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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(4)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知双曲线的标准方程为 ，则该双曲线的焦距是（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】由双曲线方程可知 ，
所以 ， ， ．
故选：C
2．在等比数列 中， ， ，前 项和 ，则此数列的项数 等于
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知条件可得 ，解得 或 .
设等比数列 的公比为 .
①当 ， 时，由 ，解得 ，
，解得 ；
②当 ， 时，由 ，解得 ，
，解得 .
综上所述， .
故选：B.
3．对任意实数 ， ， ，在下列命题中，真命题是（ ）
A. “ ”是“ ”的必要条件 B. “ ”是“ ”的必要条件
C. “ ”是“ ”的充分条件 D. “ ”是“ ”的充分条件
【答案】B
【解析】对于A，若 ，则由 ， “ ”不是“ ”的必要条件，A
错．
对于B， ， “ ”是“ ”的必要条件，B对，
对于C，若 ，则由 ，推不出 ，“ ”不是“ ”的充分条件
对于D，当 时， ，即 成立，此时不一定有 成立，
故“ ”不是“ ”的充分条件，D错误，
故选：B．
4．已知m、n是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ， ，则C. 若 ， ，则 D. 若 ， ，则
【答案】D
【解析】
A选项：令平面 为平面 ， 为直线 ， 为直线 ，
有： ， ，但 ，A错误；
B选项：令平面 为平面 ，令平面 为平面 ，
令平面 为平面 ，有： ， ，而 ，B错误；
C选项：令平面 为平面 ，令平面 为平面 ， 为直线 ，
有： ， ，则 ，而 ，C错误；
D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.
故选：D
5．将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会 的志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同
的安排方法有（ ）
A. 2720 B. 3160 C. 3000 D. 2940
【答案】D
【解析】共有两种分配方式，一种是 ，一种是 ，
故不同的安排方法有 .
故选：D
6．若抛物线 与椭圆 的交点在 轴上的射影恰好是 的焦点，则 的离心
率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为 ，椭圆 右焦点为 ，
则根据题意得 轴，
，则 ，则 ，当 时， ，则 ，
则 ，代入椭圆方程得 ，结合 ，不妨令 ；
解得 ，则其离心率 ，
故选：C.7．已知等边 的边长为 ，P为 所在平面内的动点，且 ，则 的取值范
围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】如下图构建平面直角坐标系，且 ， ， ，
所以 在以 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为 ，
而 ，故
，
综上，只需求出定点 与圆 上点距离平方 范围即可，
的
而圆心 与 的距离 ，故定点 与圆上点的距离范围为
，
所以 .
故选：B8．设 、 、 满足 ， ， ，则（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】 、 、 且 ， ， ，则 ，
先比较 与 的大小关系，
构造函数 ，其中 ，
则 ，所以， ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
令 ，其中 ，所以， ，
所以，函数 在 上单调递增，故 ，
所以，函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
因为 ，则 ，
所以， ，
所以， ，
因为 ，所以，
，
所以，对任意的 ， ，
故函数 在 上单调递减，
因为 ，则 ，故 ，
由基本不等式可得 （ ，故取不了等号），所以， ，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．某大学生做社会实践调查，随机抽取 名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：
、 、 、 、 、 ，则下列关于该样本数据的说法中正确的是（ ）
A. 均值为 B. 中位数为C. 方差为 D. 第 百分位数为
【答案】ABD
【解析】由题意可知，该组数据的均值为 ，故A正确；
中位数为 ，故B正确；
方差为 ，故C错误；
因为 ，第 百分位数为 ，故D正确.
故选：ABD.
10．设M，N，P为函数 图象上三点，其中 ， ， ，已知M，N
是函数 的图象与x轴相邻的两个交点，P是图象在M，N之间的最高点，若
， 的面积是 ，M点的坐标是 ，则（ ）
A. B.
C. D. 函数 在M，N间的图象上存在点Q，使得
【答案】BCD
【解析】
而 ，故 ， ， ，A错误、B正确；
， （ ），而 ，故 ，C正确；
显然，函数 的图象有一部分位于以 为直径的圆内，当 位于以 为直径的圆内时，
，D正确，
故选:BCD.11．设a为常数， ，则（ ）．
A.
B. 成立
.
C
D. 满足条件的 不止一个
【答案】ABC
【解析】
对A：对原式令 ，则 ，即 ，故A正确；
对B： 对原式令 ，则 ，故
，
对原式令 ，则 ，故 非负；
对原式令 ，则 ，解得 ，
又 非负，故可得 ，故B正确；
对C：由B分析可得： ，故C正确；
对D：由B分析可得：满足条件的 只有一个，故D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．在复平面内，复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，那么向量
对应的复数是__________．
【答案】1
【解析】由题意得 ， ， ，
则 对应复数1.
故答案为：1
13.已知轴截面为正三角形的圆锥 的高与球 的直径相等，则圆锥 的体积与球 的体积的
比值是__________，圆锥 的表面积与球 的表面积的比值是__________．
【答案】 ①. ②.
【解析】设圆锥的底面半径为 ，球的半径为 ，
因为圆锥的轴截面为正三角形，所以圆锥的高 ，母线 ，由题可知： ，所以球的半径
所以圆锥的体积为 ，
球的体积 ，
所以 ；
圆锥的表面积 ，
球的表面积 ，
所以 ，
故答案为： ； .
14.方程 的最小的29个非负实数解之和为______．
【答案】
【解析】方程 可化为 ，
因式分解为 ，解得 或 ，
当 时， ， ，
当 时， ， ，或 ， ，
通过列举，可得方程的最小的29个非负实数解中，
有10个是以0为首项， 为公差的等差数列．其和为 ；
有10个是以 为首项， 为公差的等差数列，其和为 ；
有9个是以 为首项， 为公差的等差数列，其和为 ．
可得方程的最小的29个非负实数解之和为 ．故答案为：
