“8+4+4”小题强化训练21(导数与函数零点)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(21)
(导数与函数零点)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.若函数 的零点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】 的定义域为R，且 ．
当 或 时 ， ， 当 时 ， ， 故 在
上单调递增，在 上单调递减，又 ， ，
，故函数 的零点的个数为2．
故选：C．
2.函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得： ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
据此可得函数在 处取得极大值，在 处取得极小值，
结合题意可得： ，解得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：B．
3.已知函数 有唯一零点，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】令 ，则方程 有唯一解，
设 ， ，则 与 有唯一交点，
又 ，当且仅当 时取得最小值2．
而 ，此时 时取得最大值1，有唯一的交点，则 ．
故选：C．
4.设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数 有三个零点 B．函数 有两个极小值点
C．函数 有一个极大值点 D．函数 有两个单调递减区间
【答案】A
【解析】记函数 与 轴的三个交点横坐标从左往右依次为 ，则由图可知：当 时，
， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单调递增；当
时， ， 在 上单调递减；当 时， ， 在 上单
调递增；故函
数 有两个极小值点： ；有一个极大值点 ，故BCD选项正确．
不能确定函数 的零点个数，A错误．
故选：A．
5.若函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ．若 时 恒成立，
在 上单调递增，函数 不可能有两个不同的零点，不合题意；所以只有 ．
时， ，函数 递减，此时 ；
时， ，函数 递增，此时 ，因为函数
有两个不同的零点，所以 ，解得 ．故选：D．
6.（2023秋·江苏南通如皋·高三期初考试押题卷）设函数 在区间 上存在零
点，则 的最小值为（ ）
A. B. e C. D.
【答案】D
【解析】设零点为t，则 ，
因此 ，
考虑函数 ，其导函数 ，
因此函数 在 上单调递减，从而 的最小值为 ．
故选：D.
7.（2023秋·江苏南通海安·高三海安高级中学月考）若函数 有三个不同的
零点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由 得 ，令 ，
由 ，得 ，因此函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且
，当 时， ，则 的图像如图所示：即函数 的最大值为 ，
令 ，则 ，
由二次函数的图像可知，二次方程的一根 必在 内，另一根 或 或 上，
当 时， ，则另一根 ，不满足题意，
当 时，a＝0，则另一根 ，不满足题意，
当 时，由二次函数 的图像可知 ，
解得 ，
则实数 的取值范围是 ，
故选：D.
8.（2023秋·江苏·高三金陵中学、海安中学、南京外国语学校联考）已知函数 的导函数 满
足： ，且 .若函数 有且只有一个
零点，则实数a的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由函数 的导函数 满足： ，且 ，不妨设 满
足条件.
此时 .
令 ，即 ， 有且仅有一
个零点.因为 ，当且仅当 即 时取“＝”，
当 时， ，
又 ，所以 ，
此时 要么没零点，要么不仅一个零点，
所以 是 的唯一零点，
此时 ，解得 ，
所以 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2022秋·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学月考）已知函数 ，则下列说法正确的
是（ ）
A． 有两个不同零点
B．
C． 在 上单调递增
D．若函数 在 处取得最小值，则
【答案】CD
【解析】 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．所以 在 上单调递增．故函数 最多只有一个零点，故
选项A错误；选项C正确；
令 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立．则 在 上单调递增．又 ，
所以 ，则 在 上单调递减，
在 上单调递增，即 ．又 ，
则 ，所以 ，则 恒成立，
所以不存在 ，使得 ，故选项B错误；选项D正确；
故选：CD．
10.已知 ，则下列说法中正确的有（ ）
A. 的零点个数为2 B. 的零点个数为4
C. 的极值点个数为3 D. 的极值点个数为2
【答案】AC
【解析】由题意 ，
令 ，得到 ．
分别画出 和 的图像，如图所示：
由图知： 有三个解，即 有三个解，分别为 ．
所以 为增函数，
为减函数，
为增函数，为减函数．
所以当 时， 取得极大值为0，当 时， 取得极小值为 ，
当 时， 取得极大值为0，
所以函数 有两个零点，三个极值点，A错误，B正确．
故选：AC
11.（2023秋·江苏镇江句容·高三句容市第三中学、海安实验中学月考）已知 分别是函数
和 的零点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】因为 ， 分别是函数 ， 的零点，所以 ，
，那么 ， 可以看做函数 和 与函数 图像交点的横坐标，
如图所示，点 ， ， 分别为函数 ， ， 的图像与函数 图像的交点，所以
，因为函数 和 互为反函数，所以函数图像关于 的图像对称， 的图像
也关于 的图像对称，所以点 和 关于点 对称， ，
，故AB正确；
由反函数的性质可得 ，因为 单调递增， ，所以 ，所以 ，故C错；
当 时，函数 对应的函数值为 ，函数 对应的函数值为 ，因为
，所以 ，
所以 的范围为 ，那么 ，而 ，所以 ，故D正
确.
