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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(16)
(导数的几何意义和四则运算)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023秋·江苏徐州·高三部分学校期初联考）设 是可导函数,且满足 ,则
曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A. 4 B. -1 C. 1 D. -4
【答案】D
【解析】由 ，
得 ，
∴曲线 在点 处的切线斜率为-4，
故选：D.
2.（2023秋·江苏南京·高三六校联考）下列求导正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】对于A， ，故A错误；
对于B，根据复合函数的求导法则，
，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D， ，故D错误.
故选：C.3.（2023秋·河北邯郸·高三统测）设函数 在 处的切线与直线 平行，则
（ ）
A. B. 2 C. D. 1
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，
由已知 ，故 ，
函数 的导函数 ，
所以 ，
因为函数 在 处的切线与直线 平行，
所以 ，所以 ，经验证，此时满足题意.
故选：D.
4.（2023秋·河北·高部分学校联考）设 为 的导函数，若 ，则曲线
在点 处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 ，
所以 ，
令 ，
， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为： ，即 .
故选：D
5.（2023秋·广东广州·高三中山大学附属中学9月月考）过点 作曲线 的两条切线，切点
分别为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，设切点坐标为 ，
所以 ，所以切线方程为 ，
所以 ，即 ，
依题意关于 的方程 有两个不同的解 、 ，
即关于 的方程 有两个不同的解 、 ，
所以 .
故选：D
6.若过第一象限的点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设切点 ，则 ，
得 ，
设 ，由条件可知，函数存在两个零点，
，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值，若函数有2个零点，
则 .
故选：D
7.若直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D.
【答案】B【解析】设切点坐标为 ，因为 ，
所以 ，故切线的斜率为： ，
，则 .
又由于切点 在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 .
令 ，则 ，设 ，
，令 得： ，
所以当 时， ， 是增函数；
当 时， ， 是减函数.
所以 .
所以 的最大值为：1.
故选：B.
8.已知函数 ， ，若总存在两条不同的直线与曲线 ， 均相
切，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设函数 上的切点坐标为 ，且 ，函数 上的切点坐标为
，且 ，
又 ， ，则公切线的斜率 ，则 ，所以 ，
则公切线方程为 ，即 ，
代入 得 ，则 ，整理得 ，
若总存在两条不同的直线与函数 ， 图象均相切，则方程 有两个不同的
实根，
设 ，则 ，
令 得 ，
当 时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极大值即最大值，即 ，
由 可得 ，又当 时， ；当 时， ，
所以 ，解得 ，故实数 的取值范围为 .
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023春·安徽合肥·高三月考）下列函数在 处的切线倾斜角是锐角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是钝角，A错误；
由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是锐角，B正确；
由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是锐角，C正确；由 可得 ，则 ，
故 在 处的切线倾斜角是钝角，D正确；
故选：BC
10.（2023秋·湖南·高三湖南师范大学附属中学月考）已知过点A（a，0）作曲线 的切线有且仅
有两条，则实数a的值可以是（ ）
A. －2 B. 4 C. 0 D. 6
【答案】AD
【解析】设切点为 ，则 ，所以切线方程为： ，切线过点
A （ a ， 0 ） ， 代 入 得 ： ， 即 方 程 有 两 个 解 ， 则 有
或 ．
故选：AD.
11.（2023秋·湖南·高三重点高中智学联盟联考）已知函数 ，若过点
可作曲线 的三条切线，则 的值可以为（ ）
A. B. 4 C. D. 22
【答案】BC
【解析】因为 ，设切点为 ，
则切线方程为 ，
将 ， 代入得， ，
令 ，则 ，
或 时， ，当 时， ，
故函数 的单增区间为 和 ， 的单减区间为 ，
的极大值为 ，极小值为 ，由题意知， ，又 为整数，
， ， ，20，21
故选：BC
12.（2023届江苏无锡天一中学考前最后一模）若存在直线与曲线 都相
切，则 的值可以是（ ）
A. 0 B. C. D.
【答案】ABC
【解析】设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 .
设该直线与 相切于点 ，因为 ，所以 ，
所以该切线方程为 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，
所以当 时， 0；当 时， ；
在 和 上单调递减；在 和 上单调递增；
又 ，所以 ，
所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 ，
所以A正确；对于B， ，所以 ，所以B正确；
对于C， 因为 ，所以C正确；
对于D， 因为 ，所以D不正确.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·江苏苏州·高三南京师范大学苏州实验学校月考）设曲线 在点 处的切线与曲线
在点 处的切线垂直，则点 的横坐标为__________．
【答案】
【解析】 ， ，则 ，
则 ，得 ．
故答案为：
14.已知直线 分别与曲线 ， 相切于点 ， ，则 的值为
____________.
【答案】1
【解析】由 ， ，有 ， ，
在点 处的切线方程为 ，
在点 处的切线方程为 ，
则有 ，得 ，
所以 ，可得 .
故答案为：1.15.若函数 的图象上存在不同的两点，使函数图象在这两点处的切线斜率之积小于0且斜率之和等
于常数e，则称该函数为“e函数”，下列四个函数中，其中为“e函数”的是________．
① ；② ；③ ；④
【答案】①③④
【解析】记 ， ， ．
① ， ， ，当 时， ，当 时，
，∴ 时， 有最小值 ， 值域为 ，
∴存在 、 使 ，故 是e函数；
②
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，不存在 、 使 ，
故 不是e函数；
③ ， ， 值域为R，
∴存在 、 使 ，故 是e函数；
④ ，
值域为 ，
∴存在 、 使 ，故 是e函数．故答案为：①③④
16.设函数 ， 的定义域均为 ，且函数 ， 均为偶函数．若当 时，
，则 的值为________．
【答案】
【解析】因为函数 ， 的定义域均为R，且函数 为偶函数，
则 ，
求导得 ，
即 ，
所以函数 的图像关于 对称．
因为函数 为偶函数，
所以 ，
所以函数 的图像关于 对称，
由函数 的图像关于 对称，且关于直线 对称．
所以函数 的周期为 ，．
由 ，
，
，
所以 ，即 ，即 ，
所以当 时，
于是 ．
故答案为：
