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专题 05 函数的奇偶性、单调性、周期性
一、单选题
1．（2024届广东省高三上学期第一次调研）已知函数 的图象关于点 对称，则下列函数是奇函
数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意知：将 图象向左平移 个单位长度，再向下平移 个单位长度，所得函数关于点
对称，则所得函数为奇函数， 为奇函数.故选D.
2．（2024届湖北省宜荆荆恩高三9月起点联考）定义在 上的减函数 满足条件：对 ，
，总有 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中，令 ，得 ，
所以有 ，因为函数 是定义在 上的减函数，所以有
，故选D
3．（2024届新疆喀什地区泽普县高三上学期第一次月考）已知 是定义在R上的奇函数，
的图象关于 对称， ，则 （ ）A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】因为 的图象关于 对称，所以 ，于是
，又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
则 ，即 ，所以 的周期为4，
所以 ，又因为 是定义在 上的奇函数，所以 .
故选 .
4．（2023届陕西省安康市石泉县高三下学期2月月考）若 是奇函数，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【解析】 是奇函数，则 ， ，
即 ，解之得 ，则 ，经检验 是奇函数.
故选B
5．（2023届河南省部分学校高三押题信息卷）设 是定义在 上的周期为5的奇函数， ，则
在 内的零点个数最少是（ ）
A．4 B．6 C．7 D．9
【答案】D
【解析】因为 是定义在 上的周期为5的奇函数，所以 ，又 ，所以
，则 ，则 ．所以 ，故零点至少有 ，则 在
内的零点个数最少是9．故选D
6．（2024届陕西省汉中市高三上学期第一次校际联考）已知定义在R上的奇函数 满足 ，
则以下说法错误的是（ ）
A． B． 的一个周期为2
C． D．
【答案】C
【解析】 是R上的奇函数，因此 ，A正确； ，所以2是它的一个周期，B正确；
，但 的值不确定，C错； ， ，因此
，D正确．故选C．
7．（2024届四川省广安高三上学期9月月考）已知函数 为 上的偶函数，且对任意 ，
且 ，均有 成立，若 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 对任意 ， 且 ，均有 成立，故 在
上单调递减.又 为 上的偶函数，故 ， ，
，且 ，即 ，故 ，
故 .故选A
8．（2023届安徽省临泉第一中学高三上学期第三次月考）已知函数 的定义域为R，且
， 是偶函数，若 ， ，则n的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ， ，
则 ，所以函数 是周期为4的函数，又 ，所以由 得 ，
因为 是偶函数，所以 ，所以 ，由周期性可得 ，
又 ，故 ，所以 ， ．
， ，所以 时， .故选B.
9．（2024届】河北省邯郸市高三上学期第一次调研）设函数 的定义域为 ， 为奇函数，
为偶函数，当 时， ，则（ ）
A． B．
C． 为奇函数 D．
【答案】D
【解析】因为 为奇函数，所以 ，即 ，
则 ，所以 ，因为 为偶函数，所以 ，即，
则 ，故A错误；由当 时， ，得 ，则 ，故
B错误； ，则 ，所以 ，
所以 ，故D正确；对于C，由 ，得 ，
若 为奇函数，则 也为奇函数，令 ，则 为奇函数，则 ，
又 ，矛盾，所以 不是奇函数，即 不是奇函数，故C错误.
故选D.
10．（2024届江苏省南京市六校高三上学期8月联考）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，
记 ，若 ， 均为偶函数，则下列等式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数 为偶函数，可得 ，则 ，所以函数 关
于 成轴对称；
由函数 为偶函数，可得 ，所以函数 关于 成轴对称；
对于A，设 ， ，显然符合题意，但 ，故A错误；
对于B，假设 不关于 成中心对称， ，
求导可得 ，即 ，显然与题设矛盾，所以 必定关于 成中心对称，
由 ，且 为函数 图象的对称轴，则 ，
由 ，
则函数 图象的对称轴为直线 ，
由 ，则 ，所以 ，故B正确；
对于C，设 ，令 ，解得 ，则 的对称轴为
；
，令 ，解得 ，则 的对称中心
为 ；
所以此时函数 符合题意， ，故C错误；
对于D，由选项C， 符合题意，则 ，
，故D错误.故选B.
