上海专用信息必刷卷04解析_2024高考押题卷_62024学科网全系列_2024年高考考前信息必刷卷_（上海）信息必刷卷

绝密★启用前 2024 年高考考前信息必刷卷 04（上海专用） 数 学 2023 届上海首次新教材数学高考的平均分的统计数据，平均分为 106 分，要比以往老教 材高考要高 6 分到 10 分，也就导致了 2023 届上海高考的分数整体上涨。录取位次提高。 究其原因，主要原因就是新教材的第一届，摸不准同学对于新教材难点内容的掌握情况， 核心就是“导数”部分，“导数”题目最终和“数列”二合一成了最后一道压轴题，比 历届纯数列压轴题目难度有所降低。 类似情况还出现在 2017 年首次上海“新高考”中的物理和化学的赋分制等级考中，难 度也比较低。后续就逐渐增加难度了。 再结合 2024 届上海高考人数会继续小幅上涨，预计接近 6 万人，以及高考难度的“大 小年”因此对于 2024 届上海高考数学的难度，变数也比较大。预计难度有所提高。主 要就是关注“导数”题型的难度变化。 大题预估：立体几何+ 统计概率 + 圆锥曲线 + 导数综合 + 数列综合 【备注】其中导数综合和数列综合可以互相颠倒为最后的压轴题 一．填空题（共12小题） 1．（2024•浦东新区校级模拟）设i为虚数单位，若复数(1i)(1ai)是纯虚数，则实数a 1 ． 【分析】先化简复数，再利用复数的相关概念求解． 【解答】解：复数(1i)(1ai)(1a)(a1)i ， 因为复数(1i)(1ai)是纯虚数， 1a0 所以 ，解得a1． a10 故答案为：1． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题． 1  1,x0 2．（2024春•文安县校级月考）函数 f(x)x 的值域为 (1，0](1,) ．  2x 1,x„0 【分析】分x0和x„0两种情况，分别求出 f(x)的取值范围，最后取并集即可． 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx0021 【解答】解：当x0时， f(x) 11， x 当x„0时， f(x)2x 1， 02x „1，1 f(x)„0， 综上所述，函数 f(x)的值域为(1，0](1,)． 故答案为：(1，0](1,)． 【点评】本题主要考查了求分段函数的值域，属于基础题． 8 3．（2023秋•闵行区校级期末）已知sin()4cos，则tan2 ． 15 【分析】利用诱导公式将sin()4cos化简，求出tan，再利用二倍角公式求值． 【解答】解：因为sin()4cos，所以sin4cos， 所以tan4， 2tan 8 所以tan2  ． 1tan2 15 8 故答案为： ． 15 【点评】本题主要考查了诱导公式及二倍角公式的应用，属于基础题． 4．（2024•平罗县校级一模）已知等比数列{a }的前n项和为S ，且a 3，a 81，则S  n n 2 5 5 121 ． 【分析】由已知结合等比数列的性质及求和公式即可求解． 【解答】解：等比数列{a }中，a 3，a 81， n 2 5 a 则q3  5 27，即q3， a 2 所以a 1， 1 135 则S  121． 5 13 故答案为：121． 【点评】本题主要考查了等比数列的性质及求和公式，属于基础题． 5．（2024•浦东新区校级模拟）ABC 的内角 A，B ，C 的对边分别为a，b，c ，若 4 5 20 cosA ,cosB ,a1，则b ． 5 13 13 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，sinB的值，进而利用正弦定理可 求b的值． 4 5 【解答】解：因为cosA ,cosB ,a1， 5 13 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002且A，B为三角形内角； 3 12 sinA 1cos2A  ，sinB 1cos2B  ； 5 13 asinB 20 由正弦定理可得：b  ． sinA 13 20 故答案为： ． 13 【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理在解三角形中的应用，属于基 础题． 6．（2023春•西安月考）在锐角ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 a1，b5，则c的取值范围为 (2 6, 26) ． 