高考数学一轮复习讲义复　数_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

§5.5
复
数
最新考纲
考情考向分析
1.理解复数的基本概念.
2.理解复数相等的充要条件.
3.了解复数的代数表示法及其几何意义.
4.能进行复数代数形式的四则运算.
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚
部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的
充要条件，考查复数的代数形式的四则运
算，重点考查复数的除法运算，突出考查运
算能力与数形结合思想.一般以选择题、填
空题的形式出现，难度为低档.
1.复数的有关概念
(1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚
部(i 为虚数单位).
(2)分类：
满足条件(a，b 为实数)
复数的分类
a＋bi 为实数⇔b＝0
a＋bi 为虚数⇔b≠0
a＋bi 为纯虚数⇔a＝0 且b≠0
(3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共轭复数：a＋bi 与c＋di 共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量OZ
→的模叫做复数z＝a＋bi 的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2(a，b∈R).
2.复数的几何意义
复数z＝a＋bi 与复平面内的点Z(a，b)及平面向量OZ
→＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.
3.复数的运算
(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
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(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2 可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ
→＝OZ1
→＋OZ2
→，
Z1Z2
—→＝OZ2
→－OZ1
→.
概念方法微思考
1.复数a＋bi 的实部为a，虚部为b 吗？
提示
不一定.只有当a，b∈R 时，a 才是实部，b 才是虚部.
2.如何理解复数的加法、减法的几何意义？
提示
复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.
题组一
思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)方程x2＋x＋1＝0 没有解.(
×
)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.(
×
)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.(
×
)
(4)原点是实轴与虚轴的交点.(
√
)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的
模.(
√
)
题组二
教材改编
2.设z＝1－i
1＋i
＋2i，则|z|等于(
)
A.0
B.1
2
C.1
D. 2
答案
C
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解析
∵z＝1－i
1＋i
＋2i＝
1－i2
1＋i1－i
＋2i＝－2i
2
＋2i＝i，
∴|z|＝1.故选C.
3.在复平面内，向量AB
→对应的复数是2＋i，向量CB
→对应的复数是－1－3i，则向量CA
→对应的
复数是(
)
A.1－2i
B.－1＋2i
C.3＋4i
D.－3－4i
答案
D
解析
CA
→＝CB
→＋BA
→＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4.若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i 为纯虚数，则实数x 的值为(
)
A.－1
B.0
C.1
D.－1 或1
答案
A
解析
∵z 为纯虚数，∴
x2－1＝0，
x－1≠0，
∴x＝－1.
题组三
易错自纠
5.设a，b∈R，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋b
i为纯虚数”的(
)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案
C
解析
∵复数a＋b
i＝a－bi 为纯虚数，∴a＝0 且－b≠0，即a＝0 且b≠0，∴“ab＝0”是“复
数a＋b
i为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.
6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z 满足iz＝2－2i(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对
应的点所在的象限是(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
B
解析
由题意，∵z＝2－2i
i
＝2－2i·－i
i·－i
＝－2－2i，
∴z ＝－2＋2i，则z 的共轭复数z 对应的点在第二象限.故选B.
7.i2 014＋i2 015＋i2 016＋i2 017＋i2 018＋i2 019＋i2 020＝________.
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答案
－i
解析
原式＝i2＋i3＋i4＋i1＋i2＋i3＋i4＝－i.
题型一
复数的概念
1.若复数z 满足(1＋2i)z＝1－i，则复数z 的虚部为(
)
A.3
5
B.－3
5
C.3
5i
D.－3
5i
答案
B
解析
因为(1＋2i)z＝1－i，
所以z＝1－i
1＋2i
＝1－i1－2i
5
＝－1－3i
5
，
因此复数z 的虚部为－3
5，故选B.
2.(2019·大连质检)复数2＋i
1＋i
的共轭复数是(
)
A.－3
2＋1
2i
B.－3
2－1
2i
C.3
2－1
2i
D.3
2＋1
2i
答案
D
解析
由复数2＋i
1＋i
＝
(2＋i)1－i
1＋i1－i
＝3－i
2
＝3
2－1
2i，
所以共轭复数为3
2＋1
2i，故选D.
3.(2018·抚顺模拟)已知复数a＋2i
2－i
是纯虚数(i 是虚数单位)，则实数a 等于(
)
A.－4
B.4
C.1
D.－1
答案
C
解析
a＋2i
2－i
＝a＋2i2＋i
2－i2＋i
＝2a－2＋a＋4i
5
，
∵复数a＋2i
2－i
为纯虚数，
∴2a－2＝0 且a＋4≠0，
解得a＝1.故选C.
