文档内容
专题04 椭圆中的参数及范围问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知椭圆 ： 的左、右焦点为 ， ，点 为椭圆 内一点，点 在
双曲线 ： 上，若椭圆上存在一点 ，使得 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】点 在双曲线 ： 上，所以 .所以椭圆左焦点 坐标为 .
因为 ，所以 ,
所以 . 因为 ，所以 .
点 为椭圆 内一点，所以 ，
所以 或 .
综上： .故选：A
2．椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ， ，点 在 上且直线 的斜率的取值范围是 ，
那么直线 斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意，椭圆 ： 的左、右顶点分别为 ，
设 ，则 ，又由 ，可得 ，因为 ，即 ，可得 ，
所以直线 斜率的取值范围 ．故选： ．
3．已知直线 与椭圆 交于 两点， 是椭圆上异于 的一点．若椭圆
的离心率的取值范围是 ，则直线 ， 斜率之积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ，由直线 与椭圆 交于 两点可知 两点关于原点对称，
所以 且 ，由题意知： ，两式相减得：
，即 ，
又 ，由椭圆的离心率的取值范围是 ，
即 ，所以 ，
即 ，故选：D.
4．已知椭圆 ，若椭圆上存在两点 、 关于直线 对称，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解析】椭圆 ，即： ，设椭圆上两点 关于直线 对称， 中点为 ，
则 ， ，所以 ，
∴ ，∴ ，代入直线方程 得 ，即 ，
因为 在椭圆内部，∴ ，解得 ，
即 的取值范围是 ．故选：A．
5．已知椭圆 的短轴长为 ，焦距为 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若点
为 上的任意一点，则 的取值范围为（ ）
A．[1，7] B．[1，28] C． D．
【解析】根据条件可得 ， ，故 ，
则根据椭圆定义可知 ，
所以
令 ，则
因为 ，所以 ，
所以 ，则 .故选：C6．已知 为椭圆 的左顶点．如果存在过点 的直线交椭圆于 两点，使得
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】记Q为椭圆的右顶点，将坐标系横向压缩到原来的 ，椭圆变为圆 ，
则 ，面积比，线段长度比，不随坐标系拉升而改变，
设 ，
又由圆的相交弦定理： ，
得 （ ），故 ，
又由于 ( )，
故有 ，结合 ，
可化为： ，解得 .故选：A
7．已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， ， 分别是椭圆的左、右焦点，若
点 在 的平分线上，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【解析】如图，直线 与直线 相交于点N，
由于PM是 的平分线，且 ，即PM⊥ ，
所以三角形 是等腰三角形，所以 ，点M为 中点，因为O为 的中点，
所以OM是三角形 的中位线，所以 ，其中 ，
因为P与 的四个顶点不重合，设 ，则 ，
则 ，所以 ，又 ，
所以 ，
∴ 的取值范围是 .故选：D.
8．已知 三个顶点 都在曲线 上，且 （其中O为坐标原点）， 分
别为 的中点，若直线 的斜率存在且分别为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由 得： ，即 ，
关于原点 对称，又 分别为 中点， ， ，
， ，设 ， ，则 ，又 ，两式作差得： ，即 ，
（当且仅当
时取等号）， 的取值范围为 .故选：D.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知点 在椭圆 上，过点 分别作斜率为-2，2的直线 ， 与直线 ，
分别交于 ， 两点.若 ，则实数 的取值可能为（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【解析】设 ， ， ，则 ， ，
由题得四边形 为平行四边形，所以 ，
故 故 .
因为 ，所以 ，故实数 的取值范围为 ，故选:CD.
10．已知 ， 是椭圆 的左，右焦点，动点 在椭圆上， 的平分线与
轴交于点 ，则 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由椭圆方程可得 ，由 可得 ，则直线 的方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
在 的平分线上， ①，
， ，
则①式可化为 ，即 ，又 ，
，结合选项可得m的可能取值为1，0， .故选：ACD.