【分析】根据三角形三边关系，得出4c6，又由锐角三角形得，cosC 0，cosB0， 计算可得c的取值范围． 【解答】解：a1，b5，51c51，即4c6， 又ABC 为锐角三角形，cosC 0， 根据余弦定理得，a2 b2 c2 0， 即c2 26，解得：c 26， cosB0， 根据余弦定理得，a2 c2 b2 0，1c2 250 即c2 24，解得： 24 c 26，ba，A为锐角， 2 6 c 26， 则c的取值范围是(2 6, 26)． 故答案为：(2 6, 26)． 【点评】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题． 7．（2022•苏州模拟）过点M(1,1)，且圆心与已知圆C:x2  y2 4x6y30相同的圆 的一般方程为 x2  y2 4x6y120 ． 【分析】先求出圆C的圆心及半径，即可求出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程 即可． 【解答】解：将圆C的方程化为标准方程得(x2)2 (y3)2 16， 则圆心C的坐标为(2,3)， 故所求圆的半径r|CM | (21)2 (31)2 5， 所求圆的方程为(x2)2 (y3)2 25， 即x2  y2 4x6y120． 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002故答案为：x2  y2 4x6y120． 【点评】本题主要考查了圆的方程的求解，关键是确定圆心及半径，属于基础题． 8．（2024•嘉定区校级模拟）高三年级某8位同学的体重分别为45，50，55，60，70，75， 76，80（单位：kg)，现在从中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好 5 为这组数据的第70百分位数的概率是 ． 28 【分析】先求出第70百分位数，再结合古典概型的概率公式，即可求解． 【解答】解：870%5.6， 则第70百分位数为75， C1C2 5 故选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率是 1 5  ． C3 28 8 5 故答案为： ． 28 【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题． 9．（2024春•长宁区校级月考）盒子中有大小与质地相同的8只红球和2只黑球，每次从 中任取一个球，不放回地连续取两次，则事件“取出的两只球一只是红球，一只是黑球”的 16 概率是 ． 45 【分析】先求出基本事件的总数和所求事件的个数，再根据古典概型即可得解． C1C1 C1C1 1616 16 【解答】解：由题意，所求事件的概率为 8 2 2 8   ． C1C1 90 45 10 9 16 故答案为： ． 45 【点评】本题考查了组合数的应用、古典概率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属 于基础题． 10．（2024•闵行区校级开学）在ABC 中，tanB4tanA，则当BA取最大值时，sinC  1 ． 【分析】利用基本不等式和三角函数两角和与差的公式求解即可．  【解答】解：在ABC中，tanB4tanA，可得tanA0，且0B A ， 2 tanBtanA 3tanA 3 3 1 tan(BA)   „ ，当且仅当tanA 时等号成立， 1tanBtanA 14tan2A 1 4 2 4tanA tanA  ytanx在(0, )上单调递增，此时BA取最大值，且tanB2， 2 sinAsinB tanAtanB1 ， cosAcosB 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002sinAsinBcosAcosB，得cos(AB)0 ，  AB ，此时sin(AB)1， 2 sinC 1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查基本不等式的应用以及解三角形，属于中档题． 1 11．（2022•南京模拟）在( 2x)n的展开式中，已知前三项的二项式系数之和为22，则n 2 的值为 6 ，展开式中系数最大的项为 ． 