思维升华复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数等，在解题中要注意辨析
概念的不同，灵活使用条件得出符合要求的解.
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题型二
复数的运算
命题点1
复数的乘法运算
例1
(1)(2018·全国Ⅲ)(1＋i)(2－i)等于(
)
A.－3－i
B.－3＋i
C.3－i
D.3＋i
答案
D
解析
(1＋i)(2－i)＝2＋2i－i－i2＝3＋i.
(2)i (2＋3i)等于(
)
A.3－2i
B.3＋2i
C.－3－2i
D.－3＋2i
答案
D
解析
i(2＋3i)＝2i＋3i2＝－3＋2i，故选D.
命题点2
复数的除法运算
例2
(1)(2018·全国Ⅱ)1＋2i
1－2i
等于(
)
A.－4
5－3
5i
B.－4
5＋3
5i
C.－3
5－4
5i
D.－3
5＋4
5i
答案
D
解析
1＋2i
1－2i
＝
1＋2i2
1－2i1＋2i
＝1－4＋4i
1－2i2
＝－3＋4i
5
＝－3
5＋4
5i.
故选D.
(2)(2019·通辽诊断)已知i 为虚数单位，复数z 满足iz＝2z＋1，则z 等于(
)
A.－2
5－1
5i
B.2
5＋1
5i
C.2＋i
D.2－i
答案
A
解析
由iz＝2z＋1，得(2－i)z＝－1，
解得z＝－1
2－i
＝－2＋i
5
，
即z＝－2
5－1
5i，故选A.
命题点3
复数的综合运算
例3 (1)(2019·盘锦模拟)已知z(1＋i)＝－1＋7i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则| z |等于
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(
)
A. 2
B.3＋4i
C.5
D.7
答案
C
解析
z＝－1＋7i
1＋i
＝－1＋7i1－i
2
＝3＋4i，
故z ＝3－4i⇒| z |＝5，故选C.
(2)(2018·乌海模拟)对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，有下列四个结论：①αβ＝1；②α
β＝－i；
③|
α
β|＝1；
④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
对于两个复数α＝1－i，β＝1＋i，
①αβ＝(1－i)·(1＋i)＝2，故①不正确；
②α
β＝1－i
1＋i
＝1－i1－i
1＋i1－i
＝－2i
2
＝－i，故②正确；
③|
α
β|＝|－i|＝1，故③正确；
④α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝1－2i－1＋1＋2i－1＝0，故④正确.故选C.
思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的四则运算.
(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
跟踪训练1
(1)已知a∈R，i 是虚数单位，若z＝3＋ai，z· z ＝4，则a 为(
)
A.1 或－1
B.1
C.－1
D.不存在的实数
答案
A
解析
由题意得z ＝3－ai，
故z· z ＝3＋a2＝4⇒a＝±1，故选A.
(2)(2019·铁岭质检)已知复数a＋bi＝1－i2
1＋i
(i 是虚数单位，a，b∈R)，则a＋b 等于(
)
A.－2
B.－1
C.0
D.2
答案
A
解析
由复数的运算法则，可得
1－i2
1＋i
＝－2i
1＋i
＝－2i1－i
1＋i(1－i)＝－2i－2
2
＝－1－i，
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结合题意可得a＋bi＝－1－i，即a＝－1，b＝－1，
据此可得a＋b＝－2.故选A.
题型三
复数的几何意义
例4
(1)(2018·赤峰质检)复数z 满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z 在复平面内对应的点位于(
)
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
∵(2＋i)z＝|3－4i|＝9＋16＝5，
∴(2－i)(2＋i)z＝5(2－i)，
5z＝5(2－i)，z＝2－i，
z 在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D.
(2)如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C 分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：
①AO
→，BC
→所表示的复数；
②对角线CA
→所表示的复数；
③B 点对应的复数.
解
①∵AO
→＝－OA
→，∴AO
→所表示的复数为－3－2i.
∵BC
→＝AO
→，∴BC
→所表示的复数为－3－2i.
②∵CA
→＝OA
→－OC
→，∴CA
→所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
③OB
→＝OA
→＋AB
→＝OA
→＋OC
→，
∴OB
→所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B 点对应的复数为1＋6i.
思维升华复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个向量对应的复数时，
只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相等直接给出结论即可.
