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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(19)
(导数的综合应用)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.函数 ，正确的命题是（ ）
A. 值域为 B. 在 是增函数
C. 有两个不同的零点 D. 过 点的切线有两条
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
因此当 时 在 上是增函数，即在 上是增函数；
当 时 在 上是减函数，因此 ；值域不为R;
当 时 ,当 时 只有一个零点，即 只有一个零点；
设切点为 ，则 ，所以过 点的切线只有一条；
故选:B.
2.已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上有增也有减 B． 有2个极小值点
C． D． 有1个极大值点
【答案】D
【解析】由图可得，当 ， 时， ，当 时， .所以 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ，
所以 有1个极大值点，1个极小值点.
故A、B错误，而 ，C错误.
故选：D
3.已知函数 在 上单调递增，且 在区间 上既有最大值又有最小值，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】1.因为 ，则 ，
若 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 恒成立，则 ，解得 ；
2.因为 ，则 ，
①当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递增，
此时只有最大值，没有最小值不满足题意；
②当 时， 对任意 恒成立，所以 在 上单调递减，
此时只有最小值，没有最大值不满足题意；
③当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 单调递增，在 单调递减，所以 为最小值，
若 在 上既有最大值，又有最小值，
则 且 ，解得： ；综上所述： ．
故选：B.
4.（2023秋·江苏常州·高三前黄高级中学月考）设函数 ，则关于 的不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.【答案】D
【解析】因为 ，其定义域为 ，
所以 ，故 为奇函数，
又 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 在 上单调递增，
故由 得 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：D.
5.（2023秋·江苏苏州·高三南京师范大学苏州实验学校月考）已知函数
，则不正确的是（ ）
A. 若点 可能是曲线 的对称中心，则 ，
B. 一定有两个极值点
C. 函数 可能在 上单调递增
D. 直线 可能是曲线 的切线
【答案】C
【解析】 ，
若点 可能是曲线 的对称中心，
则有 恒成立，
所以 恒成立，
所以 ， ，
故选项A正确；
因为 ，
所以 ，所以 ，
所以 有两个变号零点，不妨假设为 且 ，
x
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
所以 一定有两个极值点，
故选项B正确；
，
所以 有两根，不妨假设为 且
所以在区间 函数单调递增，在 函数单调递减，在 函数单调递增，
故选项C错误；
设切点为 ，则有
，
解得 或
故直线 可能是曲线 的切线，
故D选项正确.
故选：C.
6.若关于 的不等式 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 有意义可知， .
由 ，得 .令 ，即有 .
因为 ，所以 ，令 ，
问题转化为存在 ，使得 .
因为 ，令 ，即 ，解得 ；
令 ，即 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
又 ，所以当 时， .
因为存在 ，使得 成立，所以只需 且 ，解得 .
故选：B.
7.（2023秋·江苏·高三靖江中学、华罗庚中学联考）已知函数 ，
，设方程 的3个实根分别为 ， ， ，且 ，则 的
值可能为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题设， 的定义域为 ，且 ，
∴当 时， ，即 递减；当 时， ，即 递增.
∴ ，又 在 上逐渐变小时 逐渐趋近于0，当 时
且随 趋向于0， 趋向无穷大.（如图2）
∴ 的图象如图1、图2：图1
图2
∵ 的定义域为 ，由 可得： 在 上必有两个
不等的实根
(假设 )且 ，
∴令 ，要使 的3个实根，则
、 ，即 ，可得 .
∴由 知： ， ，
∴ .
故选：B
8.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学月考）若实数 满足 ，则
的最小值是（ ）
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
【答案】A
【解析】由 ，得 ，令 ，则 ，令 得 ，当 时， 单调递减，当 时，
单调递增；
由 ，得 ，令 ，
的图像如下图：
则 表示 上一点 与 上一点 的距离的平方，
的
显然，当过M点 的切线与 平行时， 最小，
设 上与 平行的切线的切点为 ，由 ，解得 ，
所以切点为 ，切点到 的距离的平方为 ，
即 的最小值为8；
故选：A.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A. 在 处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. 的极小值点为 D.
【答案】AD
【解析】函数定义域为 ，令 ，解得 ，当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以当 时，函数有极大值为 ，则A正确，C不正确；
当 时， ，因为 在 上单调递增，所以在 上有一个零点，
当 时， ，所以 ，此时无零点，所以 有一个零点，B不正确；
因为 ， 在 上单调递增，所以 ，
故选:AD.
