“8+4+4”小题强化训练22(与三角函数相关的导数问题)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(22)
(与三角函数相关的导数问题)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
∴曲线 在点 处的切线的斜率 ，
∵切线与直线 垂直，∴直线 的斜率为 ，
∴ .
故选：C.
2.（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学期初月考）若函数 在定义域内单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数 定义域为 ，且 ，
依题意 恒成立， 恒成立，即 恒成立，
又 ，所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：A
x
3.函数
f x x,0

0,
的图象大致是（ ）
xsinx
A． B．C． D．
【答案】B
x
【解析】因为
f x x,0

0,
，定义域关于原点对称，又
xsinx
x x
f x xsinx  xsinx  f x ，所以 f x xs x inx x,0  0, 为偶函数，函数图象关于
y
轴对称，所以排除A、D；
xxsinxxsinx
x xcosxsinx
fx 
xsinx2 xsinx2
gxxcosxsinx gxxsinx x0, gx0 gxxcosxsinx
令 ，则 ，所以当 时 ，所以 在
x0, g00 gx0 x0, fx0 x0,
上单调递减，又 ，所以 在 上恒成立，所以 在 上恒成
x
立，即函数 f x 在0,上单调递减，故排除C，
xsinx
故选：B
4.（2023秋·江苏镇江丹阳·高三期初统考）函数 在区间 上的最小值为（
）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】因为 ，则 ，
当 时，则 ，可得 ；
当 时，可得 ；当 时，则 ，可得 ；
综上所述： 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
所以函数 在区间 上的最小值为 .
故选：B.
 π π
5.（2023秋·陕西西安·高三检测）已知函数 f x 的定义域为    2 , 2  ，其导函数是 fx . 有
π
，则关于 的不等式 f x2f  cosx的解集为（ ）
fxcosx f xsinx0 x 3
π π π π  π π  π π
 ,   ,   ,   , 
A．3 2 B．6 2 C． 6 3 D． 2 6
【答案】A
【解析】构造函数gx f x ，其中x   π , π ，则gx fxcosx f xsinx 0，
cosx  2 2 cos2 x
 π π
所以，函数 gx在