跟踪训练2
(1)(2018·阜新模拟)已知复数z＝5i
3＋4i
(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 对应的
点在(
)
A.第四象限
B.第三象限
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C.第二象限
D.第一象限
答案
A
解析
∵z＝5i
3＋4i
＝
5i·(3－4i)
(3＋4i)·(3－4i)＝4
5＋3
5i，
∴z ＝4
5－3
5i，则z 的共轭复数z 对应的点在第四象限.故选A.
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C，O 为坐标
原点，若OC
→＝xOA
→＋yOB
→，则x＋y 的值是________.
答案
5
解析
由已知得A(－1,2)，B(1，－1)，C(3，－2)，
∵OC
→＝xOA
→＋yOB
→，
∴(3，－2)＝x(－1,2)＋y(1，－1)＝(－x＋y,2x－y)，
∴
－x＋y＝3，
2x－y＝－2，
解得
x＝1，
y＝4，
故x＋y＝5.
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则z1
z2
等于(
)
A.－8－6i
B.－8＋6i
C.8＋6i
D.8－6i
答案
C
解析
∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴z1
z2
＝6－8i
－i
＝6－8ii
－i2
＝8＋6i.
2.(2019·包头质检)若复数z 满足(1＋2i)·z＝2＋i，其中i 为虚数单位，则|z|等于(
)
A.3
5
B.4
5
C.1
D.2
答案
C
解析
由题意可得z＝2＋i
1＋2i
，
则|z|＝|
2＋i
1＋2i|＝
|2＋i|
|1＋2i|＝5
5
＝1.故选C.
3.已知i 为虚数单位，则复数2
1＋i在复平面内所对应的点在(
)
A.第一象限
B.第二象限
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C.第三象限
D.第四象限
答案
D
解析
2
1＋i＝
21－i
1＋i1－i
＝2－2i
2
＝1－i，在复平面内对应的点为(1，－1)，所以在第四象限，
故选D.
4.已知i 为虚数单位，若复数z 满足z＋i
z－i
＝1＋i，那么|z|等于(
)
A.1
B. 2
C. 5
D.5
答案
C
解析
∵z＋i
z－i
＝1＋i，z＋i＝(1＋i)(z－i)，iz＝(2＋i)i，
∴z＝2＋i，∴|z|＝1＋4＝5，故选C.
5.已知i 为虚数单位，a∈R，若i－2
a－i
为纯虚数，则a 等于(
)
A.1
2
B.－1
2
C.2
D.－2
答案
B
解析
由题意知i－2
a－i
＝
(i－2)(a＋i)
(a－i)(a＋i)
＝－2a－1＋a－2i
a2＋1
＝－2a－1
a2＋1
＋a－2
a2＋1
i，
又由i－2
a－i
为纯虚数，
所以－2a－1＝0 且a－2≠0，解得a＝－1
2，故选B.
6.若复数z 满足(3＋4i)z＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于(
)
A.－1
5－7
5i
B.－1
5＋7
5i
C.－1
25－7
25i
D.－1
25＋7
25i
答案
D
解析
由题意可得z＝1－i
3＋4i
＝1－i3－4i
3＋4i3－4i
＝－1－7i
25
，
所以z ＝－1
25＋7
25i，故选D.
7.已知复数z 满足z2＝12＋16i，则z 的模为(
)
A.20
B.12
C.2 5
D.2 3
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答案
C
解析
设z＝a＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
则
a2－b2＝12，
2ab＝16，
解得
a＝4，
b＝2
或
a＝－4，
b＝－2，
即|z|＝a2＋b2＝16＋4＝2 5.故选C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m 的值为
________.
答案
3 或6
解析
∵M∩N＝{3}，∴3∈M 且－1∉M，
∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3 或m＝3，
∴m2－5m－6＝0 且m≠－1 或m＝3，
解得m＝6 或m＝3，经检验符合题意.
9.(2018·江苏)若复数z 满足i·z＝1＋2i，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________.
答案
2
解析
由i·z＝1＋2i，得z＝1＋2i
i
＝2－i，
∴z 的实部为2.
10.(2018·天津)i 是虚数单位，复数6＋7i
1＋2i
＝________.
答案
4－i
解析
6＋7i
1＋2i
＝6＋7i1－2i
1＋2i1－2i
＝20－5i
5
＝4－i.
11.已知复数z 满足z＋3
z＝0，则|z|＝________.
答案
3
解析
由复数z 满足z＋3
z＝0，则z2＝－3，
所以z＝± 3i，所以|z|＝3.
12.若复数z＝1－i，则z＋1
z的虚部是________.