11．已知椭圆 ： 的左顶点为 ，左、右焦点分别为 ， ，点 在 上，
且直线AM的斜率为 .点P是椭圆C上的动点，则（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．若 ，则点 的横坐标的取值范围是
C． 的取值范围为
D．椭圆 上有且只有4个点 ，使得 是直角三角形
【解析】由题意可知直线 的方程为 ，令 ，可得 ，则 ，又椭圆C过点 ，所以 ，解得 ，所以C的方程为 .
设椭圆 的半焦距为 ，则 ，椭圆 的离心率为 ，故A错误；
设点 的坐标为 ，则 ，又 ，所以 ，
所以 ，又 ，解得 ，故点P的横坐标的取值范围是 ，故B错
误；
又 ， ，则 ，因为
，所以 ，所以 ，故C正确；
若 为直角三角形，且点 为直角顶点，则 ，故 ，该方程无解，故以点Р为
直角顶点的 不存在，又当点 的坐标为 或 时， 是以点 为直角顶点的
三角形，当点 的坐标为 或 时， 是以点 为直角顶点的三角形，所以C上有且只
有4个点P，使得 是直角三角形，故D正确.
故选：CD.
12．已知直线l：y=kx+m与椭圆 交于A，B两点，点F为椭圆C的下焦点，则下列结论正确
的是（ ）
A．当 时， ，使得
B．当 时， ，
C．当 时， ，使得
D．当 时， ，【解析】在椭圆 中， ， ， ，由题意可得 ，上焦点记为 ，
对于A选项，设点 、 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ， ，
，
所以， ，故A错误；
对于B选项，设线段 的中点为 ，
由题意可得 ，两式作差可得 ，
因为直线 的斜率存在，则 ，所以， ，
整理可得 ，又因为 ，消去 可得 ，其中 ，
所以， ，
所以，
，故B正确；
对于C选项，当 时，直线 的方程为 ，即 ，
联立 可得 ，，解得 ，
由韦达定理可得 ， ，
，
同理 ，所以， ，
因为 ，所以，当 时， ，使得 ，故C正确；
对于D选项，设线段 的中点为 ，
由B选项可知， ，即 ，即 ，
由 可得 ，故点 的横坐标的取值范围是 ，
而点 到直线 的距离为 ，
由 可得 ，当且仅当点 时，
取最小值 ，故D正确.
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点P是椭圆 上的一点， ， 是椭圆的两个焦点，则当 为钝角时，点P的横坐
标可以为 ．
【解析】设 ，由题意可知 ，即 ．因为点P在椭圆上，所以 ，所以 ，
解得 ， 可以取1（只要在 内即可）．
故答案为：1（答案不唯一）．
14．椭圆 的一个焦点是 ，O为坐标原点，过F的直线l交椭圆于A，B两点．
若恒有 ，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【解析】设过点F的直线l的直线方程为 与椭圆交于A，B两点，
设点 ， ，联立方程得 ，
整理为： ， ， ，
若恒有 ，则 ，
所以 是钝角，即 ，
， ，
，整理为 恒成立，
所以 ，即 ，整理为 ，【】
解得： 或 （舍）
所以 ，离心率
15．椭圆C： 的左右焦点分别为 ，直线y＝kx（k＞0）与C相交于M，N两点，若四点共圆（其中M在第一象限），且直线 倾斜角不小于 ，则椭圆C的长轴长的取值范围
是 .
【解析】设椭圆的半焦距为 ，由椭圆的中心对称性和 ， ， ， 四点共圆，
则四边形 为矩形，所以以 为直径的圆与椭圆 有公共点，则 ，
所以 ，又由题意 ，即 ，故 ，即
因为直线 倾斜角不小于 ，所以直线 的倾斜角不小于 ，
则 ，化简可得 ，因为 ，
所以 ，则 ，
又 ，所以 ，故 ，解得 ，
所以 ，
综上 .