【分析】根据题意得到C0 C1 C2 22，即可求得n的值；利用展开式的通项，设展开式 n n n 的第k 1项的系数最大，列出不等式组，进而求得展开式中系数最大的项． n(n1) 【解答】解：由题意可得C0 C1 C2 1n 22且nN*， n n n 2 解得n6， 1 1 二项式( 2x)6 ( )6(14x)6， 2 2 则(14x)6展开式的通项为T Cr(4x)r Cr 4rxr， r1 6 6 Ck 4k Ck14k1 设展开式的第k 1项的系数最大，则 6 6 ， Ck 4k Ck14k1 6 6 解得4.6„k„5.6，所以k 5， 1 所以展开式中系数最大的项为T ( )6C545x5 96x5． 6 2 6 故答案为：6；96x5． 【点评】本题主要考查了二项式定理，考查了二项式系数的性质，属于中档题． 12．（2024•徐汇区校级开学）已知一个正四面体的棱长为4，则其外接球与以其一个顶点 2 30 为球心，2为半径的球面所形成的交线的长度为  ． 3 【分析】作出图形，利用RtPHE和RtAHO得到关于r ，h的方程组，求出r 的值，再由 题意，判断两球相交形成的图形为圆面O ，利用余弦定理求出cosDPO ，求得圆面O 的 1 1 半径，即得交线长． 【解答】解：如图，设正四面体的外接球半径为r ，外接球球心到底面的距离为h，过点P 作PE BC于E， 连 接 AE ， 则 AE 必 过 ABC 的 中 心 3 1 1 3 2 3 4 3 H,PE  42 3,EH  AE   4 ,AH  ， 2 3 3 2 3 3 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx0024 4 6 则PH hr  PE2 EH2  12  ， 3 3 4 3 又r2 h2 ( )2，联立解得r  6， 3 由题意，两球相交形成的图形为圆面， 22 66 6 30 如图，在PDO中，cosDPO  ，故sinDPO ， 22 6 6 6 30 30 2 30 所以交线所在圆的半径为DPsinDPO ，所以交线长度为2  ． 3 3 3 2 30 故答案为： ． 3 【点评】本题考查了球的截面性质及运算，属于中档题． 二．选择题（共4小题） 13．（2023•枣庄二模）已知集合A{x|0x2}，B{x|4x2 4x150}，则( ) A．xA，xB B．xB，xA C．xB，xA D．xA，xB 【分析】求出集合B，然后判断集合A，B的包含关系，再根据选项即可判断求解． 3 5 【解答】解：解不等式4x2 4x150可得：  x ， 2 2 3 5 则集合B{x|  x }， 2 2 又集合A{x|0x2}，则AÜB， 所以xB，xA， 故选：C． 【点评】本题考查了集合的包含关系，属于基础题． 14．（2024•浦东新区校级模拟）从某中学甲、乙两班各随机抽取10名同学，测量他们 的身高（单位：cm)，所得数据用茎叶图表示如图，由此可估计甲、乙两班同学的身高 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002情况，则下列结论正确的是( ) A．甲乙两班同学身高的极差相等 B．甲乙两班同学身高的平均值相等 C．甲乙两班同学身高的中位数相等 D．乙班同学身高在175cm以上的人数较多 【分析】根据茎叶图和极差、平均数、中位数等概念逐一计算，即可判断选项是否正确． 【解答】解：由茎叶图可知，甲班同学身高的极差为18215725，乙班同学身高的极 差为18315924，两班身高极差不相等，故A错误； 甲 班 同 学 身 高 的 平 均 值 为 1 (157158163165166170172178181182)169.2， 10 乙 班 同 学 身 高 的 平 均 值 为 1 (159162165167171172176178181183)171.4， 10 显然，甲乙两班同学身高的平均值不相等，即B错误； 166170 根据茎叶图可知，甲班同学身高的中位数为 168，乙班同学身高的中位数为： 2 171172 171.5， 2 所以甲乙两班同学身高的中位数不相等，即C 错误； 由茎叶图可知，甲班同学身高在175cm以上的人数为3人，乙班同学身高在175cm以上 的人数为4人，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了茎叶图的应用，考查了极差、平均数、中位数的计算，属于基 础题．  