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作业 09 复数综合
1. 数集的分类
其中正整数的符号为： 或
2. 虚数单位
，规定
3. 虚数单位的周期
4. 复数的代数形式
Z= ， 叫实部， 叫虚部
5. 复数的分类
6. 复数相等
若
7. 共轭复数
若 两 个 复 数 的 实 部 相 等 ， 而 虚 部 是 互 为 相 反 数 时 ， 这 两 个 复 数 叫 互 为 共 轭 复 数 ；
，
推广：
结论：
8. 复数的几何意义
学科网（北京）股份有限公司复数 复平面内的点
9. 复数的模
， 则 ；
10.复数的四则运算
设z＝a＋bi，z＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
1 2
(1)加法：z＋z＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
1 2
(2)减法：z－z＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
1 2
(3)乘法：z·z＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
1 2
(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
设z，z，z∈C，则复数加法满足以下运算律：
1 2 3
(1)交换律：z＋z＝z＋z；
1 2 2 1
(2)结合律：(z＋z)＋z＝z＋(z＋z)．
1 2 3 1 2 3
一、单选题
1．复数 的模长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，再计算其模即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故选：B
2．已知 为虚数单位若复数 ，则 的虚部是（ ）
A．1 B． C．i D．
【答案】A
学科网（北京）股份有限公司【分析】先化简复数，再利用复数的有关概念求解.
【详解】解：因为复数 ，
所以 的虚部是1，
故选：A
3．已知复数 ，则在复平面内表示复数 的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】首先化简复数，再根据复数的几何意义，即可判断选项.
【详解】 ，对应的点在第一象限.
故选：A
4．复平面内表示复数 的点位于四象限时，实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解.
【详解】由已知复平面内表示复数 的点位于四象限，
则 ，即 ，
即 ，
故选：B.
5．在复平面内，复数 对应的点关于直线 对称，若 ，则 （ ）
A． B．5 C． D．1
【答案】C
【分析】由 关于直线 对称求出 ，再根据复数模的定义计算即可．
【详解】因为 ，所以其对应点为 ，
关于直线 对称的点为 ，则 ，
所以 ，
故选：C．
二、多选题
6．已知复数 其中 为虚数单位 ，复数 的共轭复数为 ，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C．复数 的虚部为 D．
【答案】CD
【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数 ，再一一判断即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，故A错误；
，故B错误；
复数 的虚部为 ，故C正确；
，故D正确.
故选：CD
7．已知 均为复数，则下列结论中正确的有（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则 是实数
C．若 ，则 D．若 ，则 是实数
【答案】BD
【分析】对于选项A，举反例即可判断正误；对于选项B，令 ，则 ，进一步计算即可判
断正误；对于选项C，举反例即可判断正误；对于选项D，令 ，则 ，进一步计算即可
判断正误.
【详解】对于A：若 ，可得 ，而 ，故A错误；
对于B：由 ，令 ，则 ，
则 为实数，故B正确；
对于C：设 ，则 ， ，
满足 ，但 ，故C错误；
若 ，可令 ，则 ，
则 为实数，故D正确.
故选：BD.
8．已知复数 ，下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共轭复数、复数模的意义计算判断BC.
【详解】对于A，取 ， ，而 ，A错误；
对于B，设 ，
，由 ，
得 ， ，B正确；
对于C，由 及已知得 ，设 ，
，解得 ，
则 ，C正确；
对于D，取 ， ，而 ，D错误.
故选：BC
三、填空题
9．方程 在复数范围内的解是 ．
【答案】
【分析】利用配方法和复数的运算性质结合虚数单位，求解即可.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ，
则解集为 .
.故答案为： .
10．若复数 满足 ，则 ．
【答案】
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，所以 ，结合复数模的运算法则，即可求解.
【详解】由复数 ，可得 ，所以 ，可得 .
故答案为： .
四、解答题
11．已知复数 ， .
学科网（北京）股份有限公司(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内对应的点在直线 上，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用复数的概念得出 ，解方程即可求解.
（2）将在复平面内对应的点代入直线方程即可求解.
【详解】（1）复数 ，实部为 ，虚部为 ，
若 为纯虚数，则 ，解得 .
（2）因为 在复平面内对应的点为 ，
由题意可得： ，解得 .
12．已知复数 ， ， ，它们所对应的点分别为 、 、 ，在复平面上构成一
个正方形的三个顶点．
(1)画出示意图，验证说明 ；
(2)求这个正方形的第四个顶点对应的复数．
【答案】(1)图见解析，验证说明见解析
(2)
【分析】（1）首先确定点的坐标，再画出图形，计算出 ，即可说明；
（2）法一：根据正方形的对称性计算可得；法二：设设正方形的第四个顶点对应的坐标是 ，则其
对应的复数为 ， ， 根据 计算可得.
