2003年天津高考理科数学真题及答案_数学高考真题试卷_旧1990-2007·高考数学真题_1990-2007·高考数学真题·PDF_天津

2003 年天津高考理科数学真题及答案 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 参考公式： 如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P（A）+P（B） S=4πR2 如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径 P（A·B）=P（A）·P（B） 球的体积公式 4 如果事件A在一次试验中发生的概率是P. V  R3其中R表示球的半径 3 那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概 率P (k) CkPk(1P)nk n n 一、选择题：每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 3i 1．  （ ） ( 3i)2 1 3 1 3 1 3 1 3 A．  i B．  i C．  i D．  i 4 4 4 4 2 2 2 2  4 2．已知x( ,0),cosx  ,则tan2x  （ ） 2 5 7 7 24 24 A． B．－ C． D．－ 24 24 7 7 2x 1,x 0,  3．设函数 f(x)   1 , 若 f(x 0 ) 1，则x 0 的取值范围是 （ ）  x2 x 0 A．（－1，1）； B．（－1，+∞）；C．（－∞，－2）∪（0，+∞）；D．（－∞，－1）∪（1，+∞）。 4．O是平面上一 定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足 AB AC OPOA(  [0,). |AB| |AC| 则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 x1 5．函数y ln ,x(1,)的反函数为 （ ） x1 ex 1 ex 1 A．y  ,x(0,) B．y  ,x(0,) ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 C．y  ,x(,0) D．y  ,x(,0) ex 1 ex 1 6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ） a3 a3 a3 a3 A． B． C． D． 3 4 6 12 第1页 | 共9页 7．设a 0, f(x)  ax2 bxc，曲线y  f(x)在点P(x , f(x ))处切处的倾斜角的取值范围为[0, ]，则P 0 0 4 到曲线y  f(x)对称轴距离的取值范围为 （ ） 1 1 b b1 A．[0, ] B．[0, ] C．[0,| |] D．[0,| |] a 2a 2a 2a 1 8．已知方程(x2 2xm)(x2 2xn) 0的四个根组成的一个首项为 的等差数列，则|mn|（ ） 4 3 1 3 A．1 B． C． D． 4 2 8 2 9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7,0),直线y  x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 , 3 则此双曲线的方程是 （ ） x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 A．  1 B．  1 C．  1 D．  1 3 4 4 3 5 2 2 5 10．已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P 沿与AB夹角 0 为θ的方向射到BC上的点P 后，依次反射到CD、DA和AB上的点P，P 和P（入射角等于反射角）设P 的 1 2 3 4 4 坐标为（x，0），若1 x  2则tan的取值范围是 （ ） 4 4 1 1 2 2 1 2 2 A．（ ，1） B．( , ） C．( , ) D．( , ) 3 3 3 5 2 5 3 C2 C2 C2  C2 11．lim 2 3 4  n  （ ） nn(C 2 1 C 3 1 C 4 1   C n 1) 1 1 A．3 B． C． D．6 3 6 12．一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A．3π B．4π C．3 3 D．6π 第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案填在题中横线上. 1 13．(x2  )9展开式中x9的系数是 . 2x 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量现用分层 抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种 不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同 的栽种方法有 （以数字作答） 16．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP 的图形的序号是 .（写出所有符合要求的图形序号） 第2页 | 共9页P P M P N N N N M M M P N P M ① ② ③ ④ ⑤ 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）已知函数 f(x)  2sinx(sinxcosx). （1）求函数 f(x)的最小正周期和最大值；   y （2）在给出的直角坐标系中，画出函数y  f(x)在区间[ , ]上的图象. 2 2 O x 18．（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC—ABC 中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA=2，D、E分别是CC 与AB 1 1 1 1 1 1 的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. C （Ⅰ）求AB与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； 1 1 （Ⅱ）求点A 到平面AED的距离. 