15．（2022•马鞍山模拟）函数 f(x)sin(x )(0)在区间[0，]上恰有两个最小值点， 4 则的取值范围为( ) 13 21 9 17 11 19 A．[ , ) B．[2，6) C．[ , ) D．[ , ) 4 4 4 4 4 4 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002 【分析】先作出函数 f(x)sin(x )(0)的图象，然后结合图象在[0，]内恰有两个 4 最小值点，建立关系式解之即可．  【解答】解：作出函数 f(x)sin(x )(0)的图象， 4   2 f(x)sin(x )sin[(x )]，T  ， 4 4  要使在[0，]内恰有两个最小值点，   0 0   13  13 13 21 所以 „  ，解得 ，即 „  ， 4  4 4 4 21  21      4  4 故选：A． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象的应用，解题的关键是作出函数图象，同时考查了 学生的转化的能力． 16．（2023秋•温州期中）已知曲线C的方程为x2  y2 axy1(aR)，则下列说法不正确 的是( ) A．无论a取何值，曲线C都关于原点成中心对称 B．无论a取何值，曲线C关于直线y x和yx对称 C．存在唯一的实数a使得曲线C表示两条直线 D．当a1时，曲线C上任意两点间的距离的最大值为2 2 【分析】由题意，将曲线上任意一点关于原点的对称点坐标代入，看是否满足方程即可判断 选项A；将曲线上任意一点关于直线的对称点坐标代入，看是否满足方程即可判断选项B； 根据所给取值方程联想完全平方与平方差公式，得到a2情况，再对其进行变形，进而可 判断选项C；当a1时，利用曲线对称性分类研究曲线C 上任意一点到原点的距离范围， 再转化为两点间距离的最大值即可判断选项D． 【解答】解：不妨设曲线C上任意一点P(x,y)， 此时满足x2  y2 axy1(aR)， 因为(x)2 (y)2 a(x)(y)x2  y2 axy1， 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002所以P关于原点的对称点P(x,y)也在曲线， 1 则无论a取何值，曲线C都关于原点中心对称，故选项A正确； 因为y2 x2 ay2 x1， 所以点P关于y x的对称点P(y,x)也在曲线上， 2 因为(y)2 (x)2 a(y)(x)x2  y2 axy1， 所以点P关于yx的对称点P(y,x)也在曲线上， 2 则无论a取何值，曲线C关于直线y x和yx对称，故选项B正确； 当a2时，曲线方程为x2  y2 2xy1， 整理得(x y1)(x y1)0， 即曲线表示两条直线x y10或x y10， 当a2时，曲线方程为x2  y2 2xy1， 整理得(x y1)(x y1)0， 即曲线表示两条直线x y10或x y10， 则使得曲线C表示两条直线的实数a不唯一，故选项C 错误； 当a1时，曲线方程为x2  y2 xy1， 不妨设曲线上任意一点R(x,y)， 当x 0，y 0时，可得x2  y2 1xy„1， 此时|OR| x2  y2 „1， x2  y2 x2  y2 当x 0，y„0时，可得1x2  y2 xyx2  y2 (xy) x2  y2   ， 2 2 即x2  y2 „2， 此时|OR| x2  y2 „ 2， 由选项A可知曲线关于原点对称性， 所以当x„0，y„0时，|OR| x2  y2 „1； 当x„0，y 0时，|OR| x2  y2 „ 2， 综上，对于曲线上任意一点R，都有|OR|„ 2， 则曲线上任意两点间距离小于或等于圆x2  y2 2 的直径2 2， 因为存在点R (1,1)，R (1,1)两点都在曲线C上，且|RR |2 2， 1 2 1 2 则曲线上任意两点间距离最大值为2 2，故选项D正确． 故选：C． 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002【点评】本题考查曲线与方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力． 三．解答题（共5小题） 17．