16．已知椭圆C： ，过右焦点的直线交椭圆于 ，若满足 ，则
的取值范围 ．
【解析】已知椭圆C： ，则其右焦点坐标为 ，
过右焦点的直线交椭圆于 ，若满足 ，所以 ，
则设直线 方程为 ，
则 ，所以 ，显然 恒成立，所以 ，
则
整理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．设 分别是椭圆 的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标为 ．
(1)若P是该椭圆上的一个动点，求 的最大值；
(2)若C为椭圆上异于B的一点，且 ，求λ的值；
(3)设P是该椭圆上的一个动点，求 的周长的最大值．
【解析】（1）因为椭圆的方程为 ，所以 ，
又 ，所以 （当且仅当 时取“＝”），
所以 的最大值为4.
（2）设C点的坐标为 ，又B，F 两点的坐标分别是 ，
1由 得 ，故 ， ，
又 ，所以 ，
化简得 ，解得 或 ，
当 时， 重合，与点C异于点B不符，所以 .
（3）因为 ，当P点位于直线BF 与椭圆的交点处（异于B）时取等号，
2
又 , ,
所以 的周长 ，
所以 的周长最大值为8.
18．已知在平面直角坐标系 中，椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ， 的面
积为 ，离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若斜率为 的直线 与圆 相切，且 与椭圆 相交于 、 两点，若弦长 的取值范围为
，求斜率 的取值范围．【解析】（1）解：由题意可知 ，可得 ， ，
所以，椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，
因为直线 与圆 相切，且该圆的圆心为原点，半径为 ，
则 ，得 ，联立 得 ，
则 ，
设 、 ，则 ，
所以， ，
，
因为 的取值范围是 ，即 ，
整理可得 ，又因为 ，所以， ，解得 ，
因此， 的取值范围是 .19．已知椭圆 的焦距为 ，点 在 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 与直线 相交于不同的两点 、 ， 为弦 的中点， 为椭圆 的
下顶点，当 时，求 的取值范围．
【解析】（1）由题意可知 ，所以 ，所以 ①，
又 ，所以 ②，
由①②可得 ， ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）解：设点 、 、 ，
联立 ，得 ，
由题知 ，可得 ③，
由韦达定理可得 ， ，从而 ，
， ，则 ，即 ④，
把④代入③得 ，解得 ，又 ，故 的取值范围是 ．20．已知椭圆 的下顶点 ，右焦点为 为线段 的中点， 为坐标原点， ，点 与椭圆
上任意一点的距离的最小值为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，若存在过点 的直线 ，使得点 与点 关于直线 对
称，求 的取值范围.
【解析】（1）根据题意得: ，∴ ，∴
∴ ，∴椭圆的标准方程为 .
（2）
根据题意得: 的中垂线过点 ，
由 ,化简得: ，
，
设 ， ，
，
的中点 ， ，
∴ 的中垂线方程为: ，代入点 的坐标得: ，
故 ，代入 且
.
21．已知椭圆C： 与y轴交于 ， 两点，椭圆上异于A，B两点的动点D到
A，B两点的斜率分别为 ， ，已知 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过定点 与动点D的直线，与椭圆交于另外一点H，若AH的斜率为 ，求 的取值范围．
【解析】（1）取 在椭圆上, ,又 ，
，
椭圆 的方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，
设直线 的方程为 ,其中 ,
将直线方程带入 得, ,
其判别式为 ,
或 ，取 为交点,
,
,又 , ,取 ,
，
令 ，解得 ，令 ， ，
在 上单调递减,在 上单调递增,
又 的值域为 ,
即 的取值范围为 .
当直线 的斜率不存在时，则点 关于 轴对称，则 ，
综上 的取值范围为 .
22．已知椭圆C： 的离心率为 ，左､右焦点分别为 ， ，过 的直线
交椭圆于M，N两点，交y轴于P点， ， ，记 ， ， 的面积分
别为 ， ， .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ， ，求m的取值范围.
【解析】（1）由题意得，左焦点 ， ， ，所以椭圆C的标准方程为： .
（2）设 ，令 ， ，则 ，则 ，
由 得 ，
解得 ，同理 不为0.
由 ，得 ，则 ，
.
不妨设 ， ， ， ，
由 ， .得 ， ， .
代入 ，有 ，则 ，
解得 ,
且 ， ，设 ，则 ，则 ，则 ，
故 在 上单调递增，
则 ，且 ，则 ，则 .
