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2023-2024（上）江西省宜丰中学创新部高三 9 月月考数学试卷 9．已知等差数列 的前n项和为 ，公差 ．若 ，则（ ）
一、单选题（40分）
A． B． C． D．
1．“ ”是“1， ，9成等比数列”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
10．已知数列 是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知等比数列 的各项均为正数，目 ，则 A．数列 是等比数列
（ ）
B．若 ， ，则
A．3 B．4 C．5 D．6
3．在等差数列 中， ，其前n项和为 ，若 ，则 （ ） C．若数列 的前n项和 ，则
A．-4040 B．-2020 C．2020 D．4040
D．若 ，则数列 是递增数列
4．中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2个
月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”， 11．下列命题中，正确的有（ ）
则该人第12月营收贯数为（ ）
A．数列 中，“ ”是“ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条
A．64 B．66 C．68 D．70
件
5．记 为数列 的前 项和．若 ，则（ ）
B．数列 的通项为 ，若 为单调递增数列，则
A． 有最大项， 有最大项 B． 有最大项， 有最小项
C．等比数列 中， ， 是方程 的两根，则
C． 有最小项， 有最大项 D． 有最小项， 有最小项
D．等差数列 ， 的前n项和为分别为 ， ，若 ，则
6．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ，则 （ ）．
A．120 B．85 C． D．
12．设函数 ，数列 满足 ，则（ ）
7．已知定义数列 为数列 的“差数列”，若 的“差数列”的第 项为 ，则数
列 的前2023项和 （ ） A．当 时，
A． B． C． D．
B．若 为常数数列，则
8．已知首项为 ，公差为 的等差数列 的前n项和为 ，若存在 ， 使得：
C．若 为递减数列，则
， ，则下列说法不正确的是（ ）
D．当 时，
A． B． C． D．
三、填空题（20分）
二、多选题(20分）
13．数列 的前 项和 ，数列 的通项公式为 .
1
学科网（北京）股份有限公司19．数列 是递增的等差数列，且 ， .
14．已知两个等比数列 ， 的前 项积分别为 ， ，若 ，则 .
(1)求数列 的通项公式；
15．若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数
列的公比为 （写出一个即可）．
(2)求数列 的前 项和 .
16．已知数列 的前 项和为 ， （ ），且 ， .若
恒成立，则实数 的取值范围为 .
四、解答题（70分）
17．在等比数列{ }中， ．
(1)求{ }的通项公式；
20．已知 是数列 的前 项和， ， .
(2)求数列{ }的前n项和Sn．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，求数列 的前 项和 .
18．已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， ，且 ， ， 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
21．已知数列 ，其中 ，数列 的前 项和 ，数列 满足
(2)求数列 的前 项和 .
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）是否存在自然数 ，使得对于任意 ， ，有 恒成立？若存在，
求出 的最小值；
2
学科网（北京）股份有限公司6．C【详解】方法一：设等比数列 的公比为 ，首项为 ，若 ，则 ，与题意不
符，所以 ；若 ，则 ，与题意不符，所以 ；
由 ， 可得， ， ①，由①可得，
22．已知 为等差数列， ，记 ， 分别为数列 ， 的前n项和，
，解得： ，所以 ．故选：C．
， ．
方法二：设等比数列 的公比为 ，因为 ， ，所以 ，否则 ，
从而， 成等比数列，所以有， ，解得： 或
(1)求 的通项公式；
，
(2)证明：当 时， ．
当 时， ，即为 ，易知， ，即 ；
当 时， ，与 矛盾，舍去．故选：C．
7．D【详解】依题意， ，当 时，
，而 满足上式，因此 ，
所以 .故选：D
2023-2024（上）创新部高三 9 月考数学试卷参考答案：
8．C【详解】 ,则 ，∴ ,与已知矛盾，又∵ ,∴ 当 时，
1．B【详解】若1， ，9成等比数列，则有 ，解得 ；而 是 的充分不必要
与已知矛盾，∴ 时， ,得 = ,∴ ,
条件，等价于“ ”是“1， ，9成等比数列”的充分不必要条件.故选：B.
2．C【详解】由题意等比数列 的各项均为正数，目 ，则 ，故 ∴ , <0,∴a 1 <0,又∵ ∴d>0,∴a 1 d<0,∴ABD都正确，故选:C.
