高三数学考试参考答案
!!&!!解析"本题考查集合的元素个数#考查数学运算的核心素养!
因为"’!#"()###)"#所以$$"’!()#*#)"#则$$"的元素个数为+!
)!,!!解析"本题考查复数的四则运算#考查数学运算的核心素养!
因为$%(%%%-’!(%%%#所以()&’!($!.&)%#解得&’)或&’*$舍去%!
+!&!!解析"本题考查导数的几何意义#考查数学运算的核心素养!
)# )
因为’$#%’ ./##所以’($#%’ ./##则’$*%’!#’($*%’+#所以所求切线方程为)’+#.!!
#.! $#.!%)
0!1!!解析"本题考查旋转体的体积#考查数学运算的核心素养!
! + +
因为*’ !+),’ !,+#所以 !,+’!)!#解得,’0!
+ !" !"
2!%!!解析"本题考查函数的图象和性质#考查逻辑推理与直观想象的核心素养!
!(# ! !.#
因为’$(#%’345#&67 ’(’$#%#所以’$#%是奇函数#排除#当#&$*# %时#345#’*#67
!.# ) !(#
’*#所以’$#%’*#排除,#故选%!
"!1!!解析"本题考查排列组合的知识#考查数学抽象与数学建模的核心素养!
先选出)名志愿者安排到$社区#再把剩下的+名志愿者分成两组#分配到其他两个社区#则不同的安排方
法共有,),)&)’"*种!
2 + )
8!%!!解析"本题考查统计的知识#考查数据分析与数学运算的核心素养!
设女生身高频率分布直方图中的组距为"##由$-.!92-.)-.)92-.+-%"#’!#得-"#’*9!#所以女生身
高频率分布直方图中$层次频率为)*:#"层次频率为+*:#.层次频率为)2:#/层次频率为!2:#0层
次频率为!*:!因为男’女生样本数未知#所以$层次中男’女生人数不能比较#即选项&错误(同理#/层次
女生在女生样本数中频率与0层次男生在男生样本数中频率相等#都是!2:#但因男’女生人数未知#所以
在整个样本中频率不一定相等#即,错误(设女生人数为1#男生人数为!***(1#但因男’女生人数可能不相
等#则"层次的学生数为*9+1.*9)2;$!***(1%’*9*21.)2*#.层次的学生数为*9)21.*9+;$!***(
1%’+**(*9*21#因为1不确定#所以*9*21.)2*与+**(*9*21可能不相等#即1错误(女生$#"两个层
次的频率之和为2*:#所以女生的样本身高中位数为"#.层次的分界点#男生$#"两个层次的频率之和为
+2:#显然中位数落在.层次内#所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大#%正确!
<!,!!解析"本题考查函数的性质#考查逻辑推理与抽象概括的核心素养!
令#’!#)’*#得’$*%’)#所以&正确(令#’*#得’$)%.’$()%’)’$)%#即’$()%’’$)%#所以’$#%为
偶函数#所以%正确#,错误(令#’)’!#得’$)%.’$*%’’$!%’$!%#可得’$)%’(!#所以1正确!
=!%,!!解析"本题考查三角函数的性质#考查数学运算的核心素养!
! ! 2! !
因为5-7$(); . %(>!#所以&错误(%显然正确(因为5-7$); . %’*#所以,正确(当*###
!) " !) "
! ! ! 8! !
时# #)#. # #函数’$#%在)*# *上不单调#1错误!
) " " " )
!*!&%1!!解析"本题考查立体几何的知识#考查直观想象与数学运算的核心素养!
如图#对于&#取$"的中点0#./的中点2#易证$").0#$")/0#所以$")平面 ’
./0#从而$")./#&正确!
&
$
对于%#由图可知.0’/0’槡$槡2%)($ 槡) %)’ +槡) #所以三棱锥$("./的体积*’ % #
) ) "
! ;$ ! ;槡);槡$ +槡) %)($ 槡) %)%;槡)’ ) #%正确! !