11．（2023届河南省开封市杞县等4地高三三模）设定义在 上的函数 的导函数 ，且满足
， ．则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
令 ，则 ，
设 ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，
∴ ，
∴ ， 在 上单调递减，
又 ，理由如下：
如图，设 ，射线 与单位圆相交于点 ，过点 作 ⊥ 轴于点 ，
过点 作 ⊥ 轴交射线 于点 ，连接 ，
设扇形 的面积为 ，
则 ，即 ，
解得 ，
其中 ，故 ，∴ ．故选C
12．（2023届新疆乌鲁木齐市等5地高三高考第二次适应性检测）已知 ， 都是定义在 上的函
数，对任意x，y满足 ，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数 的图象关于点 对称
C． D．若 ，则
【答案】D
【解析】对于A，令 ，代入已知等式得 ，得 ，故A错误；
对于B，取 ，满足 及 ，
因为 ，所以 的图象不关于点 对称，
所以函数 的图象不关于点 对称，故B错误；
对于C，令 ， ，代入已知等式得 ，可得 ，结合 得 ， ，
再令 ，代入已知等式得 ，
将 ， 代入上式，得 ，所以函数 为奇函数.
令 ， ，代入已知等式，得 ，
因为 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，故C错误；
对于D，分别令 和 ，代入已知等式，得以下两个等式： ，
，
两式相加易得 ，所以有 ，
即： ，
有： ，
即： ，所以 为周期函数，且周期为3，
因为 ，所以 ，所以 ， ，
所以 ，
所以 ，故D正确.故选D.
二、多选题
13．（2024届山东省部分学校高三上学期联考）已知函数 对 都有 ，若函数的图象关于直线 对称，且对 ，当 时，都有 ，
则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 是奇函数
C． 是周期为4的周期函数
D．
【答案】AC
【解析】B选项， 的图象关于直线 对称，故 关于 轴对称， 是偶函数，B
错误；A选项， 中，令 得： ，
因为 ，所以 ，解得： ，A正确；
C选项，由于 ， ，故 ，
即 是周期为4的周期函数，C正确；
D选项，对 ， ，当 时，都有 ，
故 在 上单调递增，又 是周期为4的周期函数，且 是偶函数，
故 ， ，因为 ，
所以 ，D错误.故选AC
14．（2024届广东省深圳市福田区高三上学期模拟）已知函数 ，则满足
的整数 的取值可以是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BCD【解析】由题意得 ，故 为偶函数，而 ，当 时，
，故 在 单调递增，在 单调递减，若 ，则 ，得
，即 ，解得 ，故选BCD
15．（2023届云南省曲靖市第二中学学联体高三下学期第二次联考）在平面直角坐标系 中，如图放置
的边长为2的正方形 沿 轴滚动（无滑动滚动），点 恰好经过坐标原点，设顶点 的轨迹方
程是 ，则对函数 的判断正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．对任意的 ，都有
C．函数 的值域为
D．函数 在区间 上单调递增
【答案】ABC
【解析】当 时，点B的轨迹是以 为圆心，2为半径的四分之一圆；
当 时，点B的轨迹是以 为圆心， 为半径的四分之一圆；
当 时，点B的轨迹是以 为圆心，2为半径的四分之一圆.由图可知，函数 是偶函数，A正确；
因为正方形的周长为8，所以函数 是以8为周期的周期函数，
所以 ，所以 ，B正确；
由图可知，函数 的值域为 ，C正确；
因为函数 在 上单调递减，
所以由周期性可知函数 在区间 上单调递减，D错误.故选ABC
16．（2024届江苏省苏州市高三上学期期初调研）已知函数 定义域为 ， 是奇函数，
， ， 分别是函数 ， 的导函数，函数 在区间 上单调递
增，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由 是奇函数，则 ，令 ，有 ，A正确.
对于B，由 是奇函数，则 ，有 ，
所以 ，B正确.
对于C，由 ，有 ， ，∴ ，∴ ，C错.
对于D，由 知 关于直线 对称，
∵ 在 上单调递增，∴ 在 上单调递减，
，当且仅当 时取等号，
令 ，则 ，
解得 ， 在 上单调递增，
则 ，即 ，有 .
令 ， ， 时 ， 在 上单调递减，
所以 ， 有 ，即 .