，所以 9．BD【详解】解：因为 ，所以 且 ，即 ， ，因为
，故选：C 即 、 不同时为零，所以 ，因为 ，即 ，所以 ，
3．C【详解】设等差数列 的前 项和为 ，则 ，所以 是等差数列．因 ，故D正确； 不一定为零，故C错误；故选：BD
为 ，所以 的公差为 ，又 ，所以 是以 为首项， 为公差 10．AD【详解】由数列 是等比数列，设公比为 ，则 是常数，故A正确；
的等差数列，所以 ，所以 故选：C
由 ， ，则 ，即 ，所以 ，故B错误；若数列 的前
4．D【详解】依题意，该人每个月的收入依次排成一列构成等差数列 ，其前n项和为 ，有
n项和 ，则 ， ，
，设 的公差为d，因此 ，解得 ，所以该人第12月营 ，
成等比数列， ，即 ，解得 ，故C错误；若 ，则
收贯数 .故选：D
5．A【详解】解：根据题意，数列 ， ，对于二次函数， ，其开口 ，数列 是递增数列；若 ，则 ，数列 是递增数列，故D正确.故
选：AD
向下，对称轴为 ，即当 时， 取得最大值，对于 ， 时， 最大；且当
11．AD【详解】A：因为当 时，显然数列 不可能是等比数列，但是 是公比为2的等比
时， ，当 时， ，当 时， ，故当 或8时， 最大，故 有最
大项， 有最大项；故选： ． 数列一定有 成立，因此选项A正确；B：因为 为单调递增数列，
3
学科网（北京）股份有限公司所以有 ，因为函数 是减函
，则 .令 ，则 .当 时， ，数列 单
数，所以 ，因此选项B不正确；C：因为在等比数列 中，设公比为 ， ， 是
方程 的两根，所以有 ，于是有 ，而 调递减，而 ， ， ，所以数列 中的最大项为1，故 ，即实数 的取值范
，
围为 .故答案为: .
所以 ，因此选项C不正确；D：因为等差数列 ， 的前n项和为分别为
17．（1）由题设 ， ，则 的公比 ，所以 .
， ，所以由 ，因此选项D正确，故选：
（2）由（1）知： ，
AD
12．AD【详解】 的图象如下图：对A，当 时， ， 所以 .
， ，同理 18．（1）因为 ，所以 ，又因为 ， ， 成等比数列，所以
， ， ，故A正确；对B，若 为常数数列，则 ，当 时，有
，
无解，当 时， ，解得 或 ，故B
即 ，所以 ，联立 解得 ，所以
不正确；对C，若 为递减数列，则 ， ，当 时，则
， .
当 ，则 ， 或 ，故C
（2）由（1）可得 ，
不正确；对D，当 时， ，又由 可得：
所以 .
， ，
19．（1）设递增的等差数列 的公差 ，因为 ， ，所以 ，
，
故 ， ，故D正 解得 ，或 （舍去），所以 .
确．
（2）设 ，则 .由 ，即 ，解得 .
13． 【详解】当 时， ；当 时，
当 ， 时， .当 ， 时，
，符合上式；所以数列 的通项公式为 .故答案为： .
14． 【详解】根据题意，等比数列 ， 的前 项积分别为 ， ，则
.故 .
， ，故 ．故答案为： . 20．（1）当 时， ，∴ ，当 时， ，∴
，
15． 【详解】试题分析：设三个互不相等的实数为a-d，a，a+d，（d≠0），交换这三个数的
∴ 是以 、公比为2的等比数列，∴ .
位置后：①若a是等比中项，则a2=（a-d）（a+d），解得d=0，不符合；②若a-d是等比中项，则
（a-d）2=a（a+d），解得d=3a，此时三个数为a，-2a，4a，公比为-2或三个数为4a，-2a，a，公比
（2）由（1）知， ，当 时， .
为- ．③若a+d是等比中项，则同理得到公比为-2，或公比为- ，所以此等比数列的公比是-2或-
16． 【详解】由 ，可得 .两式相减，可得
当 时， ，① ∴ ，②
，所以数列 为等差数列.因为 ， ，所以 ，所以 ，
4
学科网（北京）股份有限公司，显然
①-②得， ，
满足上式，因此当 为奇数时， ，当 时，
∴ ，当 时，也适合，∴ .
，因此 ，所以当 时， .
21．（1）因为 ．当 时， ；所以
．
所以 ．即 ．又 ，所以
．当 时，上式成立．因为 ，
所以 是首项为 ，公比为 的等比数列，故 ； ----- 6分
（2）由⑴知， ．则 ，
假设存在自然数 ，使得对于任意 ，有 恒成立，
即 恒成立，由 ，解得 ，所以存在自然数 ，使得对于任意
，
有 此时， 的最小值为16．
22．（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，则
，于是 ，解得 ，
，所以数列 的通项公式是 .
（2）方法1：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ， ，
当 时， ，因此 ，当 为奇数时，
，当 时，
，因此 ，所以当 时， .
方法2：由（1）知， ， ，
当 为偶数时， ，
当 时， ，因此 ，当 为奇数时，若 ，则
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