跟踪训练03导数与函数的极值、最值（解析版）_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_3.2024专项复习_更新中2024年新高考数学一轮复习之题型归纳与重难专题突破提升（新高考专用）

跟踪训练 03 导数与函数的极值、最值 一．选择题（共15小题） 1．（2023春•浙江期中）已知函数 存在两个零点，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意函数 的定义域是 ， 函数 存在两个零点， 在 上存在两个不同的解， 当 时， 不成立， 故 不是方程 的解， 当 时，化为 在 ， ， 上有两个不同的解， 即直线 与函数 的图像在 ， ， 上有两个不同的交点， 令 ， ， ， ，则 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， 故函数 在 ， 递减，在 递增， 故函数 在 处取得极小值为 （e） ， 当 时， 时， ， 时， ， 如图示：， 结合图像，要使直线 和函数 的图像有2个交点， 则 ． 即实数 的取值范围是 ， 故选： ． 2．（2023春•丰台区校级期末）已知函数 ，若存在 ，使 ， 则 的取值范围是 A． ， B． C． ， D． ， 【解答】解：若存在 ，使 ，即 ， 所以 ，令 ， ， ，令 ，解得： ， ， 令 ，解得： ， 所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ， 所以 ．故选： ． 3．（2023春•河池月考）已知函数 ，对任意的 ， ， 恒成立，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 【解答】解：设函数 ， 因为对任意的 ， ， 恒成立， 又由 ， 所以 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 令 ， ， 由二次函数的性质，可得 在 上为单调递减函数， 所以 （1） ，所以 ，所以 ， 解得 ，即实数 的取值范围为 ． 故选： ． 4．（2022秋•下城区校级期末）已知函数 ．则下列结论中正确 的是 A．函数 既有最小值也有最大值B．函数 无最大值也无最小值 C．函数 有一个零点 D．函数 有两个零点 【解答】解： ， ， ， ， 当 时， ，函数单调递增； 当 时， ，函数单调递减． 故函数有最大值，无最小值， 错误， 设 ，则 恒成立，函数单调递增， 且 （1） ，故函数有一个零点， 正确， 错误． 故选： ． 5．（2023春•朝阳区校级月考）已知实数 ， ， ， 成等比数列，且曲线 的 极大值点为 ，极大值为 ，则 等于 A．2 B． C． D．1 【解答】解： 实数 ， ， ， 成等比数列， ， 由 ， ， 令 ，解得 ， 函数 在 上单调递减；函数 在 上单调递增；函数 在 上 单调递减． 时，函数 取得极小值， 时，函数 取得极大值．曲线 的极大值点为 ，极大值为 ， ， （1） ，即 ． ， ． 故选： ． 6．（2023春•永年区校级期中）已知函数 ，则 的极小值为 A．2 B． C． D． 【解答】解：由题意得函数 的定义域为 ， ，则 ， 令 ，则 ，解得 或 （不合题意，舍去）， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 由此表可知，当 时， 的取得极小值为 （2） ． 故选： ． 7．（2023 春•包河区校级期末）设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的最小值为 A． B． C．1 D． 【解答】解：由于 ，则不等式 ，可转化为 ， 即 恒成立， 构造函数 ，可得 ， 当 ， ， 单调递增， 则不等式 恒成立等价于 恒成立， 即 恒成立， 进而转化为 恒成立， 设 ，可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ， 所以 ， 则实数 的最小值为 ． 故选： ． 8．（2023春•朔州期末）函数 的极大值为 A． B．2 C． D．不存在 【解答】解： ， ， 令 ，解得： ，令 ，解得： ， 故函数在 递增，在 递减， 故 时，函数取极大值， 函数的极大值是 ，故选： ． 9．（2023春•开封期末）已知函数 的极小值为 ，则 A． B． C．1 D．2 【解答】解：已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递减，无极值； 当 时， ， 单调递减，无极值极值； 当 时， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； 所以当 时， 取得极小值， 极小值 ， 解得 ． 故选： ． 10．（2023春•新市区校级月考）已知 ，则 A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．有极小值 ，无极大值 D．有极大值 ，无极小值【解答】解： ， ， ， （2） ， 时， ； 时， ． 函数 在 上单调递减，在 上单调递增． 函数 在 时取得极小值， （2） ，无极大值， 因此只有 正确． 故选： ． 11．（2023春•湖北期中）若存在正实数 ，使得不等式 成立 是自然 对数的底数），则 的最大值为 A． B． C． D． 【解答】解： 设 ，则 ， 则 在 上单增， 则 设 ，则 ， 当 时， ，当 时， 得 在 上单增，在 上单减， 则当 时 取得最大值 ，故 ， 的最大值为 ．故选： ． 12．（2023春•渭滨区期末）函数 ， ， 的最小值为1，则实数 的值为 A．1 B． C．