故选：ABD.
12.（2023秋·江苏南通·高三期初质量检测）已知函数 有两个零点 ， ，且 ，则
（ ）
A. B. 随 的增大而减小
C. 随 的增大而增大 D. 随 的增大而增大
【答案】ABD
【解析】令 得 ，
因为函数 有两个零点，则方程 有两个根,
即 有两个根.
令 ， ，则 与 有两个公共点.
.
令 ，得 .
令 ，得 ； ，得 .
所以 在 上单调递增；在 上单调递减.所以 时， 有最大值 .
趋近于 时， 趋近于 ； 趋近于 时， 趋近于 .
作出 的图象，如图所示：
因为 与 有两个公共点，所以 ，故A正确.
因为函数 有两个零点 ，则 .
当 增大趋近于 时， 随之增大，趋近于1， 随之减小，趋近于1，则 减小，
即 随 的增大而减小.故B正确.
由上面可知，当 增大趋近于 时， 趋近于2；
当 减小趋近于0时， 趋近于0, 趋近于 .所以 趋近于 .故C错误.
由 得 .
设 ，则 .
由 ，得 ；
所以 .
令 ， .令 ， ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ， 即 ，所以 在 上单调递减，
因此 随着 的增大而减小，由图象可知 随着 的增大而减小，
的
所以 随着 增大而增大.故D正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023·山东聊城·统考三模）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是偶函数，
恰有四个零点，则这四个零点的和为________．
【答案】4
【解析】将函数 向左平移1个单位，所以 ，
因为 是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知， 是奇函数，
且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则 为偶函数，
所以 为偶函数，
又因为函数 恰有四个零点，即函数 恰有四个零点，
且这四个零点一定是两组关于 轴对称，其四个零点之和为0，
而 是由 向左平移了1个单位，
所以 的四个零点之和为4.
故答案为：4
ex1,x1,
f x
14.函数  lnx1,x1, 若函数 gx f xxa 只有一个零点，则 a 的取值范围为
________．
【答案】gx f xxa
【解析】∵ 只有一个零点，
y  f(x) y  xa
∴函数 与函数 有一个交点，
ex1,x1,
f x
作函数函数

lnx1,x1, 与函数
y  xa
的图象如下，
y  f(x) y  xa
a0
结合图象可知，当 时；函数 与函数 有一个交点；
1 1
y  1
当a 0时，y ln(x1)，可得 x1，令 x1 可得x2，所以函数在x2时，直线与
y ln(x1) a2
相切，可得 .
a0 a2
综合得： 或 .
故答案为：
15.（2022秋·江苏海安·高三期初统考）已知函数 的零点为 、
、 ，且 ，则 的最小值是_________.
【答案】 ##
【解析】由 可得 ，构造函数 ，该函数的定义域为 ，
，
所以，函数 为 上的奇函数，则 ，
因为函数 有三个零点 、 、 且 ，故函数 有三个零点 、 、 且 ，且 ， ，故 ，
所以， ，
令 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， .
故答案为： .
16.（2023秋·江苏常州·高三前黄高级中学月考）已知函数 ，函数
，若函数 有两个零点，则实数a的取值范围________
【答案】 ．
【解析】要使函数 有两个零点，即 有两个实根，
即 有两个实根．
即 ．整理为 ，
设函数 ，则上式为 ，
因为 恒成立，所以 单调递增，所以 ．
所以只需使 有两个根，设 ．
易知，函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故函数 在 处取得极大值， ．
当 时， ；当 时， ，
要想 有两个根，只需 ，解得： ．所以a的取值范围是 ．
故答案为：