1 A B 1 1 D 19．（本小题满分12分） E 设a 0，求函数 f(x)  x ln(xa)(x(0,)的单调区间. C G 20．（本小题满分12分） A B A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A，A，A，B 1 2 3 队队员是B，B，B，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下： 1 2 3 对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率 2 1 A 对B 1 1 3 3 2 3 A 对B 2 2 5 5 2 3 A 对B 3 3 5 5 现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η （1）求ξ、η的概率分布； （2）求Eξ，Eη. 第3页 | 共9页21．（本小题满分14分） 已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a） 以i－2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定 值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由. 22．（本小题满分14分） 设a 为常数，且a 3n1 2a (nN) 0 n n1 1 （1）证明对任意n1,a  [3n (1)n12n](1)n 2na ； n 5 0 （2）假设对任意n 1有a  a ，求a 的取值范围. n n1 0 第4页 | 共9页一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5分，满分60分 1.B 2.D 3.D 4.B 5.B 6.C 7.B 8.C 9.D 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分 21 13． 14．6，30，10 15．120 16．①④⑤ 2 三、解答题 17．本小题主要考查三角函数的基本性质和恒等变换的基本技能,考查画图的技能.满分12分. 解：（1） f(x)  2sin2 x2sinxcosx 1cos2xsin2x    1 2(sin2xcos cos2xsin ) 1 2sin(2x ) 4 4 4 所以函数 f(x)的最小正周期为，最大值为1 2. 3   3 5   （2）由（1）知 x 8 8 8 8 8 y 1 1 2 1 1 2 1   故函数y  f(x)在区间[ , ]上的图象是 2 2 18．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空 间想象能力和推理运算能力. 满分12分. 解法一：（Ⅰ）解：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是AB与平面ABD所成的角. 1 设F为AB中点，连结EF、FC， C 1 A B 1 1 D E K C G A B F D,E分别是CC ,AB的中点,又DC平面ABC,CDEF为矩形  1 1 连结DE,G是ADB的重心,GDF.在直角三角形EFD中 1 EF2 FGFD FD2, EF1,FD 3. (4分)   3 1 2 6 于是ED 2,EG  . 3 3 FCCD 2,AB2 2,AB2 3,EB 3.  1 EG 6 1 2 sinEBG    . EB 3 3 3 2 AB与平面ABD所成的角是arcsin . 1 3 第5页 | 共9页（Ⅱ）连结AD，有V V 1 AAED DAAE 1 1 ED  AB,ED  EF,又EF  AB  F,  ED平面A AB, 设A 到平面AED的距离为h， 1 1 2 6 2 6 则S AED h  S A 1 AB ED  A 1 K  3 . 故A 1 到平面AED的距离为 3 . 19．本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力. 满分12分. 1 1 解： f(x)  (x 0). 2 x xa 当a 0,x 0时 f (x) 0  x2 (2a4)xa2 0. f(x)0 x2 (2a4)xa2 0 （i）当a 1时，对所有x 0，有x2 (2a4)a2 0. 即 f (x) 0，此时 f(x)在(0,)内单调递增. （ii）当a 1时，对x 1，有x2 (2a4)xa2 0， 即 f (x) 0，此时 f(x)在（0，1）内单调递增，又知函数 f(x)在x=1处连续，因此， 函数 f(x)在（0，+）内单调递增 （iii）当0 a 1时，令 f (x) 0，即x2 (2a4)xa2 0. 解得x2a2 1a,或x 2a2 1a . 因此，函数 f(x)在区间(0,2a2 1a)内单调递增，在区间(2a2 1a,) 内也单调递增. 令 f (x)0,即x2 (2a4)xa2 0， 解得2a2 1a  x 2a2 1a. 因此，函数 f(x)在区间（2a-2 1a,2a2 1a)内单调递减. 20．本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力（满分 12分）. 解：（1）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0. 2 2 2 8 P(3)    3 5 5 75 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(2)          3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 第6页 | 共9页2 3 3 1 2 3 1 3 2 2， P(1)          3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(0)    3 5 5 25 1 1 1 6 又S  S  A AAB  2， S  AEED ， B 1 AE 2 A 1 AB 4 1 AED 2 2 2 2 2 6 . h  6 3 2 解法二：（1）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠ABG是AB与平面ABD所成的角. 