【详解】（1）因为复数 ， ， ，它们所对应的点分别为 、 、 ，
则 、 、 ，
所以 ， ，
学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 ，
所以 ．
（2）法一：设正方形的第四个顶点对应的坐标是 ，则其对应的复数为 ， ，
因为点 与点 关于原点对称，所以原点 为正方形的中心，
则点 与点 也关于原点对称，
所以 ，故 对应的复数为 ．
法二：设正方形的第四个顶点对应的坐标是 ，则其对应的复数为 ， ，
又 ， ．
因为 ，所以 ，解得 ，
所以 ，故 对应的复数为 ．
1．（多选）已知复数 ，则（ ）
A． B．复数 对应的点在第二象限 C． D．复数 的虚部是
【答案】AC
【分析】先由复数的运算化简已知复数，再由模长的运算可得A正确；由复数的几何意义判断B错误；由
共轭复数和复数的运算可得C正确；由复数的概念可得D错误.
【详解】
，
A： ，故A正确；
B：复数 对应的点为 ，在第一象限，故B错误；
C： ，所以 ，故C正确；
D：复数 的虚部是1，故D错误；
故选：AC.
2．已知 ， 是方程 的两根，则 ， .
【答案】
学科网（北京）股份有限公司【分析】首先求出方程的两根 ， ，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.
【详解】因为 ， 是方程 的两根，又 ，
即 或 ，
不妨令 ，
所以 ；
又 ，所以 .
故答案为： ；
3．（多选）已知 ，方程 有一个虚根为 为虚数单位，另一个虚根为 ，
则（ ）
A． B．该方程的实数根为1
C． D．
【答案】AB
【分析】利用方程根的意义，借助复数运算及复数为0的充要条件求出 ，再逐项计算判断即可.
【详解】由 是方程 的根，得 ，
整理得 ，而 ，因此 ，解得 ，
对于A， ，A正确；
对于BC，方程 ，变形为 ，
显然此方程还有一个实根1，另一个虚根 ，B正确，C错误；
对于D， ，D错误.
故选：AB
4．（多选）设 为复数，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
学科网（北京）股份有限公司C．若 ，则 D．若 ，则 的取值范围是
【答案】BCD
【分析】利用特殊值判断A，根据复数的模得到 ，即可判断B，根据复数的模及复数代数形式的乘
法运算判断C，设 ，根据复数模的几何意义判断D.
【详解】对于A：设 ， ，则 ， ，满足 ，
但是 ， ，虚数不能比较大小，故A错误；
对于B：因为 ，所以 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C：设 ，
则 ， ， ， ，
若 ，则 ，
又 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D：设 ，由 ，所以 ，
点 在以 为圆心，半径 的圆形区域内（包括边界），
因为 ，
所以 ，表示圆形区域的点 到定点 的距离，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 的取值范围是 ，故D正确.
故选：BCD
学科网（北京）股份有限公司5．已知复数 的实部与虚部的和为 ．
(1)若 ，且 ，求复数 的虚部；
(2)当 取得最小值时，且 在第四象限，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简复数 ，得到 ，根据 ，求得 ，得到
，求得 ，即可求解；
（2）由（1）知，函数 ，得到 ，化简得到 ，结合 在第四象
限，列出不等式组，即可求解.
【详解】（1）解：根据题意，复数 ，
所以复数 的实部为 ，虚部为 ，则
因为 ，可得 ，又因为 ，解得 ，
所以 ，可得 ，所以复数 的虚部为 .
（2）解：由（1）知，函数 ，
则当 时， 取得最小值，此时 ，
则
，
由 在第四象限，可得 ，解得 或
学科网（北京）股份有限公司所以 的取值范围为 ．
1．（多选）已知复数z， ， ， 是z的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A． B．若 ，则
C． D．若 ，则 的最小值为1
【答案】ACD
【分析】结合复数的四则运算，共轭复数的定义及复数模长的公式可判断A；结合特殊值法可判断B；结
合复数模长的性质可判断C；结合复数的几何意义可判断D.
【详解】对于A，设 ，则 ，故A正确；
对于B，令 ，满足 ，故B错误；
对于C，设 ， ，则
，所以
，故C正确；
对于D，设 ，则 ，
即 ，表示以 为圆心，半径为1的圆，
表示圆上的点到 的距离，故 的最小值为 ，故D正确.
故选：ACD
2．已知复数 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合复数运算可得 的方程 的根为 ，进而整理可得
，取 即可得结果.
【详解】设 ，
则 ，
由题意可得：
学科网（北京）股份有限公司可得关于 的方程 的根为 ，
故 ，
整理得 ，
即 ，
令 ，可得 ，
且2022为偶数，所以 .
故选：B.
3．已知复数 ， 和 满足 ，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．3 C． D．1
【答案】B
【分析】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到 ，再将 时各
复数的取值取出，即可得到 的最大值.
【详解】根据题意，得 ，
当 ， ， 时， ，此时 ，
所以 .
故选：B.
1．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【分析】根据复数的除法运算求出 ，再由共轭复数的概念得到 ，从而解出．
【详解】因为 ，所以 ，即 ．
故选：A．
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
【答案】C
学科网（北京）股份有限公司【分析】由题意首先化简 ，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：C.
3．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意首先计算复数 的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得 ，
则 .
故选：B.
4．（2023·全国·高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
5．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为 ，
所以 ，解得： ．
故选：C.
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