3 D． 【解答】解： ， 令 得 或 ， 所以在 上 ， 单调递增， 在 上 ， 单调递减， 又 ， ， 所以 ， 因为 在 ， 上的最小值为1， 所以 ， 所以 ． 故选： ． 13．（2022秋•碑林区期末）已知曲线 在点 ， （1） 处的切线 斜率为3，且 是 的极值点，则函数的另一个极值点为 A． B．1 C． D．2 【解答】解：因为 ， 由题意有 ，解得 ， 所以 ， 令 ，解得 或 ， 所以函数的另一个极值点为 ． 故选： ． 14．（2023春•峨眉山市校级期中）已知函数 有两个极值点，求 的范围 A． B． C． D． 【解答】解：已知 ，函数定义域为 ， 可得 ， 若 有两个极值点， 此时 有两个根， 即 有两解， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减， 所以 ， 易知当 时， ， 所以 ． 故选： ．15．（2023春•吉水县校级期末）若函数 在 上存在极值，则正整 数 的最小值为 A．4 B．5 C．6 D．7 【解答】解： ， ， 函数 在 上存在极值， 函数 在 上不是单调函数， 可得 有两个不等的根， 即△ ， 解得 ，或 ， 正整数 的最小值为5． 故选： ． 二．多选题（共5小题） 16．（2023春•井冈山市校级期末）已知 ， ， 是参数，则下 列结论正确的是 A．若 有两个极值点，则 B． 至多2个零点 C．若 ，则 的零点之和为0 D． 无最大值和最小值 【解答】解：对于 ，因为 ，所以 ，若 有两个极值点，则 有两个不同的解， 分参得， 有两个不同的解， 记 ，则 ， 令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减， 当 时， ， 单调递增， 又 ，作出函数 的图象， 要使 有两个不同的解， 则直线 与函数 有两个不同的交点， 由图知， ，故 正确； 对于 ，当 时， ， ， 结合 选项知，存在 ， ，使得 ， 又 ，所以 ， ， 又 ，趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大， 趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，且 ， ， 由零点存在性可知， 有三个零点，故选项 错误； 对于 ，令 ，当 时， ； 当 时，原方程的根即为 的根， 亦即直线 与函数 图象的交点的横坐标， 又函数 为偶函数， 所以直线 与函数 图象的交点的横坐标之和为0，故选项 正确； 对于 ，当 时，由选项 知， ，则 ， 函数 在 上单调递增，且 趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大， 趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值； 当 时，由选项 知，函数 在 和 ， 上单调递增，在 ， 上单 调递减， 且 趋向负无穷大时，函数 无限趋向于负无穷大， 趋向正无穷大时，函数 无限趋向于正无穷大，此时函数 无最大值和最小值； 综上，函数 无最大值和最小值，故选项 正确； 故选： ． 17．（2023春•嘉禾县校级期末）已知函数 ，则 A．函数 在 上单调递增 B． 有三个零点C． 有两个极值点 D．直线 是曲线 的切线 【解答】解：函数 ，定义域为 ， ， 令 ，解得 或 ； 令 ，解得 ， 则 在 和 上单调递增，在 上单调递减， 极 大 值 为 ， 极 小 值 为 ， ， ，函数图像如图所示， 则函数 的图像与 轴只有一个交点，即 只有一个零点， 所以 选项错误， 选项正确； 曲线 切线的切点坐标为 ， ，当切线斜率为2时， ，解 得 ，当 时，切点坐标为 ，切线方程为 ，即 ， 选项正确． 故选： ． 18．（2023春•江城区校级期中）已知函数 在 处取得极值10， 则下列说法正确的是 A． B． C． 一定有两个极值点 D． 的单调递增区间是 【解答】解：由 ，得 ， 函数 在 处取得极值10， （1） ， （1） ， ，解得 或 ， 当 ， 时， ， 在 处不存在极值，舍去； 当 ， 时， ， 时， ， ， 时， ， 时， ， 适合 处取得极值10，则 ， ，则 ，故 错误， 正确； 此时 一定有两个极值点且存在单调递减区间，故 正确； 的单调递增区间应为 和 ， ， 错误． 故选： ． 19．（2023•桃城区校级模拟）已知函数 的导函数为 ，则A． 有最小值 B． 有最小值 C． （1） D． 【解答】解：由于函数 的导函数为 ，则 ， 又 得其导函数为 ， 故 在定义域 为单调递增函数，知 无最小值，故 错误； 当 时， ， ， ，故 ； 当 时， ， ， ，但是指数函数 始终增长的最快， 故 ； 又因为 （1） ， （2） ， 故一定存在 ，使得 ， 所以 在 时为单调递减，在 ， 时为单调递增，故 在 处取 得最小值，故 正确； 又 在定义域 为单调递增函数，可知 在 为凹函数， 可得 ，即 （1） ，故 正确； 令 ，易知 ， ，， 令 ，故 在定义域 为单调递增函数， 故 ， 则 ，故 正确． 故选： ． 20．（2023春•泗县校级月考）已知 ，则下列说法正确的有 A．若 恒成立，则实数 的取值范围是 B．若 有极值，则实数 的取值范围是 C．若 ，则实数 的取值范围是 ， D．若 有极值点 ， ，则 【解答】解： ， ， ． 恒成立，化为 ，令 ， ， ， （e） ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减． 时函数 取得极大值即最大值， （e） ， ，则实数 的取值范围是 ， ，因此 不正确． ．由 ， ．若 有极值，则方程 有变号正的零点， △ ， ，解得 ，因此实数 的取值范围是 ，因此 正确． ．