文档内容
江苏省宿迁市沭阳县 2024−2025 学年高二下学期 4 月期中调
研测试数学试卷
一、单选题（本大题共8小题）
1．若 ，则正整数m的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知点 ，若向量 ，则点 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．在四面体OABC中， ， ， ，点M在OA上，且 ，N
为 中点，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
4． （ ）
A． B． C． D．
5．已知 ，空间向量 为单位向量， ，则空间向量 在向量 方向
上的投影向量为（ ）
A．2 B． C． D．
6．若平面 过点 且该平面的一个法向量为 ，则点 到平面
的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．学校开展班级轮值活动，高二某班有A，B，C，D四个轮值小组负责甲，乙，丙三
个地点的站岗值班任务，每个小组负责一个地点，每个地点至少有一个小组负责，且
A小组不去甲地点，则不同的任务分配方法种数为（ ）
A．36 B．24 C．18 D．12
8．若正整数 ， 满足等式 ，且 ，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．2023 D．2024
二、多选题（本大题共3小题）9．若 为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是
（ ）
A． B．
C． D．
10．用数字0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字的四位数，下列说法正确的
是（ ）
A．共可组成360个四位数
B．四位偶数有156个
C．能被25整除的四位数有21个
D．从小到大排列第89个数为2340
11．已知：空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为 的
平面α的方程为 ；过点 且一个方向向量为
的直线l的方程为 .利用上面的材料，解决下
面的问题：已知平面α的方程为 ，直线l是平面 与
的交线，则下列说法正确的是（ ）
A．平面α的一个法向量为
B．直线l经过点
C．直线l的一个方向向量为
D．直线l与平面α所成角的正弦值为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知直线l的方向向量为 ，平面α的法向量为 .若 ，则
实数λ的值为 .
13． 的展开式中 的系数为 （用数字作答）.
14．设集合 ，若I的非空子集 满足 ，我们称有序集合对
为I的“互斥集合对”，则集合I的“互斥集合对”的个数为 .（用数字作
答）四、解答题（本大题共5小题）
15．已知 .
(1)求 ；
(2)当 时，求实数k的值.
16．高二某班准备从7名班委中（其中男生4人，女生3人）选择4人参加活动.
(1)共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(2)若要求至少有两名女生，共有多少种不同选法？（结果用数字作答）
(3)若7名班委中班长和副班长两人不能同时参加该活动，则不同的选择方法有多少
种？（结果用数字作答）
17．如图，平行六面体 的底面 为正方形，棱长都为 ，且
，设 ， ， ， ， 分别是棱 ， 的中
点，点 为棱 上的动点.
(1)用 ， ， 表示 ；
(2)若 为棱 的中点，求 ；
(3)是否存在点 ，使 ，若存在，试确定点 的位置，若不存在，请说明理由.
18．已知 .
(1)若 ，求：
① 的值，
② 的值；
(2)若 ，求 的最小值.
19．如图，直角梯形 和矩形 所在的平面互相垂直， ， ，
.(1)证明： ；
(2)若 ，动点 在矩形 内（含边界），且 .
①求动点 的轨迹的长度；
②设直线 与平面 所成角为 ，求 的取值范围.参考答案
1．【答案】C
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，得 .
故选C.
2．【答案】A
【详解】设 ，因为 ，且 ，
则 ，所以 ，即 .
故选A.
3．【答案】D
【详解】
.
故选D.
4．【答案】B
【详解】 ，
故选B.
5．【答案】B
【详解】空间向量 在向量 方向上的投影向量为 ，因为 为单位向量， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选B.
6．【答案】A
【详解】由题意可知： ，且平面 的一个法向量为 ，
所以点 到平面 的距离 .
故选A.
7．【答案】B
【详解】若甲地去一组，从B，C，D选一组，剩下3组分成2组去两地即可，
则有 ，
若甲地去两组，从B，C，D选两组，剩下2组分成2组去两地即可，
则有 ，
故共有 种，
故选B.
8．【答案】D
【详解】∵
，
∴ .
故选D.
9．【答案】BCD
【详解】对于A：因为 ，共面，不能构成基底；
对于B：设 ，所以 ，无解，
所以 是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确；
对于C：设 ，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正
确；对于D：设 ，则 ，
所以 ，无解，
所以 是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确；
故选BCD.
10．【答案】BC
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B， ，故B正确；
对于C，由能被 整除的数后两位为 ，则 ，故C正确；
对于D，最高位为 的四位数有 ，前两位为 的四位数有 ，
前两位为 的四位数有 ，前三位为 的四位数有 ，
由 ，且 ， ，则从小到大排列第 个数为 ，故D错
误.
故选BC.
11．【答案】ABD
【详解】由平面 的方程为 ，所以可得平面法向量为 ，故
A正确；
因为直线l是平面 与 的交线，
所以直线l经过的点必在这两个平面上，经检验：
满足方程 ，也满足 ，
故直线l经过点 ，故B正确；
设直线l的一个方向向量为 ，
而平面 与 的法向量分别为 ，
则有 ，可得 ，
令 ，则 ，所以 ，故C错误；
,
故直线l与平面α所成角的正弦值为 ，故D正确；
故选ABD.12．【答案】 /2.5
【详解】由题意可得： ，
即 ，
解得： .
13．【答案】
【详解】因为 的二项展开式为 ，
令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
可得 ，
所以 的展开式中 的系数为 .
14．【答案】602
【详解】若 中只有一个元素，有 种选择，此时对应的 为 的补集中 个元素的非
空子集有 个，故有 ，
若 中只有2个元素，有 种选择，此时对应的 为 的补集中4个元素的非空子集
有 个，故有 ，
若 中只有3个元素，有 种选择，此时对应的 为 的补集中3个元素的非空子集
有 个，故有 ，
若 中只有4个元素，有 种选择，此时对应的 为 的补集中2个元素的非空子集
有 个，故有 ，
若 中只有5个元素，有 种选择，此时对应的 为 的补集中1个元素的非空子集
有 个，故有 ，
所以共有 .
15．【答案】(1)2
(2)－1
【详解】（1） ，所以
（2）因为 ，
若 ，则存在 ，使得
即 ，
所以 ，解得 ，
所以实数k的值为－1.
16．【答案】(1)35
(2)22
(3)25
【详解】（1） （种）
（2） （种）
（3） （种）
17．【答案】(1)
(2)
(3)存在， 为 的中点
【详解】（1） ；
（2）若P为棱 的中点，则 ， ，
所以
；
（3）设 ，
则 ，由（1）知
所以 ,
即 ，
化简得 ，解得 ，所以这样的点 存在，且 为 的中点.
18．【答案】(1)①153②78
(2)85
【详解】（1）因为 ，所以
①令 得， ，
令 得， ，
所以 ，
②令 得， ，
由①得， ，
所以 ；
（2）由 得， ，
所以 ，
当 时， ， ，
当 时， ，
结合二次函数的性质可知当 时 ，
所以 的最小值为85
19．【答案】(1)证明见解析
(2)① ②
【详解】（1）证明：直角梯形 和矩形 所在的平面互相垂直，且交线为
， ，
平面 ，所以 平面 ,
因为 平面 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，可知 ，
又因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又因为 平面 ，
所以 .
（2）①因为 平面 ， ，
以 为坐标原点，直线 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，即 ，
整理可得： ，
可知动点M的轨迹是以 为圆心，半径为1的半圆，
所以动点M的轨迹的长度 ，
②由①可设： ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，则 ，取 ，可得 ，
则 ，
因为 ，则 ，可得 ，
所以 ，
