文档内容
芜湖一中 2025 届高三年级 10 月份教学质量诊断测试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
2.一个圆锥底面积是侧面积的一半，那么它的侧面展开图的圆心角为（ ）
A. B. C. D.
3.函数 ，已知 在 时取得极值，则 上的最大值为（ ）
A. B.1 C.9 D.4
4.《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧
所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角 ，若“弦”为 ，
“矢”为1时，则 等于（ ）
A.1 B. C. D.
5.已知函数 是定义在 上偶函数，当 时， ，若函数 仅
有4个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.6.已知函数 的定义域为 ， 是偶函数， 是奇函数，则 的最小值
为（ ）
A. B. C. D.
7.已知定义在 上的函数 满足 ，当 时， .若对任意
，都有 ，则实数 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8.设 ，若存在正实数 ，使得不等式 成立，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.设 .且 ，则（ ）
A. B. C. D.
10.已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则下列命题正确的是（ ）
A.当 时， B. 的解集为
C. ，都有 D.函数 有2个零点
11.已知函数 在区间 上有两个不同的零点 ， ，且 ，
则下列选项正确的是（ ）
A. 的取值范围是 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴非负半轴重合，终边经过点 ，则
______.
13.已知命题 ：函数 在区间 上单调递增，命题 ： ，若 是 的充分不必
要条件，则 的取值范围是______.
14.已知曲线 与 有公共切线，则实数 的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）
集合 ，
（1）求
（2）非空集合 ， 求实数 的范围.
16.（15分）
已知函数 .
（1）若函数 ，判断 的奇偶性，并求 的值域；
（2）若关于 的方程 ， 有实根，求实数 的取值范围.
17.（15分）
已知 在 处的切线方程为 .
（1）求函数 的解析式；
（2） 是 的导函数，证明：对任意 ，都有 .
18.（17分）
已知函数 .
（1）讨论 的单调性.
（2）已知 ， 是函数 的两个零点 .
（i）求实数 的取值范围；（ii） ， 是 的导函数.证明： .
19.（17分）
若函数 的定义域为 ，有 ，使 且 ，则对任意实数 ， ，曲线
与直线 总相切，称函数 为恒切函数.
（1）判断函数 是否为恒切函数，并说明理由；
（2）若函数 为恒切函数 .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）当 取最大值时，若函数 为恒切函数，记 ，证明： .
（参考数据： ）芜湖一中 2025 届高三年级 10 月份教学质量诊断测试
数学试题参考答案
选择题
单选 1 2 3 4 5 6 7 8
题
答案 C D C D A B B A
多选 9 10 11
题
答案 ACD BC BCD
填空题
12. 13. 14.
简析：
1.C. 则
2.D. 设底面半径为 ，母线为 ，则侧面积为 ，由 ，解得 ，圆锥底面圆的周长为
，所以该扇形的圆心角 .
3.C. ，解得 ， ， ，
令 ，解得 或 （舍）， .
4.D. 设半径长 ，可得 ， ， ，
解得 ；即可得 ， ， ；所以 .
5.A. 作出函数 图象，因为函数 仅有4个零点，所以函数 与 有4个交
点，根据图象可知：6.B. 因为 为偶函数， ，
即 ，（1）又函数 为奇函数，则 ，
即 ，（2）联立（1）（2）可得 ，
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立.
7.B. 当 时， ，且定义在 上的函数 满足 ，所以函数
的大致图象为：
因为 ，
所以 ，
所以由 ，可得 ，
当 时，由 的 ，所以实数 的最大值为
8.A. 因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
即 ，设函数 ， ， ，所以函数在 为增函数，所以 所以 ，
设函数 ， ，所以函数 在 为增函数，在 为减函数，
所以 ，所以 的最大值为 ，
9.ACD. 因为 ， ，所以 ，故A正确；
因为 ，设 ， ，则 ，故B错误；
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，当且仅当 等号成立，故D正确.
10.BC. 是定义在 上的奇函数， 时， ，故A错误；
当 时，由 ，得 ，当 时，由 ，得 ；
所以 的解集为 ，故B正确；
的值域为 ，所以 ，都有 ，故C正确；
因为 ， ，又 ，所以 有3个零点，故D错误；
11.BCD. ，
令 ，由题可知，令 ，得 ，显然，当 时， ，所以 单调递减；
当 时， ，所以 单调递增； ，得 示意图如
上图：
所以 都符合题意，故A错误；
由图可知 ， ，因为 ，所以 ， 互
为倒数，即 ，故B正确；
，当且仅当 时等号成立，
因为 ，所以 ，故C正确；
因为 ，要证D，即证 即证 ，
因为 ，所以 ，即证 ，
先证明 ：因为 ，所以 ，
，
再证明 ；要证 ，即证 ，
不妨设 ，得 ，
当 时， ，此时 单调递减；当 时， ，此时 单调递增；
故 ，故 ，即 ，所以证得故选项D正确.
12. . .
13. . ，解得： ，又 是 的真子集， 的范围是
14. . 设曲线 与 的切点分别为 ，
因为 ， ，则两切线斜率 ， ，
所以 ， ，
所以 ，所以 ，即 ，
令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 ，即 ，
即
解答题
15.（13分）
解：（1） ，
所以 .
所以
（2）因为 ，所以 ， ，
即 ，
需满足 且 ，解得实数 的范围是 .
16.（15分）
解：（1）由 得 定义域为：
因此定义域不关于原点对称，所以函数 为非奇非偶函数.
由题意知：
当 时，
所以 ，
所以函数 的值域为 .
（2）方程有实根，即 有实根，
构造函数
则
因为函数 在 上单调递减，而 在 上单调递增
所以复合函数 是 上的单调递减函数
所以 在 上最小值为 ，
最大值为
即 ，
所以当 时，方程有实根.
17.（15分）解：（1）由题意可得， ，且 ，
则 ，
即 ，即 ，
所以 .
（2）由（1）可知， ，
所以 ，
令 ，
则 ，
所以 时， ，
即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
18.（17分）
解：（1） .
当 时， ， 在 上单调递增.当 时，令 得 ，
即 在 上单调递增；
同理，令 得 ，
即 在 上单调递减.
（2）（i）由（1）可知当 时， 在 上单调递增，不可能有两个零点.
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，
若使 有两个零点，则 ，即 ，解得 ，
且 ，当 时， ，
则有 ， ，
所以 的取值范围为 .
（ii） ， 是函数 的两个零点，则有 （1）， （2）
（1） （2）得 ，即 ，
，
因为 有两个零点，所以 不单调，因为 ，得 ，所以 ， .
若要证明 成立，只需证 ，
即证 ，
令 ，则 ，则不等式只需证 ，
即证 ，令 ，
令 ，
令 ，因为 ，得 在 上单调递减，
得 ，得 ，
即 在 上单调递减
得 ，得 ，即 在 上单调递减，
所以有 ，
故有 ，不等式得证.
19.（17分）
解：（1）设函数 为恒切函数，则有 ，
使 且 ，即 ，解得 ，故函数 是恒切函数.
（2）（i）由函数 为恒切函数可知，
存在 ，使得 且 ，
即 解得 ，
设 ，
当 时， 递增；
当 时， 递减.
，即实数 的取值范围是 .
（ii）当 时， ，函数 为恒切函数.
又 ，
所以存在 ，使得 ，即 .
令 ，则 ，
当 时， 递减；当 时， 递增.
所以当 时， ， ，
故在 上存在唯一 ，
使得 ，即 .又由 ，
得 ，
由 得 ，所以 .
又 ，所以当 时，有唯一零点 ，
故由 得 ，即 .
.