+ ) ) ) +
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% !"#$ "#$%"
书书书对于,#根据条件#将三棱锥$("./补成长方体#设长’宽’高分别为-##则)$-).&).3)%’$槡)%).
槡-).&).3) 槡"
$槡2%).$槡2%)’!)#可得三棱锥$("./外接球的半径为 ’ #,错误!
) )
槡2
对于1#取$.的中点4#易知*042为异面直线$/与".所成的角或补角#04’24’ #02’
)
2 2
" . (0"
槡$ +槡) %)($ 槡) %)’)#所以"345*042"’ 0 0 ’ + #1正确!
) ) 2 2
);
0
!!!%,!!解析"本题考查抛物线的性质#考查直观想象与数学运算的核心素养!
由已知得抛物线.的方程为))’0##设$$#
!
#)! %#"$#
)
#)) %#因为以线段$"为直径的圆过原点5#所以
,,+ ,,+
5$&5"’*#即#
!
#
)
.)!)) ’*!又$#"两点在抛物线.上#则))
!
’0#
!
#))
)
’0#
)
#从而)!)) ’(0槡#
!
#
)
#
所以#
!
#
)
(0槡#
!
#
)
’*#解得#
!
#
)
’!"#这说明直线6在#轴上的截距的平方为!"#由抛物线的几何性质
! ! 2 +)
说明直线6过定点7$0#*%#不妨设)!’*#))-*#则8 .$5" .8 .$52 ’ ) ;0;$)! ()) %. ) )! ’ ) )! . )!
/<槡2!
!)!,1!!解析"本题考查函数与导数的性质#考查逻辑推理与数学运算的核心素养!
’($#%(’$#% ’$#%
由’($#%(’$#%’)#/##可得 ’)##设9$#%’ #则9($#%’)##所以可令9$#%’#).:$:
/# /#
’$#%
为常数%#即 ’#).:#又’$*%’*#得:’*#所以’$#%’#)/##’($#%’$#).)#%/#!
/#
当’($#%’*时##’*或#-()(当’($#%-*时#()-#-*#所以’$#%在
#
$(?#()%和$*#.?%上是增函数#在$()#*%上是减函数#所以’$#%有两个
极值点()和*#如图所示!
当#’()时#取得极大值’$()%’0/()#当#’*时#取得极小值也是最小值 !
$%"#
’$*%’*!当方程’$#%’;有三个实数根时#*-;-0/()!
"# "! " ! !
综上可知#正确的选项有,1!
! ! 8!
!+!( $答案不唯一#只要满足!’( .):!或!’ .):!#:&!即可%!!解
!) !) !)
析"本题考查三角恒等变换#考查数学运算的核心素养!
! 槡) ! ! ! ! ! 2!
因为5-7!.345!’槡)5-7$!. %’ #所以5-7$!. %’ #则!. ’ .):!或!. ’ .):!#:&
0 ) 0 ) 0 " 0 "
! 8!
!#解得!’( .):!或!’ .):!#:&!!
!) !)
!0!!!!解析"本题考查平面向量的垂直以及求模#考查数学运算的核心素养!
因为!)$!.)"%#所以!).)!&"’*#"!."")’!).)!&".")’!#则"!.""’!!
槡+
!2! !!解析"本题考查椭圆的性质#考查直观想象与数学运算的核心素养!
+
因为2
!
关于*2
!
<2
)
平分线的对称点=在椭圆.上#所以<#2
)
#=三点共线!
8 0;)
设"<2 !"’;#则"<="’;#在.<2
!
=中#由余弦定理可得"2
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+- - +- - 8 -) 槡+
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#即离心率>’
+
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!高三数学"参考答案!第!!!!)页#共"页$% !"#$ "#$%"!"!槡))=!!解析"本题考查直线与圆#考查直观想象与数学抽象的核心素养!