10.（2023秋·江苏南京·高三第九中学月考）已知函数 的导函数为
，则以下结论中，正确的是（ ）
A. 是 的对称中心 B. 是增函数
C. 是偶函数 D. 最大值与最小值的和为2
【答案】ACD
【解析】对A，已知函数 ，则 ，
所以 ，因此 关于点 对称，故A正确；
对B，又 ，则 ，所以 不是增
函数，故B不正确；
对C，又 ，所以 是偶函数，故C正确；
对D，又函数 在闭区间 上有最值，又 关于点 对称，所以 最大值与最小值的
和为2，故D正确.
故选：ACD.
11.（2023秋·江苏常州·高三常州市联盟学校月考）已知函数 ，其中 ，则（
）
A. 不等式 对 恒成立B. 若关于x的方程 有且只有两个实根，则k的取值范围
C. 方程 恰有3个实根
D. 若关于x的不等式 恰有1个正整数解，则a的取值范围为
【答案】AD
【解析】对于选项A， ，
当 或 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 出取得极小值， ，
在 处取得极大值， ，
而 时，恒有 成立，
∴ 的最小值是 ，即 ，对 恒成立，故A正确；
对于B选项，方程 有且只有两个实根，
即曲线 与直线 有且只有两个交点，
由A选项分析，曲线 与直线 图像如下，
由图知，当 或 时，曲线 与直线 有且只有两个交点，故B错误；对于C选项，由 ，得 ，解得 ，
令 ，和 ，而 ，
由图像知， 和 分别有两解：
综上，方程 共有4个根，C错误；
对于D选项，直线 过原点，且 ， ， ，
记 ， ， ，
易判断， ，
不等式 恰有1个正整数解，
即曲线 在 的图像上方对应的x值恰有1个正整数，
由图可得 ，即 ，故D正确．
故选：AD.
12.（2023秋·江苏南京·高三六校联考）已知函数 ，则下列说法正确的是（
）
A. 当 时， 在 上单调递增
B. 若 的图象在 处的切线与直线 垂直，则实数
C. 当 时， 不存在极值
D. 当 时， 有且仅有两个零点 ，且
【答案】ABD
【解析】因为 ，定义域为 且 ，
所以 ，
对于A，当 时， ，所以 在 和 上单调递增，故A正确；
对于B，因为直线 的斜率为 ，
又因为 的图象在 处的切线与直线 垂直，
故令 ，解得 ，故B正确；对于C，当 时，不妨取 ，
则 ，
令 ，则有 ，解得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上分别单调递减；
所以此时函数有极值，故C错误；
对于D，由A可知，当 时， 在 和 上单调递增，
当 时， ，
，
所以 在 上有一个零点，
又因为当 时， ，
，所以 在 上有一个零点，
所以 有两个零点，分别位于 和 内；
设 ，
令 ，则有 ，
则
，
所以 的两根互为倒数，所以 ，故D正确．
故选：ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.已知 在区间 上的最大值就是函数 的极大值，则m的取值范围是
________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 .
由题意得 ，
故 ．
故答案为： .
14.已知函数 的导函数为 ，其中 为自然对数的底数，若 ，使得
，则实数 的取值范围为____________
【答案】【解析】（1）由 ，可得 ，
因为 ，使得 ，
所以 ，使得 ，
则有 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围为 ；
故答案为：
15.（2023秋·湖南·高三部分学校联考）如图，已知平面五边形 的周长为12，若四边形 为
正方形，且 ，则当 的面积取得最大值时， ______．
【答案】
【解析】过点 作 ，垂足为 ．设 ，则 ，
∵ ，∴ ，则 ，
由 ，得 ．
在 中， ．
记 的面积为 ，则 ．设函数 ，则 ，
令 ，得 或 ．当 时， ；
当 时， ．故当 时， 取得最大值，
则 取得最大值，此时 ．
故答案为： .
16.已知不等式 在 上恒成立，则实数 的最小值为___________.
【答案】 ##
【解析】因 ，可得 ，
为
构造函数 ，则 ，且 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
因为求 的最小值，只需考虑 的情形，
因为 ，则 ， ，所以， ，可得 ，则 ，令 ，其中 ，则 ，
所以，函数 上单调递减，故 ，
在
所以， ，即 ，解得 .
因此，实数 的最小值为 .
故答案为： .