2
,
2


上单调递减，
π
f x f  3  

因为 x   π , π  ，则 ，由 f x2f   π cosx 可得 cosx cos π ，
 2 2 cosx0 3 3
 π
x

 3
即 ，所以， ，解得 ，
gxg   π   π x π π x π
3  2 2 3 2
π π π
f x2f  cosx  , 
因此，不等式 3 的解集为3 2.
故选：A.
6.（2023·重庆·高三重庆八中校考）已知函数 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 均为偶函数，故函数 为偶函数，
令 则 ，，即 在R上单调递减，
又 在 恒成立，
故函数 在 上递减，在 递增.
.
故选：C.
7.（2023·全国·高三模拟测试）已知 ，其导函数 的图像如图
所示，则 在 内的极值点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】因为 ，
所以 ，
由图象知： ，
则 ， ，
所以 ，
又 ，
则 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，则 ，所以 ，
则 ，
令 ，即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极大值，
所以 在 内的极值点个数为1，
故选：B
8.已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ．
令 ，则 ，所以函数 在 上单调递增，所以当 时，
，
即有 成立，所以 ，得 ，所以 ．
因为 ，所以令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，所以当 时， ，即有 成立，所以
，即 ，所以 ，即 ．
综上 ．
故选:A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知函数 ， ，则下列说法正确的有（ ）A．是奇函数
B．是周期函数
C．曲线在点 处的切线方程为
D．在区间 上，单调递增
【答案】AC
【解析】A： ，又函数的定义域是R，所以函数 是奇函数，
所以选项A正确；
B：不存在非零常数 ，使得 ，故 不是周期函数，所以选项B错误；
C： ， ， ，故 在点 ， 处的切线
方程为： ，即 ，所以选项C正确；
D： ， ， 时， ， ，故 ，故 在 ，
单调递减，所以选项D错误.
故选：AC
f x R, f'x f x x0, sin2x f'x0
10.已知函数 的定义域为 为函数 的导函数，当 时， ，且
xR, f x f x2sin2x0
，则下列说法一定正确的是（ ）
π π 1 π π 1
f   f   f   f  
A． 3 6 2 B． 3 4 4
3 π 1 3π π 3π 1 π  3π 1
 f    f  , f   f   f   f  
4 3 2 C4． 3  4  4 D． 3  4  4
【答案】BC
Fxsin2x f x F'xsin2x f'x
【解析】令 ，则 ，
x0, sin2x f'x0 F'x0 Fxsin2x f x 0,
因为当 时， ，所以 ，所以 在 上单调递
增，
xR, f x f x2sin2x0
又 ，
Fxsin2x f xsin2x2sin2x f xsin2x f xFx Fx
所以 ，即 为奇函数，
Fxsin2x f x
R
在 上单调递增，π π π π π π π π 1  π π
F F  F F sin2  f  sin2  f     f   f   0
所以对于A， 3 6，即 3 6 3 3 6 6 2  3 6 ，
π π 1
f   f  
3 6 2，A错误；
π π 3 π 1 π π π 1
F F   f    f   f   f  
对于B， 3 4 ，即4 3 2 4 ； 3 4 4，B正确；
π 3π 3 π 1 3π π 3π 1
F F   f    f  , f   f  
对于C， 3  4 ，即4 3 2  4  3  4  4，C正确；
π  3π 3 π 1  3π π  3π 1
F F ,  f    f  ,f   f  
对于D， 3  4  4 3 2  4  3  4  4，D错误；
故选：BC.
11.（2023秋·江苏泰州·高三泰州中学期初考试）已知 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】由题意， ，得 ，
， ，∴ ，∴ ，A对；
，令 ，即有 ，
令 ，
在 上递减，在 上递增，
因为 ，∴ ，
作出函数 以及 大致图象如图：则 ，∴ ，结合图象则 ，
∴ ，∴ ，B对；
结合以上分析以及图象可得 ，∴ ，
且 ，
∴ ，C对；
由C的分析可知， ，
在区间 上，函数 不是单调函数，即 不成立，即 不成
立，故D错误；
故选：ABC．
12.（2023秋·江苏·高三南菁高中、梁丰高中8月联考）已知 ，则下列说法中正确的有
（ ）
A. 的零点个数为4 B. 的极值点个数为3
C. 轴为曲线 的切线 D. 若 则
【答案】BCD
【解析】由题意 ，
令 ，得到 ．分别画出 和 的图像，如图所示：
由图知： 有三个解，即 有三个解，分别为 ．
所以 为增函数，
为减函数，
为增函数，
为减函数．
所以当 时， 取得极大值为0，当 时， 取得极小值为 ，
当 时， 取得极大值为0，
所以函数 有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．
因为函数 的极大值为0，所以 轴为曲线 的切线，故C正确；
因为 ，
所以若 则 ，D正确；
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知 ，则曲线 在点 处的切线的斜率为
【答案】【解析】对 ，
求导可得， ，得到 ，所以，
，所以， ，
故答案为：
14.已知函数 在 内单调递增，则实数 的取值范围为______
【答案】
【解析】因为 ，所以， ，
因为函数 在 内单调递增，则 在 内恒成立，
即 ，解得 ．
令 ， ，则 ，
故 在 内单调递增，则 ，故 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
ysin2x2sinx
15.（2023·上海普陀·高三上海市宜川中学校考）函数 的最大值为__________．
3 3 3
3
【答案】 2 /2
y2cos2x2cosx2(2cos2x1)2cosx4cos2x2cosx2
【解析】 ，
cosxt[1,1] f(t)4t22t2
设 ， ，
1
令 ，得 t  或 ，
f(t)0 2 t 1
1
所以当
t(1, )
时， ，
2 f(t)0π π
即在(π2kπ,
3
2kπ)和(
3
2kπ,π2kπ)(kZ)上y单调递减，
1
t( ,1)
当
2
时， f(t)0，
π π
即在(
3
2kπ,
3
2kπ)
(kZ)
上，y单调递增，
π 3 3
又因为 ， f( 2kπ) ，
f(π2kπ)0 3 2
3 3
所以 的最大值为 ，
y 2
3 3
故答案为： ．
2
16.已知函数 ，若对任意 ，均存在 ，使
得 ，则实数 的取值范围是__________．
【解析】（1）由题意 ，所以 0，即切线的斜率 ，且 ，所以曲线
在点 处的切线方程为 ．
（2）由题意知 ，且 的对称轴为直线 ，所以当 时，
．由（1），设 ，则 ，所以 ，当
时， ；当 时， ，所以 在区间 上单调递增，在区间
上单调递减.
又 ，所以 在区间 上只有一个零点，设为 ，且当 时，
；当 时， ，所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
又 ，所以当 时， ，所以 ，即 ．
因此，实数 的取值范围是 ．
故答案为：