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% $ $
" ! % " & !$ ! ! ! "
"
"
因为".. !"’".. )"#".$ !"’"." )"#所以康威圆的圆心在*$."的平分线上#同理可知康威圆的圆心在
*$".的平分线上#即康威圆的圆心为.$".的内心!因为-).&)’3)#所以*$."’=*@#所以.$".的
内切圆的半径+’ 2.!)(!+ ’)#则康威圆的半径?’槡 +).$ 2.!).!+ %)’槡))=!
) )
!8!解+$!%因为$&(3%$5-7".5-7.%’$-.3%5-7$#
所以$&(3%$&.3%’-$-.3%# ………………………………………………………………………………)分
(-3 !
展开得-).3)(&)’(-3#所以345"’ ’( # ……………………………………………………0分
)-3 )
)!
因为*-"-!#所以"’ !…………………………………………………………………………………2分
+
! 槡+
$)%由$!%知8
.$".
’
)
-35-7"’
0
-3’槡+#解得-3’0#…………………………………………………"分
槡+$-.3%
因为&’ #由余弦定理得-).3)(&)’)-3345"’(-3#…………………………………………8分
)
+$-.3%)
即$-.3%)( ’-3’0#解得-.3’0#&’)槡+#……………………………………………………=分
0
所以.$".的周长为-.&.3’)槡+.0!…………………………………………………………………!*分
评分细则+
(-3 !
,!-第一问#写出$&(3%$&.3%’-$-.3%#得)分#写出345"’ ’( #累计得0分#第一问全部正确解
)-3 )
出#累计得2分(
,)-第二问#用面积公式求出-3’0#累计得"分#最后求出正确答案#累计得!*分(
,+-其他情况根据评分标准按步骤给分!
!<!$!%证明+因为8
1
’)-
1
(-
!
#所以8
1(!
’)-
1(!
(-
!
$1/)%#………………………………………………)分
两式相减得-
1
’)-
1
()-
1(!
#化简得-
1
’)-
1(!
$1/)%#……………………………………………………0分
又- !(*#所以!-
1
"是公比为)的等比数列! ………………………………………………………………2分
$)%解+设!&"的公差为@#由&.&’)&’!<-#得&’=-!……………………………………………"分
1 ) 0 + ! + !
=-(-
又&’-#所以@’ ! !’0-#…………………………………………………………………………8分
! ! ) !
所以&’-.0$1(!%-’$01(+%-!………………………………………………………………………<分
1 ! ! !
由$!%知-’):(!-#…………………………………………………………………………………………=分
: !
因为-’&.+&#所以):(!-’$0;(+%-.+-’0;-#
: ; ! ! ! ! !
因为- !(*#所以;’):(+!…………………………………………………………………………………!*分
由!#;#)**#即!#):(+#)**#得+#:#!*#
故该集合中元素的个数为<!………………………………………………………………………………!)分
评分细则+
,!-第一问#写出8
1(!
’)-
1(!
(-
!
$1/)%#得)分#写出-
1
’)-
1(!
$1/)%#累计得0分#证出!-
1
"是等比数
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% !"#$ "#$%"列#累计得2分(
,)-第二问#求出@’0-#累计得8分#求出&’$01(+%-#累计得<分#求出;’):(+#累计得!*分#直到给
! 1 !
出正确结论得!)分(
,+-其他解法根据评分标准按步骤给分!
+ ! + ! ) 8
!=!解+$!%学生甲恰好答对两题的概率<’$ %); .); ; ; ’ !……………………………0分
0 + 0 0 + !"
$)%随机变量A的可能取值为*#!#)#+#……………………………………………………………………2分
! ! !
所以<$A’*%’$ %); ’ #…………………………………………………………………………"分
0 + 0<
+ ! ! ! ) !
<$A’!%’,!; ; ; .$ %); ’ #…………………………………………………………8分
) 0 0 + 0 + "
8
由$!%知<$A’)%’ #………………………………………………………………………………………<分
!"
+ ) +
<$A’+%’$ %); ’ #…………………………………………………………………………………=分
0 + <
所以A的分布列为
A * ! ) +
! ! 8 +
<
0< " !" <
………………………………………………………………………………………………………………!*分
! 8 + !+
0$A%’!; .); .+; ’ ! ……………………………………………………………………!)分
" !" < "
评分细则+
8
,!-第一问#算出<’ #得本步骤的0分(
!"