（2024•普陀区校级开学）如图，在底面为菱形的直四棱柱 ABCDABCD 中， 1 1 1 1 2 BAD ,AA  AB2，E，F ，G分别是BB ，CC ，DD 的中点． 3 1 1 1 1 （1）求证：AE//CC； 1 （2）求平面AEF 与平面ABCD所成夹角的大小． 1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算能求出结果． （2）根据向量法能求出平面AEF 与平面ABCD所成夹角的大小． 1 【解答】解：（1）证明：取BC中点H ，连接AH ， 2 底面ABCD是菱形，BAD ，AH  AD， 3 以A为坐标原点，AH ，AD，AA 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 1 系，   AE ( 3，1，1)，GC ( 3，1，1)， 1      AE GC ， AE//GC，AE//GC． 1 1 1  （2）设平面AEF 的法向量为n(x，y，z)， 1  EF (0，2，0)，   nAE  3x yz0     1  ，取x1，得n(1，0， 3)， nEF 2y0  AA (0，0，2)为平面ABCD的法向量， 1 设平面AEF 与平面ABCD的夹角产， 1 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002  |AA n| 2 3 3 则cos 1    ， |AA ||n| 22 2 1   ， 6  平面AEF 与平面ABCD所成夹角的大小为 ． 1 6 【点评】本题考查线面垂直、平面与平面所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力， 是中档题． 18．（2024•浦东新区校级模拟）乒乓球被称为我国的“国球”，是一种深受人们喜爱的球 类体育项目．在某高校运动会的女子乒乓球单打半决赛阶段，规定：每场比赛采用七局四胜 制，率先取得四局比赛胜利的选手获胜，且该场比赛结束．已知甲、乙两名运动员进行了一 场比赛，且均充分发挥出了水平，其中甲运动员每局比赛获胜的概率为 p(0 p1)，每局 比赛无平局，且每局比赛结果互不影响． 39 （1）若前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛的概率为 p，求乙每局比赛获胜的概率； 25 （2）若前三局比赛中甲只赢了一局，设这场比赛结束还需要比赛的局数为，求的分布 列和数学期望 f(p)，并求当 p为何值时， f(p)最大． 【分析】（1）根据题意求出甲每局比赛获胜的概率，即可求得乙每局比赛获胜的概率； （2）由题意知，的所有可能取值分别为2，3，4，分别求出每种取值的概率得到分布列 和期望，然后求导得单调性即可求最大值． 【解答】解：（1）设事件A为“前三局比赛中，甲至少赢得一局比赛”， 39 则P(A)1(1 p)3  p， 25 化简得25p2 75p360，即(5p3)(5p12)0， 3 12 所以 p 或 p （舍去）， 5 5 2 所以乙每局比赛获胜的概率为1 p ． 5 （2）由题意知，的所有可能取值分别为2，3，4， 且P(2)(1 p)2 12p p2， P(3) p3 C1p(1 p)2 3p3 4p2 2p， 2 P(4)C2p2(1 p)13p2 3p3． 3 则的分布列为：  2 3 4 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002P 12p p2 3p3 4p2 2p 3p2 3p3 所以 f(p)2(12p p2)3(3p3 4p2 2p)4(3p2 3p3)3p3 2p2 2p2(0 p1)， f(p)9p2 4p2， 222 令 f(p)0，得 p ， 9 222 当 p(0, )时， f(p)0， f(p)单调递增； 9 222 当 p( ,1)时， f(p)0， f(p)单调递减． 9 222 所以当且仅当 p 时， f(p)最大． 9 【点评】本题主要考查概率的求法，离散型随机变量的分布列及期望，考查运算求解能力， 属于中档题． x2 19．