1 1 如图所示建立坐标系，坐标原点为O，设CA=2a， 则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1） A（2a，0，2） 1 2a 2a 1 E（a，a，1） G（ , , ）. 3 3 3 a a 2 GE ( , , ),BD (0,2a,1)， 3 3 3 2 2 GEBD   a2  0，解得a=1. 3 3 2 4 1 BA (2,2,2),BG ( , , ), 1 3 3 3 BA BG 14/3 7 . cosABG  1   1 |BA ||BG| 1 3 1 2 3 21 3 7 AB与平面ABD所成角是arccos 1 3 . （2）由（1）有A（2，0，0），A（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1） 1 AEED (1,1,1)(1,1，0）0，AA ED (0,0,2)(1,1,0) 0 1 ED 平面AAE，又ED平面AED. 1 ∴平面AED⊥平面AAE，又面AED 面AAE=AE， 1  1 ∴点A在平面AED的射影K在AE上. 第7页 | 共9页设AK AE， 则A K  A A AK (,,2) 1 1 2 由A K AE 0，即2 0， 解得 . 1 3 2 2 4 A K ( , , ) 1 3 3 3 8 28 根据题意知ξ+η=3，所以 P(η=0)=P(ξ=3)= , P(η=1)=P(ξ=2)= 75 75 2 3 P(η=2)=P(ξ=1)= , P(η=3)=P(ξ=0)= . 5 25 8 28 2 3 22 23 （2）E3 2 1 0  ； 因为ξ+η=3，所以 E3E . 75 75 5 25 15 15 21．本小题主要考查平面向量的概念和计算,求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲 线与方程的关系等解析几何的基本思想和综合解题能力，满分12分. 解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的 和为定值. ∵i=（1，0），c=（0，a）， ∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）. 因此，直线OP和AP的方程分别为 yax 和 ya2ax. 消去参数λ，得点P(x,y)的坐标满足方程y(ya)2a2x2. a 整理得 x2 (y 2 )2 ……① 因为a 0,所以得：  1. 1 a ( )2 8 2 2 （i）当a  时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F； 2 （ii）当 0a 2时，方程①表示椭圆，焦点E( 1 1 a2, a )和F( 1 1 a2, a )为合乎题意的两个定点； 2 2 2 2 2 2 2 （iii）当 a 2 时，方程①也表示椭圆，焦点E(0, 1 (a a2  1 ))和F(0, 1 (a a2  1 ))为合乎题意的两个 2 2 2 2 2 定点. 22．本小题主要考查数列、等比数列的概念，考查数学归纳法，考查灵活运用数学知识分析问题和解决问题的 能力，满分14分. （1）证法一：（i）当n=1时，由已知a=1－2a，等式成立； 1 0 1 （ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，则a  [3k (1)k12k](1)k2a , k 5 0 2 那么a 3k 2a 3k  [3k (1)k12k](1)k2k1a k1 k 5 0 1  [3k1 (1)k2k1](1)k12k1a . 5 0 也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N，成立. 1 证法二：如果设a 3n1 2(a a3n1), 用a 3n1 2a 代入，可解出a  . n n1 n n1 5 第8页 | 共9页所以  3n 是公比为－2，首项为 3的等比数列. a   a   n 5  1 5 3n 3 3n (1)n12n a  (12a  )(2)n1(nN). 即 a  (1)n2na . n 5 0 5 n 5 0 23n1 (1)n132n1 （2）解法一：由a 通项公式 a a  (1)n32n1a . n n n1 5 0 3 a a (nN)等价于 (1)n1(5a 1)( )n2(nN).……① n n1 0 2 3 （i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为 (1)2k2(5a 1)( )2k3 0 2 1 3 1 即为 a  ( )2k3  .……② 0 5 2 5 ②式对k=1，2，…都成立，有 a  1 ( 3 )1 1  1 . 0 5 2 5 3 3 （ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为 (1)2k1(5a 1)( )2k2. 0 2 1 3 1 即为 a   ( )2k2  .……③ ③式对k=1，2，…都成立，有 0 5 2 5 1 3 1 1 a   ( )212  0. 综上，①式对任意n∈N，成立，有0a  . 0 5 2 5 * 0 3 1 故a的取值范围为(0, ). 0 3 解法二：如果a  a （n∈N）成立，特别取n=1，2有 a a 13a 0. n n1 * 1 0 0 1 1 a a 6a 0. 因此 0 a  . 下面证明当0 a  .时，对任意n∈N， 2 1 0 0 3 0 3 * a a 0. 由a的通项公式 5(a a )23n1 (1)n132n1 (1)n532n1a . n n1 n n n1 0 （i）当n=2k－1，k=1，2…时， 5(a a )23n132n1532n1a n n1 0  22n1 32n1 532n1 0 （ii）当n=2k，k=1，2…时，5(a a )23n132n1532n1a n n1 0  23n1 32n1 0. 1 故a的取值范围为(0, ). 0 3 第9页 | 共9页