不妨设 ，则 ， 令 ， ，则函数 在 单调递增， ，化为 ，令 ， ， ， 函数 在 时取极小值， （1） ， ，即实数 的取值范围是 ， ，因 此 正确． ．若 有极值点 ， ，则由 可得实数 的取值范围是 ，且 ， ， ， ， 令 ， ， ， 函 数 单 调 递 减 ， （ 1 ） ， 即 ，因此 正确． 故选： ． 三．填空题（共5小题） 21．（2023春•漳平市月考）若不等式 对任意 成立，则实数 的最小值为 ．【解答】解：若不等式 对任意 成立， 即 对任意 成立， 可得 对任意 成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， 易得 单调递增， 所以 对任意 成立， 即 对任意 成立， 所以 对任意 成立， 即 对任意 成立， 不妨设 ，函数定义域为 ， 可得 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减， 所以 ， 此时只需 ， 解得 ， 所以实数 的最小值为 ． 故答案为： ．22 ． （ 2023 春 • 宛 城 区 校 级 月 考 ） 在 等 比 数 列 中 ， ， 是 函 数 的极值点，则 ． 【解答】解：由函数 ， 则其导数 ， 由 ， 是函数 的极值点， 则 ， 是函数 的零点， 即 ， 是方程 的两个解， 故 ， ，且它们异号， 在等比数列 中， ，且 ， ， 同号，即 ， 故 ． 故答案为： ． 23．（2023春•图木舒克期末）已知函数 ，若 恒成立，则 实数 的取值范围为 ． 【解答】解：令 ， ，所以 单调递增， 因为 ，所以 ， 可得 ，所以 ，所以 恒成立， 即求 ，令 ， ， 当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减， 所以 ，可得 ． 故答案为： ． 24．（2023•江西模拟）当 时，不等式 恒成立，则 的范围为 ． 【解答】解：构造 ， ，且 （1） ， 因为 ，且 （1） ， 当 时， ， 在 ， 上单调递增， （1） 成立； 当 时， （1） ， 又 在 ， 上为连续函数， 存在 ， ，使 时， ，即 在 上单调递减， 此时 （1） ，不成立，舍去； 则 的范围为 ， 故答案为： ． 25．（2023春•龙岩期中）若函数 没有极值，则实数 的取值 范围是 ， ． 【解答】解： ，因为没有极值， ， 所以△ ， 解得 ． 故答案为： ， ． 四．解答题（共3小题） 26．设函数 为实常数， 是自然对数的底数）． （1）当 时，求函数 的最小值； （2）若函数 在区间 内存在三个极值点，求 的取值范围． 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 ， ， ， 因为当 ， ，理由如下： 要使当 ， ，只要 ，设 ， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在 处取得最小值 （2） ，即 时， ， 所以 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 在 处取得最小值为 （2） ．即当 时，函数 的最小值为 ． （2）因为 ， 当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，不存在三个极 值点，所以 ， 令 ，则 ，易知 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取得极小值， （2） ，且 （4） ， 于是可得 与 在 内有两个不同的交点的条件是 ， ， 设 与 在 内有两个不同的交点的横坐标分别为 ， ，则有 ， 下面列表分析 ， 随 的变化情况 2 4 ， ， 0 2 0 0 0 0 0 递减 极小值 递增 极大值 递减 极小值 递增 可知 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，在 上单调递减，在 ， 上单调递增， 所以 在区间 上存在三个极值点，即函数 在 内存在三个极值点的 的取 值范围是 ， ．27．（2021秋•攀枝花月考）已知函数 ． （1）求 的单调区间； （2）若函数 ，不等式 在 上恒成立，求实数 的取值 范围． 【解答】解：（1） ， ， 当 时， ， 在 上单增； 当 时，令 ，得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； （2）由题意，函数 ，且 在 上恒成立，先由 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 ， 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 ， 再令 ，且 ，可得 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 ，函数 取得最小值，最小值为 ，所以 ，即 在区间 上恒成立， 由（1）知，当 时， 在 上单调递增，所以 在 上恒 成立，符合题意； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 在 上不恒成立， 综上可得，实数 的取值范围是 ， ． 28．（2023春•包河区校级期末）函数 ， 是 的导函数． （1）求 的单调区间； （2）证明： ． 【解答】解：（1） ， 则 恒成立， 所以 单调递增区间为 ，无递减区间； （2）证明：由（1）可知， ， 单调递增区间为 ， 又 ， ； ， ， 故存在 ，使得 ， 且在区间 上单调递减，在 ， 上单调递增， 则 ， ， 等号不可取，所以 ．得证．