（2023•徐汇区二模）已知椭圆C:  y2 1(t1)的左、右焦点分别为F ，F ，直线 t 1 2 l:ykxm(m0)与椭圆C交于M 、N两点(M 点在N点的上方），与y轴交于点E． （1）当t 2时，点A为椭圆C 上除顶点外任一点，求△AFF 的周长； 1 2     （2）当t 3且直线l过点D(1,0)时，设EM DM ，EN DN ，求证：为定值， 并求出该值； 3 （3）若椭圆C 的离心率为 ，当k为何值时，|OM |2 |ON|2恒为定值；并求此时MON 2 面积的最大值． 【分析】（1）△AFF 的周长为2a2c，计算得到答案． 1 2 （2）确定椭圆和直线方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据向量的关系得到 x x  1  2 ，代入化简得到答案． x 1 x 1 1 2 （3）根据离心率得到椭圆方程，联立方程，得到根与系数的关系，根据和为定值得到 4k2 10，计算点到直线的距离，根据面积公式结合均值不等式计算得到最值． x2 【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 当 t 2 时 ， 椭 圆 C:  y2 1 ， △ AFF 的 周 长 为 2 1 2 |AF ||AF ||FF |2 2 2 ； 1 2 1 2 x2 （2）证明：当t 3且直线l过点D(1,0)时，椭圆C:  y2 1，直线斜率存在，yk(x1)， 2 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002x2   y2 1 联 立  3 ， 消 去 y 得 ： (3k2 1)x2 6k2x3k2 30 ， △  yk(x1) (6k2)2 4(3k2 3)(3k2 1)24k2 120恒成立，  6k2 x x   1 2 3k2 1 设M(x ，y )，N(x ，y )，则 ， 1 1 2 2  3k2 3 xx   1 2 3k2 1     由EM DM,EN DN ，点E的横坐标为0， 考虑向量横坐标得到x (x 1)，x (x 1)， 1 1 2 2 x x 从而 1  2 x 1 x 1 1 2 6k2  2 1 1 x x 2 3k2 1 2(  )2 1 2 2 x 1 x 1 xx x x 1 3k2 3 6k2 1 2 1 2 1 2  1 3k2 1 3k2 1 2 2 3，所以为定值3； 31 ykxm t1 3 x2  （3）e  ，解得t 4，故椭圆方程  y2 1，联立x2 ， t 2 4   y2 1  4 消 元 得 (4k2 1)x2 8kmx4m2 40 ， △ 64k2m2 16(4k2 1)(m2 1)0 ， 即 4k2 m2 10， 8km 4m2 4 设M(x ，y )，N(x ，y )，则x x  ，x x  ， 1 1 2 2 1 2 4k2 1 1 2 4k2 1 x2 x2 3 则|OM |2 |ON|2x2 1 1 x2 1 2 2 [(x x )2 2xx ] 1 4 2 4 4 1 2 1 2 24k2m2 6m2 24k2 6 6m2(4k2 1)6(4k2 1) 2 2 ， (4k2 1)2 (4k2 1)2 1 当|OM |2 |ON|2为定值时，即与m2无关，故4k2 10，得k  ， 2 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx0024k2 1m2 此时|MN| k2 1 (x x )2 4xx 4 k2 1  5 2m2 ， 1 2 1 2 14k2 |m| 2|m| 又点O到直线l的距离d   ， 1k2 5 1 m2 2m2 所以S MON  2 d|MN||m| 2m2 „ 2 1， 当且仅当|m| 2m2 ，即m1时，等号成立， 经检验，此时△0成立，所以MON 面积的最大值为1． 【点评】本题考查了椭圆方程，定值问题，面积的最值的问题，意在考查学生的计算能力， 转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系， 可以简化运算，是解题的关键，此方法是考试的常考方法，需要熟练掌握． 20．（2024•普陀区校级开学）对三次函数 f(x)ax3 bx2 cxd ，a0，如果其存在三 b c d 个实根x ，x ，x ，则有x x x  ,xx x x x x  ,xx x  ．称为三次方程 1 2 3 1 2 3 a 1 2 2 3 3 1 a 1 2 3 a 根与系数关系． （ 1 ） 对 三 次 函 数 f(x)ax3 bx2 cxd ， 设 g(x) f(x) ， 存 在 x R ， 满 足 0 0 f(x ) g(x ) g(x )．