为奇函数，则函数 的图像关于原点对称，排除选项A、D，令 ， ，当 ， ， 在 递减，故选B． 6．已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A． B． C． D．【解析】由函数 的图象可知，当 时， 单调递增， 所以 ， ， ，由此可知， 在 上恒大于0， 因为直线的斜率逐渐增大，所以 单调递增，结合导数的几何意义， 故 ，所以 ，故选：A．