,)-第二问#写出随机变量A的可能取值得!分#每算出一个概率得!分#正确写出期望累计得!)分!
)*!$!%证明+取$"的中点2#连接2/#2<#"/!
因为<$’<"#$"’$/#*/$"’"*@#所以$"’$/’"/# ’
所以$")<2#$")2/!……………………………………………………)分
%
又<2$2/’2#所以$")平面<2/#从而$")</!……………………+分 & "
因为"0)</#$"$"0’"#所以</)平面<$"!………………………2分 $
# !
$)%解+因为</)平面<$"#所以</)<"#</)<$#又$"’$/’"/’)#所以<$’<"’</’槡)!
因为<$).<")’$")#所以<")<$!……………………………………………………………………"分
,,+ ,,+ ,,+
以<为坐标原点#<$#<"#</的方向分别为##)#%轴的正方向#建立如图所示的空间直角坐标系<(#)%!
……………………………………………………………………………………………………………8分
则$$槡)#*#*%#"$*#槡)#*%#/$*#*#槡)%# %
因为./0$"#所以/ ,,+ .’)$ ,,+ "’$()槡)#)槡)#*%#< ,,+ /’$*#*#槡)%!………<分 "
!
(
设平面</.的一个法向量为#’$##)#%%#
$
由
!/ ,,+ .&#’*#
得1
2()槡)#.)槡))’*#
’
#
&
,,+
</&#’*#3槡)%’*#
令#’!#则)’!#%’*#所以#’$!#!#*%! ………………………………………………………………!*分
因为<")<$#</)<"#所以<")平面<$/#所以平面<$/的一个法向量为$’$*#!#*%#………!!分
!高三数学"参考答案!第!!!!0页#共"页$% !"#$ "#$%"#&$ 槡) 槡) 槡)
所以345.##$/’ ’ #5-7.##$/’ #即二面角$(</(.的正弦值为 ! ………………!)分
"#""$" ) ) )
评分细则+
,!-第一问#证出$")<2#$")2/#得)分#证出$")</#累计得+分#第一问全部证完累计得2分(
,)-第二问#建立空间直角坐标系累计得8分#写出相关点和相关向量的坐标#累计得<分#计算出平面</.
的法向量累计得!*分#写出平面<$/的一个法向量累计得!!分#直至正确求出二面角的正弦值累计得
!)分(
,+-若用传统做法#作出二面角的平面角得!分#简单证明得)分#整个题完全正确得满分!
! ! ) #)()
)!!解+$!%由’$#%’ #).67##得4$#%’ #)()67##4($#%’#( ’ # ………………………!分
) ) # #
令#)()’*#得#’槡)#所以4$#%在)!#槡)%上单调递减#在$槡)#0*上单调递增#………………………)分
!
所以4$#%
A-7
’4$槡)%’!(67)#4$0%’<(067)’4$!%’
)
#4$#%
ABC
’<(067)!……………………+分
存在#
!
## )&)!#0*#使得4$#
!
%(4$#
)
%/;成立#等价于)4$#
!