证明：存在x  x ，使得 f(x)a(xx)(xx )2； 0 0 0 1 0 1 0 （2）称 f(x)是[m，M]上的广义正弦函数当且仅当 f(x)存在极值点x ，x (m,M)，使 1 2 得{f(x )，f(x )}{f(m)，f(M)}．在平面直角坐标系xOy中，A(a,b)是第一象限上一点， 1 2 b 设 f(x)x(ax) ,g(x)x(ax)2 4b．已知g(x)在(0,a)上有两根x x ． x 0 3 (i)证明： f(x)在(0,)上存在两个极值点的充要条件是a3 27b； (ii)求点A组成的点集，满足 f(x)是[x ，x ]上的广义正弦函数． 0 3 【分析】（1）设 f(x)a(xx )(xx )(xx )，(a0)，求导并结合0g(x ) g(x )得 0 1 2 0 0 g(x ) f(x )a(x x )(x x )0，(a0)，取x  x 满足题意，且此时必有x  x 即可 0 0 0 1 0 2 2 0 1 0 得证． b 2x3 ax2 b （ 2 ） (i) 由 题 意 求 导 得 f(x)a2x  ,(a0,b0) ， 设 x2 x h(x)2x3 ax2 b，则h(0)b0，且x时，h(x)，所以原问题等价于证明 方程h(x)2x3 ax2 b0有一个负根，且两个不同的正根的充要条件是a3 27b． (ii) 首先 a3 27b 时， g(x)0 也恰 好有 两个 正根 x ， x ，其 次进 一步 得出 0 3 ax ax x  3,x  0 ，然而可以发现 f(t) f(a2t)，由此即可进一步求解． 1 2 2 2 【解答】解：（1）证明：因为 f(x )0， 0 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002所以不妨设 f(x)a(xx )(xx )(xx )，(a0)， 0 1 2 所以g(x) f(x)a(xx )(xx )a(xx )(xx )a(xx )(xx )，(a0)， 0 1 0 2 1 2 因为0g(x ) g(x )， 0 0 所以g(x ) f(x )a(x x )(x x )0，(a0)， 0 0 0 1 0 2 所以不妨取x  x 满足题意，且此时必有x  x ， 2 0 1 0 否则若xx ，则有 f(x)a(xx )3，g(x) f(x)3a(xx )2， 0 0 0 g(x)6a(xx )， 0 而此时g(x )6a(x x )0与已知0g(x ) g(x )矛盾， 0 0 0 0 0 综上所述，存在x  x ，使得 f(x)a(xx)(xx )2． 1 0 1 0 （2）(i)证明：A(a,b)是第一象限上一点，所以a0，b0， b 因为 f(x)x(ax) ， x b 2x3 ax2 b 所以 f(x)a2x  ,(a0,b0)， x2 x 设h(x)2x3 ax2 b，则h(0)b0， 而x时，h(x)，x时，h(x)， 所以h(x)2x3 ax2 b0存在负根， 2x3 ax2 b 因为 f(x)在(0,)上存在两个极值点，等价于方程 f(x) 0在(0,)上有 x 两个根， 等价于方程h(x)2x3 ax2 b0在(0,)上存在两个根， 注意到三次方程最多有3个根， 所以方程h(x)2x3 ax2 b0有一个负根，两个不同的正根， 而h(x)6x2 2ax， a 当0 x 时，h(x)6x2 2ax0，h(x)单调递增， 3 a 当x 时，h(x)6x2 2ax0，h(x)单调递减， 3 a 2a3 a3 a3 所以当且仅当h( )  b b0，即当且仅当a3 27b， 3 27 9 27 综上所述，命题(i)得证； (ii)容易验证，a3 27b时，g(x)0也恰好有两个正根x ，x ， 0 3 此时由于对x0来说，f(x)0等价于2x3 ax2 b0，g(x)0等价于x(ax)2 4b0， 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002所以对x0，如果g(x)0， ax (ax)3 a(ax)2 x(ax)2 那么 f( )  b b0， 2 4 4 4 ax ax 这意味着x  3,x  0 ， 1 2 2 2 b 然后，对两个不相等的正数u,v, f(u) f(v)(uv)[a(uv) ]， uv b 所以 