“8+4+4”小题强化训练39(等比数列及其前n项和)（新高考地区专用）解析版_数学_专项复习_2024年_2024年高三数学复习必刷小题单选题填空题专项训练_资料

决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(39)
(等比数列及其前 n 项和)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2022·全国·统考高考真题）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】D
【解析】设等比数列 的公比为 ，
若 ，则 ，与题意矛盾，
所以 ，
则 ，解得 ，
所以 .
故选：D.
2.（2020·全国·统考高考真题）记Sn为等比数列{a }的前n项和．若a –a =12，a –a =24，则 =（ ）
n 5 3 6 4
A．2n–1 B．2–21–n C．2–2n–1 D．21–n–1
【答案】B
【解析】设等比数列的公比为 ，
由 可得： ，
所以 ，
因此 .
故选：B.
3.已知数列 a n  为等比数列，其前 n 项和为 S n，且 S n 5na ，则 a （ ）
A．5 B．5 C．1 D．1
【答案】C
a S 5a
n1
【解析】当 时， 1 1 ；a S S   5na    5n1a  45n1
当 n2 时， n n n1 .
因为数列 a n  为等比数列，则 a 1 5a450 4 ，解得 a1 .
故选：C.
4.（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）
A．120 B．85 C． D．
【答案】C
【解析】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，
由①可得， ，解得： ，
所以 ．
故选：C．
方法二：设等比数列 的公比为 ，
因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，
所以有， ，解得： 或 ，
当 时， ，即为 ，
易知， ，即 ；
当 时， ，
与 矛盾，舍去．
故选：C．
5.已知数列 满足：对任意的m， ，都有 ，且 ，则 （ ）.
A B. C. D.
【答案】C
【解析】因为对任意的m， ，都有 ，
所以 ， ，
又 ，
所以 ，所以 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
6.（2022·江苏南通·校联考模拟预测）设数列 ， 均为公比不等于1的等比数列，前n项和分别为
，若 ，则 ＝（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【解析】由 得， ，设{ }的公比为 ，{ }的公比为 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
联立两式解得 ，此时， ，
则 ， ，所以 .
故选：C
7.（2022秋·江苏南通·高三期末改编）设数列 首项 ，前n项和为 ，且满足
，则满足 的所有n的和为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A
【解析】由 ，得 ，
两式相减得 ，
则 ，
当 时， ，所以 ，
所以数列 是以 为首项 为公比的等比数列，
则 ， ，
故 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 或5，
即所有n的和为 .
故选：A
8.（2023·广东肇庆·统考二模）设数列 的前 项和为 ，且 .若对任意的正整
数 ，都有 成立，则满足等式 的所有正整数
为（ ）
A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4
【答案】A
【解析】 ，
时， ，
相减可得： ，即
又 时， ，解得 ，满足 ，
数列 是首项为1，公比为3的等比数列，所以 ．
对任意正整数n，都有 成立，得 ①，
又 ②，
②－①×3得： ，
又 ，所以 ，得 ，
进而 ，
由 ，得 ，即 ，
记 ，则 ，
以下证明 时， ，
因为 ，
即 时， 单调递减， ，
综上可得，满足等式 的所有正整数 的取值为1或3．
故选：A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2023·福建泉州·校考）已知正项的等比数列 中 ， ，设其公比为 ，前 项和为
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】因为 ，可得 ，即 ，解得 或 ，
又由正项的等比数列 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
数列 的通项公式为 ，所以B正确；
则 ，所以C不正确；
由 ，则 ， ，所以 ，所以D正确.
故选：ABD.
10.（2023·福建·统考一模）记正项等比数列 的前n项和为 ，则下列数列为等比数列的有（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】由题意可得：等比数列 的首项 ，公比 ，即 ，
对A： ，且 ，即 为等比数列，A正确；
对B： ，且 ，即 为等比数列，B正确；
∵ ，则有：
对C： ，均不为定值，即 不是等比数列，C错误；
对D： ，均不为定值，即 不是等比数列，D错误；
故选：AB.
11.（2023春·江苏南通·高三海安高级中学校考）已知 是等比数列，公比为 ，若存在无穷多个不同的
，满足 ，则下列选项之中，可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】当 时，则有：
①当 ，则 为非零常数列，故 ， 符合题意，A正确；
②当 ，则 为单调数列，故 恒不成立，即 且 不合题意；
当 时，可得 ，则有：
①当 ，若 为偶数时，则 ；
若 为奇数时，则 ；故 符合题意，B正确；
②当 ，若 为偶数时，则 ，且 ，即 ；
若 为奇数时，则 ，且 ，即 ；
故 符合题意，C正确；
③当 ，若 ，可得 ，
∵ ，则 ，可得 ，则 ，这与等比数列相矛盾，
故 和 均不合题意，D错误.
故选：ABC.
12.（2023秋·湖北·高三学校联考）已知 是数列 的前 项和，且 ， （
），则下列结论正确的是（ ）
A．数列 为等比数列 B．数列 不为等比数列
C． D．
【答案】BD
【解析】由题意得： ， ，
由于 ，故数列 不是等比数列，A错误；
则 ， ， ，
由于 ，故数列 不为等比数列，B正确；
时， ，即 ，
又 ，
故 为等比数列，首项为2，公比为3，
故 ，
故 ， ，……， ，
以上20个式子相加得： ，C错误；因为 ，所以 ，两式相减得：
，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符和该式，故 ，
令 得： ，
当 时， ， ，……， ，
以上式子相加得： ，
故 ，而 也符号该式，故 ，
令 得： ，
综上： ，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023·全国·统考高考真题）记 为等比数列 的前 项和．若 ，则 的公比为
．
【答案】
【解析】若 ，
则由 得 ，则 ，不合题意.
所以 .
当 时，因为 ，
所以 ，
即 ，即 ，即 ，解得 .
故答案为：
14.（2023秋·江苏泰州·高三统考期末）设正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值为
______.
【答案】91
【解析】方法一：等比数列 中， ， ， 成等比数列，
则 ， ， 成等比数列，∴ ，∴ ，
∴ .
方法二：设 公比为 ，由题意显然 且 ,所以 ，
∴ ，
故答案为：91
的
15.（2023秋·湖北鄂东南·高三省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考）已知数列 首项
，且 ， ，则满足条件的最大整数 ___________.
【答案】2023
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以数列 是等比数列，首项为 ，公比为 ，所以 ，
所以 ，
所以
易知当 时， 单调递增，
又因为 ，
，
所以满足 的 最大整数为2023.
故答案为：2023
16.（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校期中）如图，在 中， 是 边上一点，且
， 为直线 上一点列，满足： ，且
，则 ___________，设数列 ，则 的通项公式为___________.【答案】 ①. ②.
【解析】因为 是 边上一点，且 ，
故 ，
为直线 上一点列，则 ，
因为 ，
则 ，故 ，
整理得： ，即 ，
若 ，则 ，解得： ，此时 ，解得： ，
故 为常数为1的数列，但 ，不合要求，故 ，
故 ，
令 得： ，
因为 ，所以 ，解得：
令 ，则 ，
即 ，因此 ，所以 为等比数列，公比为 ，首项为 ，
故 ，故
故答案为： ，