答案
－1
2
解析
z＋1
z＝1－i＋1
1－i＝1－i＋1＋i
2
＝3
2－1
2i，故虚部为－1
2.
13.(2018·营口质检)已知复数z 满足(1－i)z＝i3，则|z|＝________.
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答案
2
2
解析
由题意知z＝i3
1－i＝－i1＋i
1－i1＋i
＝－i＋1
2
＝1
2－1
2i，
则|z|＝
1
2 2＋－1
2 2＝2
2 .
14.(2019·乌海调研)已知i 为虚数单位，复数z(1＋i)＝2－3i，则z 的虚部为________.
答案
－5
2
解析
由z(1＋i)＝2－3i，
得z＝2－3i
1＋i
＝2－3i1－i
1＋i1－i
＝－1－5i
2
＝－1
2－5
2i，
则z 的虚部为－5
2.
15.已知复数z＝bi(b∈R)，z－2
1＋i
是实数，i 是虚数单位.
(1)求复数z；
(2)若复数(m＋z)2 所表示的点在第一象限，求实数m 的取值范围.
解
(1)因为z＝bi(b∈R)，
所以z－2
1＋i
＝bi－2
1＋i
＝bi－21－i
1＋i1－i
＝b－2＋b＋2i
2
＝b－2
2
＋b＋2
2
i.
又因为z－2
1＋i
是实数，所以b＋2
2
＝0，
所以b＝－2，即z＝－2i.
(2)因为z＝－2i，m∈R，
所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4mi＋4i2
＝(m2－4)－4mi，
又因为复数(m＋z)2 所表示的点在第一象限，
所以
m2－4>0，
－4m>0，
解得m<－2，
即m∈(－∞，－2).
16.若虚数z 同时满足下列两个条件：
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①z＋5
z是实数；
②z＋3 的实部与虚部互为相反数.
这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.
解
存在.设z＝a＋bi(a，b∈R，b≠0)，
则z＋5
z＝a＋bi＋
5
a＋bi
＝a
1＋
5
a2＋b2 ＋b
1－
5
a2＋b2 i.
又z＋3＝a＋3＋bi 的实部与虚部互为相反数，
z＋5
z是实数，
根据题意有b
1－
5
a2＋b2 ＝0，
a＋3＝－b，
因为b≠0，所以
a2＋b2＝5，
a＝－b－3，
解得
a＝－1，
b＝－2
或
a＝－2，
b＝－1.
所以z＝－1－2i 或z＝－2－i.
17.(2018·本溪模拟)若复数a＋i
1＋i
(i 是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a 的取
值范围是(
)
A.(－∞，－1)
B.(1，＋∞)
C.(－1,1)
D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案
C
解析
由题意得z＝a＋i
1＋i
＝a＋i1－i
1＋i1－i
＝a＋1＋1－ai
2
，
因为z 在复平面内对应的点在第一象限，
所以
a＋1>0，
1－a>0，
所以－1<a<1.故选C.
18.已知a∈R，i 是虚数单位，若复数z＝a＋3i
3＋i
∈R，则复数z＝________.
答案
3
解析
∵复数z＝a＋3i
3＋i
＝
(a＋3i)( 3－i)
( 3＋i)( 3－i)
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＝3(1＋a)＋3－ai
4
＝3(1＋a)
4
＋3－a
4
i∈R，
∴3－a
4
＝0，即a＝3.
则复数z＝31＋a
4
＝4 3
4 ＝3.
19.复数z1，z2 满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋4sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则
λ的取值范围是(
)
A.[－1,8]
B. －9
16，1
C. －9
16，7
D.
9
16，7
答案
A
解析
由复数相等的充要条件可得
m＝2cos θ，
4－m2＝λ＋4sin θ，
化简得4－4cos2θ＝λ＋4sin θ，
由此可得λ＝－4cos2θ－4sin θ＋4
＝－4(1－sin2θ)－4sin θ＋4
＝4sin2θ－4sin θ＝4 sin θ－1
2 2－1，
因为sin θ∈[－1,1]，
所以4sin2θ－4sin θ∈[－1,8].
20.给出下列命题：
①若z∈C，则z2≥0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若a∈R，则(a＋1)i 是纯虚数；
④若z＝－i，则z3＋1 在复平面内对应的点位于第一象限.
其中正确的命题是________.(填上所有正确命题的序号)
答案
④
解析
由复数的概念及性质知，①错误；②错误；
若a＝－1，则a＋1＝0，不满足纯虚数的条件，③错误；
z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1，④正确.
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