f(u) f(v)当且仅当uv a， uv 那么如果tx 或x ，就有a2t  x 或x ，故 f(t)g(a2t)， 1 2 0 3 b b bt2(a2t) 2t3 at2 b 此时t(a2t) at a a a， t(a2t) t(a2t) t(a2t) t(a2t) 所以 f(t) f(a2t)， 这意味着 f(x ) f(x )， f(x ) f(x )， 0 2 1 3 a 最后，由于m(x)h(x)2x3 ax2 b有一个极值点x ， 3 a a 所以x ，x 都不等于 (x ，x 是不相等的正零点，同时该方程还有另一个负零点，但 只 1 2 3 1 2 3 a 要是根就是二重的，所以 不可能是根）， 3 这就说明x  x ，x  x ， 1 3 0 2 结合 f(x)的单调性以及 f(x ) f(x )， f(x ) f(x )，必有x x x x ， 0 2 1 3 0 1 2 3 所以此时 f(x)一定是广义正弦函数， 综上所述，满足题意的A{(a,b)|a3 27b}． 【点评】本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于难题． 21．（2023•宝山区校级模拟）已知正项数列{a }，{b }满足：对任意正整数n，都有a ，b ， n n n n a 成等差数列，b ，a ，b 成等比数列，且a 10，a 15． n1 n n1 n1 1 2 （Ⅰ）求证：数列{ b }是等差数列； n （Ⅱ）求数列{a }，{b }的通项公式； n n 1 1 1 b （Ⅲ）设S    ，如果对任意正整数n，不等式2aS 2 n 恒成立，求实数 n a a a n a 1 2 n n a的取值范围． 【分析】（Ⅰ）通过已知得到关于数列的项的两个等式，处理方程组得到2 b  b  b ， n n1 n1 利用等差数列的定义得证 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002（Ⅱ）利用等差数列的通项公式求出 b ，求出b ，a ． n n n b （Ⅲ）先通过裂项求和的方法求出S ，代入2aS 2 n 化简得到关于n的二次不等式恒成 n n a n 立，构造新函数，通过对二次项系数的讨论求出函数的最大值，令最大值小于0，求出a的 范围． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b a a ①，a2 b b ②．由②得a  bb ③． n n n1 n1 n n1 n1 n n1 将③代入①得，对任意n 2，nN*，有2b  b b  b b ． n n1 n n n1 即2 b  b  b ． n n1 n1 { b }是等差数列．（4分） n （Ⅱ）设数列{ b }的公差为d， n 25 由a 10，a 15．经计算，得b  ,b 18． 1 2 1 2 2 5 5 2  b  2,d  b  b 3 2 2 ． 1 2 2 1 2 2 5 2 2  b  2(n1)  (n4)． n 2 2 2 (n4)2 (n3)(n4) b  ，a  ．（9分） n 2 n 2 （Ⅲ）由（1）得 1 2 1 1  2(  )． a (n3)(n4) n3 n4 n 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2[(  )(  )(  )]2(  )． n 4 5 5 6 n3 n4 4 n4 b 1 1 n4 不等式2aS 2 n 化为4a(  )2 ． n a 4 n4 n3 n 即(a1)n2 (3a6)n80． 设 f(n)(a1)n2 (3a6)n8，则 f(n)0对任意正整数n恒成立． 当a10，即a1时，不满足条件； 当a10，即a1时，满足条件； 3(a2) 当a10，即a1时， f(n)的对称轴为x  0， f(n)关于n递减， 2(a1) 15 因此，只需 f （1）4a150．解得a ，a1． 4 综上，a„1．（14分） 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002【点评】证明数列是等差数列或等比数列可用的依据是定义或中项；解决不等式恒成立常通 过分离参数，构造新函数，转化为求新函数的最值． 微信公众号：【高中精品资料君】全网最全电子讲义以及最全网课，有需要的联系微信：xygewx002