%(4$#
)
%* ABC/;# …………………0分
而4$#%
ABC
(4$#%
A-7
’8(+67)#所以;#8(+67)409=)!#
故满足条件的最大整数;为0! ……………………………………………………………………………2分
- ) - ) 67#
$)%’$#%(9$#%’ #).67#( #+#*等价于 # #( !………………………………………8分
) + ) + #)
) 67# )#+."67#(+
令2$#%’ #( $#/槡/%#则2($#%’ #………………………………………………<分
+ #) +#+
令,$#%’)#+."67#(+#易知,$#%在)槡/#.?%上单调递增#故,$#%/,$槡/%’)/槡/’*#即2($#%’*#所
以2$#%在)槡/#.?%上单调递增# …………………………………………………………………………=分
)槡/ ! 0/槡/(+
所以2$#%
A-7
’2$槡/%’
+
(
)/
’
"/
#
- 0/槡/(+ 0/槡/(+
只需
)
#2$#%
A-7
’
"/
#解得-#
+/
#…………………………………………………………!!分
0/槡/(+
所以-的取值范围为$(?# *!……………………………………………………………………!)分
+/
评分细则+
#)()
,!-第一问#求出4($#%’ #得!分#写出4$#%的单调区间累计得)分#写出原不等式成立的等价条件#
#
累计得0分#求出最大整数;#累计得2分(
- ) 67# )#+."67#(+
,)-第二问#写出 # #( #累计得8分#求出2($#%’ #累计得8分#判断出2$#%的单
) + #) +#+
调性#累计得=分#直到求出-的取值范围#累计得!)分(
,+-采用其他方法#参照本评分标准依步骤给分!
&)
))!$!%解+因为.的离心率为槡)#所以 ’$槡)%)(!’!#即-)’&)# ………………………………………)分
-)
#) ))
把点<$+#(!%的坐标代入 ( ’!#解得-)’&)’<#…………………………………………………+分
-) -)
#) ))
所以.的方程为 ( ’!! ………………………………………………………………………………0分
< <
$)%证明+易知$"的斜率存在#设直线$"的方程为)’:#.;#$$#
!
#)! %#"$#
)
#)) %#
!)’:#.;#
联立方程组 消去)得$!(:)%#)():;#(;)(<’*#
#)())’<#
!高三数学"参考答案!第!!!!2页#共"页$% !"#$ "#$%"):; (;)(<
则!(:)(*#"’*##
!
.#
)
’
!(:)
##
!
#
)
’
!(:)
! ……………………………………………………2分
直线<$的方程为)’ )! .! $#(+%(!#令#’*#则7$*# # ! .+)!%#
#(+ +(#
! !
同理B$*#
#
)
.+))%!…………………………………………………………………………………………8分
+(#
)
由5为7B的中点#可得
#
!
.+)!. #
)
.+))’*#
+(# +(#
! )
#.+$:#.;%#.+$:#.;%
则 ! ! . ) ) ’*#
+(# +(#
! )
所以)$+:.!%#.+;*$+(#%.)$+:.!%#.+;*$+(#%’*#
! ) ) !
化简得$=:.+(+;%$#.#%($":.)%##.!<;’*!…………………………………………………=分
! ) ! )
):; (;)(< ):; (;)(<
将#.#’ ###’ 代入上式#得$=:(+;.+%& ($":.)% .!<;’*#
! ) !(:) ! ) !(:) !(:) !(:)
即$=:(+;.+%&):;.$":.)%$;).<%.!<;$!(:)%’*#
整理得;).$+:.=%;.)0:.<’*#即$;.<%$;.+:.!%’*! ………………………………………!*分
当;.+:.!’*时#;’(+:(!#此时直线$"的方程为)’:$#(+%(!#它恒过点<$+#(!%#此时<=)
$"不可能#所以不符合题意(………………………………………………………………………………!!分
当;’(<时#直线$"的方程为)’:#(<#它恒过点8$*#(<%#
+ = ! 槡2<
因为<=)$"#取<8的中点?#则?$ #( %#且"=?"’ "<8"’ #
) ) ) )
+ = 槡2<
所以存在?$ #( %#使得"=?"为定值 !…………………………………………………………!)分
) ) )
评分细则+
,!-第一问#正确写出-)’&)#得)分#写出-)’&)’<#累计得+分#求出标准方程共得0分(
):; (;)(<
,)-第二问#根据韦达定理写出#.#’ ###’ #累计得2分#写出7#B两点的坐标#累计
! ) !(:) ! ) !(:)
得8分#算出$;.<%$;.+:.!%’*#累计得!*分#每进行一次分类讨论得!分#直到得出正确结论得!)
分(
,+-若用其他方法#参照上述步骤给分!
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% !"#$ "#$%"