而 ，
∴ ，D正确.故选ABD.
17．（2024届浙江省名校协作体高三上学期返校联考）设定义在R上的函数 与 的导函数分别为
和 ，若 ， ，且 为奇函数，则下列说法中一定正确
的是（ ）
A． B．函数 的图象关于 对称
C． 的周期为4 D．
【答案】AC
【解析】A选项， 为奇函数，故 关于点 中心对称，故 ，故A 正确；B选项， 关于点 中心对称，故 ，取导数则 ，即
，所以 关于 轴对称，故B错误；
C选项，因为 ，故 ，
， ，故 ，令 ，得
，故 ，故 ，
关于 轴对称，又 关于点 中心对称，故 周期为4，则 ，故 的
周期为4，故C正确；
D选项，因为 ， 关于 轴对称，所以 ，因为 关于点 中心对称，周期为4，
所以 ，故 ，
所以 ，而 的值不确定，故D错误.故选AC
三、填空题
18．（2024届新疆喀什地区泽普县第二中学高三上学期第一次月考）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围是
【答案】
【解析】 定义域为R，且 ，故 为奇函数，所以
，又 在R上单调递减，
所以 ，即 ，解得
19．（2024届江苏省南通市海安市高三上学期期初学业质量监测）已知定义在 上的函数 同时满足
下列三个条件：① 为奇函数；②当 时， ，③当 时， .
则函数 的零点的个数为 .
【答案】5
【解析】 ，则 ， ，
在 上为负， 递减；
在 为正， 递增，
， ， ，作出 在 的图象.
时， ，向上平移2个单位；
时， ，再向上平移2个单位， ， .
纵轴右边图象与左边图形关于原点对称，由图可知
函数 的图象在纵轴右边上有4个交点，
在纵轴左边上有1个交点点，
∴ 共有5个零点.
20．（2024届福建省厦门市松柏中学高三上学期第一次月考）已知函数 是奇函数，
则 .
【答案】
【解析】由题可得 定义域为 ，由定义域关于原点对称可知 .
则 ，又 为奇函数，
则 .则 .
21．（2024届北京市丰台区第二中学高三上学期开学考）设 ，函数 ，给
出下列四个结论：
① 的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ；
②当 时， 没有最大值，也没有最小值；
③设 ，则 没有最小值；
④设 ，则 时， 有最小值．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】对于①，当 时， ，
则 ， ，则 ，
此时，函数 在 上不可能单调递增，①错；
对于②，当 时，若 ，则 ，
当 时， ，则 ，则 ，
当 时， .
且 ，即 ，则 ，此时，函数 的值域为 ，
故当 时， 没有最大值，也没有最小值，②对；
对于③，当 时，由 整理可得 ，
则曲线 表示圆 的上半圆，作出函数 的图象如下图所示：
记点 、 ，则 ，
因为 ， ，
由图可知， ，则 没有最小值，③对；
对于④，因为 ， ，
当 时，过原点且垂直于直线 的直线的方程为 ，
联立 可得 ，
若 存在最小值，则点 在射线 上，
则 ，解得 ，
此时，原点到直线 的距离为 ， ，④对.
22．（2024届辽宁省沈阳市第一二〇中学高三上学期第一次质量监测）对于给定的区间 ，如果存在一个正的常数 ，使得 都有 ，且 对 恒成立，那么称函数 为 上的
“ 增函数”.已知函数 ，若函数 是 上的“3增函数”，则
实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】设 ，则 定义域为R，
且 ，故 为偶函数，
定义域为R，且 ，
故 为奇函数，
所以 为偶函数，
且 在 上单调递增，
故 在R上单调递增，
若 ，则画出 的图象如下：
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 单调递减，在 上单调递
增，因为 为偶函数，所以有 ，满足3增函数，
若 ，画出 的图象如下：
则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上
单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 单调递减，在 上单调递
增，在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，
所以只需任取 ，使得 ，
由对称性可知，存在 ，使得 ，且 ，
故满足 ，故满足3增函数，
若 时，画出 的图象如下：
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 上单调递增，在 上单调
递减，在 上单调递增，因为 为偶函数，
故只需满足任取 ，使得 ，
由对称性可知：存在 ，使得 ，
所以要满足 ，结合 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围是 .
